Угол между прямыми на плоскости. Угол между двумя прямыми

Угол между пересекающимися прямыми: определение, примеры нахождения

Угол между прямыми на плоскости. Угол между двумя прямыми

Данный материал посвящен такому понятию, как угол между двумя пересекающимися прямыми. В первом пункте мы поясним, что он из себя представляет, и покажем его на иллюстрациях.

Потом разберем, какими способами можно найти синус, косинус этого угла и сам угол (отдельно рассмотрим случаи с плоскостью и трехмерным пространством), приведем нужные формулы и покажем на примерах, как именно они применяются на практике.

Что такое угол между пересекающимися прямыми

Для того чтобы понять, что такое угол, образующийся при пересечении двух прямых, нам потребуется вспомнить само определение угла, перпендикулярности и точки пересечения.

Определение 1

Мы называем две прямые пересекающимися, если у них есть одна общая точка. Эта точка называется точкой пересечения двух прямых.

Каждая прямая разделяется точкой пересечения на лучи. Обе прямые при этом образуют 4 угла, из которых два – вертикальные, а два – смежные. Если мы знаем меру одного из них, то можем определить и другие оставшиеся.

Допустим, нам известно, что один из углов равен α. В таком случае угол, который является вертикальным по отношению к нему, тоже будет равен α. Чтобы найти оставшиеся углы, нам надо вычислить разность 180°-α. Если α будет равно 90 градусам, то все углы будут прямыми. Пересекающиеся под прямым углом линии называются перпендикулярными (понятию перпендикулярности посвящена отдельная статья).

Взгляните на рисунок:

Перейдем к формулированию основного определения.

Определение 2

Угол, образованный двумя пересекающимися прямыми – это мера меньшего из 4-х углов, которые образуют две эти прямые.

Из определения нужно сделать важный вывод: размер угла в этом случае будет выражен любым действительным числом в интервале (0, 90]. Если прямые являются перпендикулярными, то угол между ними в любом случае будет равен 90 градусам.

Как найти угол между пересекающимися прямыми на плоскости

Умение находить меру угла между двумя пересекающимися прямыми полезно для решения многих практических задач. Метод решения можно выбрать из нескольких вариантов.

Для начала мы можем взять геометрические методы. Если нам известно что-то о дополнительных углах, то можно связать их с нужным нам углом, используя свойства равных или подобных фигур.

Например, если мы знаем стороны треугольника и нужно вычислить угол между прямыми, на которых эти стороны расположены, то для решения нам подойдет теорема косинусов.

Если у нас в условии есть прямоугольный треугольник, то для подсчетов нам также пригодится знание синуса, косинуса и тангенса угла.

Координатный метод тоже весьма удобен для решения задач такого типа. Поясним, как правильно его использовать.

У нас есть прямоугольная (декартова) система координат Oxy, в которой заданы две прямые. Обозначим их буквами a и b. Прямые при этом можно описать с помощью каких-либо уравнений. Исходные прямые имеют точку пересечения M. Как определить искомый угол (обозначим его α) между этими прямыми?

Начнем с формулировки основного принципа нахождения угла в заданных условиях.

Нам известно, что с понятием прямой линии тесно связаны такие понятия, как направляющий и нормальный вектор. Если у нас есть уравнение некоторой прямой, из него можно взять координаты этих векторов. Мы можем сделать это сразу для двух пересекающихся прямых.

Угол, образуемый двумя пересекающимися прямыми, можно найти с помощью:

  • угла между направляющими векторами;
  • ­угла между нормальными векторами;
  • угла между нормальным вектором одной прямой и направляющим вектором другой.

Теперь рассмотрим каждый способ отдельно.

1. Допустим, что у нас есть прямая a с направляющим вектором a→=(ax, ay) и прямая b с направляющим вектором b→(bx, by). Теперь отложим два вектора a→ и b→ от точки пересечения. После этого мы увидим, что они будут располагаться каждый на своей прямой. Тогда у нас есть четыре варианта их взаимного расположения. См. иллюстрацию:

Если угол между двумя векторами не является тупым, то он и будет нужным нам углом между пересекающимися прямыми a и b. Если же он тупой, то искомый угол будет равен углу, смежному с углом a→, b→. Таким образом, α=a→, b→ в том случае, если a→, b→≤90° , и α=180°-a→, b→, если a→, b→>90°.

Исходя из того, что косинусы равных углов равны, мы можем переписать получившиеся равенства так: cos α=cos a→, b→, если a→, b→≤90°; cos α=cos180°-a→, b→=-cosa→, b→, если a→, b→>90°.

Во втором случае были использованы формулы приведения. Таким образом,

cos αcosa→, b→, cosa→, b→≥0-cosa→, b→, cosa→, b→90° , тогда a→, nb→=90°+α

Используя правило равенства косинусов равных углов, запишем:

cosa→, nb→=cos(90°-α)=sin α при a→, nb→≤90°.

cosa→, nb→=cos90°+α=-sin α при a→, nb→>90°.

Таким образом,

sin α=cosa→, nb→, a→, nb→≤90°-cosa→, nb→, a→, nb→>90°⇔sin α=cosa→, nb→, a→, nb→>0-cosa→, nb→, a→, nb→

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/ugol-mezhdu-peresekajuschimisja-prjamymi/

Угол между прямыми

Угол между прямыми на плоскости. Угол между двумя прямыми

Две прямые называются пересекающимися, если они имеют единственную общую точку. Эта точка называется точкой пересечения прямых.

Прямые разбиваются точкой пересечения на лучи, которые образуют четыре неразвернутых угла, среди которых две пары вертикальных углов и четыре пары смежных углов.

Если известен размер одного из углов, образованных пересекающимися прямыми, то легко определить размер остальных углов. Если один из углов прямой, то все остальные тоже прямые, а прямые перпендикулярны.

Определение Угол между прямыми – размер наименьшего из углов, образованных этими прямыми.

Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом

y = k1x + b1,
y = k2x + b2,

то угол между ними можно найти, используя формулу:

tg γ = k1 – k21 + k1·k2

Если знаменатель равен нулю (1 + k1·k2 = 0), то прямые перпендикулярны.

Доказательство. Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами, то легко найти углы между этими прямыми и осью OX

tg α = k1
tg β = k2

Соответственно легко найти угол между прямыми

γ = α – β

tg γ = tg (α – β) = tg α – tg β1 + tg α ·tg β = k1 – k21 + k1·k2

Если a – направляющий вектор первой прямой и b – направляющий вектор второй прямой, то, используя скалярное произведение векторов, легко найти угол между прямыми:

Если уравнение прямой задано параметрически

x = l t + ay = m t + b

то вектор направляющей имеет вид {l; m}

Если уравнение прямой задано как

A x + B y + C = 0

то для вычисления направляющего вектора, можно взять две точки на прямой.
Например, если C ≠ 0, A ≠ 0, C ≠ 0 , при x = 0 => y = -CB значит точка на прямой имеет координаты K(0, -CB), при y = 0 => x = -CA значит точка на прямой имеет координаты M(-CA, 0). Вектор направляющей KM = {-CA; CB}.

Если дано каноническое уравнение прямой

x – x0 l = y – y0m

то вектор направляющей имеет вид {l; m}

Если задано уравнение прямой с угловым коэффициентом

y = kx + b

то для вычисления направляющего вектора, можно взять две точки на прямой, например, при x = 0 => y = b значит точка на прямой имеет координаты K(0, b), при x = 1 => y = k + b значит точка на прямой имеет координаты M(1, k + b). Вектор направляющей KM = {1; k}

Если a – вектор нормали первой прямой и b – вектор нормали второй прямой, то, используя скалярное произведение векторов, легко найти угол между прямыми:

Если уравнение прямой задано как

A x + B y + C = 0

то вектор нормали имеет вид {A; B}

Если задано уравнение прямой с угловым коэффициентом

y = kx + b

то вектор нормали имеет вид {1; -k}

Если a – направляющий вектор первой прямой и b – вектор нормали второй прямой, то, используя скалярное произведение векторов, легко найти угол между прямыми: Пример 1. Найти угол между прямыми y = 2x – 1 и y = -3x + 1.

Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом:

tg γ = k1 – k21 + k1·k2 = 2 – (-3)1 + 2·(-3) = 5-5 = 1

Ответ. γ = 45°

Пример 2. Найти угол между прямыми y = 2x – 1 и x = 2t + 1y = t.

Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми у которых известны направляющие векторы.

Для первой прямой направляющий вектор {1; 2}, для второй прямой направляющий вектор {2; 1}

cos φ = |1 · 2 + 2 · 1|12 + 22 · 22 + 12 = 45 · 5 = 0.8

Ответ. φ ≈ 36.87°

Пример 3 Найти угол между прямыми 2x + 3y = 0 и x – 23 = y4.

Решение: Для решения этой задачи можно найти направляющие векторы и вычислить угол через направляющие векторы или преобразовать уравнения в уравнения с угловым коэффициентом и вычислить угол через угловые коэффициенты.

Преобразуем имеющиеся уравнения в уравнения с угловым коэффициентом.

2x + 3y = 0 => y = -23x   (k1 = -23)

x – 23 = y4 => y = 43x – 83   (k2 = 43)

tg γ = k1 – k21 + k1·k2 = -23 – 431 + (-23)·43 = -631 – 89 = 18

Ответ. γ ≈ 86.82°

Если a – направляющий вектор первой прямой, а b – направляющий вектор второй прямой, то, используя скалярное произведение векторов, легко найти угол между прямыми:

Если дано каноническое уравнение прямой

x – x0 l = y – y0m = z – z0n

то направляющий вектор имеет вид {l; m; n}

Если уравнение прямой задано параметрически

x = l t + ay = m t + bz = n t + c

то направляющий вектор имеет вид {l; m; n}

Пример 4. Найти угол между прямыми x = 2t + 1y = tz = -t – 1 и x = t + 2y = -2t + 1z = 1.

Решение: Так как прямые заданы параметрически, то {2; 1; -1} – направляющий вектор первой прямой, {1; -2; 0} направляющий вектор второй прямой.

cos φ = |2 · 1 + 1 · (-2) + (-1) · 0|22 + 12 + (-1)2 · 12 + (-2)2 + 02 = 06 · 5 = 0

Ответ. φ = 90°

Пример 5 Найти угол между прямыми x – 23 = y4 = z – 35 и -x – 22 = 1 – 3y = 3z – 52.

Решение: Для решения этой задачи найдем направляющие векторы этих прямых.

Уравнение первой прямой задано в канонической форме, поэтому направляющий вектор {3; 4; 5}.

Преобразуем второе уравнение к каноническому вид.

-x – 22 = x – 2-2

1 – 3y = 1 + y-1/3 = y – 1/3-1/3

3z – 52 = z – 5/32/3

Получено уравнение второй прямой в канонической форме

x – 2-2 = y – 1/3-1/3 = z – 5/32/3

{-2; -13; 23} – направляющий вектор второй прямой.

cos φ = 3·(-2) + 4·(-13) + 5·2332 + 42 + 52 · (-2)2 + (-13)2 + (23)2 = -6 – 43 + 1039 + 16 + 25 · 4 + 19 + 49 = -450 · 41/9 = 12582 = 682205

Ответ. φ ≈ 74.63°

Источник: https://ru.onlinemschool.com/math/library/analytic_geometry/lines_angle/

Угол между прямыми на плоскости

Угол между прямыми на плоскости. Угол между двумя прямыми
Определение.Еслизаданы две прямые y = k1 x+ b1 ,y = k2x+ b2 ,то острый угол между этими прямыми будетопределяться как

.

Двепрямые параллельны, если k1 =k2 .Две прямые перпендикулярны, если k1 =-1/ k2 .

Теорема.ПрямыеАх + Ву + С = 0 и А 1 х+ В1 у+ С1 =0 параллельны, когда пропорциональныкоэффициенты А1 =λА, В1 =λВ. Если еще и С1 =λС, то прямые совпадают. Координатыточки пересечения двух прямых находятсякак решение системы уравнений этихпрямых.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой

Определение.Прямая,проходящая через точку М1 (х1 ,у1 )и перпендикулярная к прямой у = kx + bпредставляется уравнением:

Расстояние от точки до прямой

Теорема.Еслизадана точка М(х0 ,у0 ),то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0определяется как

.

Доказательство.Пустьточка М 1(х 1,у 1)– основание перпендикуляра, опущенногоиз точки М на заданную прямую. Тогдарасстояние между точками М и М1 :

 (1)

Координатыx1 иу1 могутбыть найдены как решение системыуравнений:

Второеуравнение системы – это уравнениепрямой, проходящей через заданную точкуМ 0 перпендикулярнозаданной прямой. Если преобразоватьпервое уравнение системы к виду:

A(x –x 0 )+ B(y – y0 )+ Ax0 +By0 +C = 0,

то,решая, получим:

Подставляяэти выражения в уравнение (1), находим:

Теоремадоказана.

Пример.Определить угол между прямыми: y = -3 x +7; y = 2 x + 1.

k 1 =-3; k 2 =2; tgφ = ;φ= p /4.

Пример.Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х +6у – 3 = 0 перпендикулярны.

Решение.Находим: k 1 =3/5, k2 =-5/3, k 1* k 2 = -1, следовательно, прямыеперпендикулярны.

Пример.Даны вершины треугольника А(0; 1), B (6; 5),C (12; -1). Найти уравнение высоты, проведеннойиз вершины С.

Решение.Находим уравнение стороны АВ: ;4 x = 6 y – 6;

2 x –3 y + 3 = 0; 

Искомоеуравнение высоты имеет вид: Ax + By + C = 0или y = kx + b . k = .Тогда y = .Т.к. высота проходит через точку С, тоее координаты удовлетворяют данномууравнению: откудаb = 17. Итого: .

Ответ:3 x + 2 y – 34 = 0.

  1. Криві та поверхні другого порядку. Канонічні рівняння кривих другого порядку (еліпс, коло, гіпербола, парабола). Їх властивості.

Кривые второго порядка. Канонический вид уравнений второго порядка.

Кривая второго порядка — геометрическое место точек на плоскости, прямоугольные координаты

которых удовлетворяют уравнению вида:

в котором, по крайней мере один из коэффициентов a11, a12, a22 не равен нулю.

Инварианты кривых второго порядка.

Вид кривой зависим от 4 инвариантов, приведенных ниже:

– инварианты относительно поворота и сдвига системы координат:

– инвариант относительно поворота системы координат (полуинвариант):

Для изучения кривых второго порядка рассматриваем произведение А*С.

Общее уравнение кривой второго порядка выглядит так:

Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0

– Если А*С > 0, то уравнение принимает вид уравнения эллиптического типа. Любое эллиптическое

уравнение – это уравнение или обычного эллипса, или же вырожденного эллипса (точки), или мнимого

эллипса (в таком случае уравнение не определяет на плоскости ни одного геометрического образа);

– Если А*С < 0, то уравнение принимает вид уравнения гиперболического типа. Любое гиперболическое

уравнение выражает или простую гиперболу, или вырожденную гиперболу (две пересекающиеся прямые);

– Если А*С = 0, то линия второго порядка не будет центральной. Уравнения такого типа называют

уравнениямипараболического типа и выражают на плоскости или простую параболу, или 2 параллельных

(либо совпадающих) прямых, или не выражают на плоскости ни одного геометрического образа;

– Если А*С ≠ 0, кривая второго порядка будет центральной;

Таким образом, виды кривых второго порядка:

– Эллипс;

– Окружность;

– Гипербола;

– Парабола.

Канонический вид уравнений второго порядка.

 Вводя новую систему координат можно привести уравнения кривых второго порядка к стандартному

каноническому виду. Характеристики канонических уравнений очень легко выражаются через инварианты

Δ, D, I и корни характеристического уравнения .

Вид кривой

Каноническое уравнение

Инварианты

Невырожденные кривые (Δ ≠ 0)

Эллипс

Гипербола

Парабола

Вырожденные кривые (Δ = 0)

Точка

Две пересекающиеся прямые

Две параллельные прямые

Одна прямая

Для центральной кривой в каноническом виде её центр (x0, y0) находится в начале координат.

Типові практичнізавдання.

  1. Знайти загальний розв’язок неоднорідної системи лінійних рівнянь за методом Гауса

  2. Обчислити комплексні корені: .

  3. Знайти ГМТ: .

  4. З’ясувати, чи є вектор лінійною комбінацією векторів?

.

  1. Знайти ранг системи векторів, базу та подати решту векторів у вигляді лінійної комбінації векторів з цієї бази ,.

  2. Обчислити визначник: .

  3. Обчислити значення многочлена від матриці.

  4. Знайти обернену матрицю до матриці .

  5. Знайти загальний розв’язок неоднорідної системи лінійних рівнянь та фундаментальну систему розв’язків відповідної однорідної СЛР.

.

  1. Знайти ранг матриці в залежності від значення параметру .

.

  1. Знайти найбільший спільний дільник многочленів і.

  2. Визначити кратність кореня многочлена .

  3. Відділити кратні корені многочлена

  4. Побудувати многочлен найменшого степеня, який має корінь (-1) кратності 2; корені 3, 2-i,I– прості, якщо коефіцієнти цього многочлена – дійсні, комплексні.

  5. Знайти базиси суми та перетину підпросторів та.

  6. Довести, що многочлени утворюють базис простору, якщо.

  7. Довести, що кожна з двох систем векторів утворює базис, та побудувати матрицю переходу від базису Е до Е´, де

Е:,,; Е´:,,.

  1. Розглянемо площину .

-Знайти відстань від до площини ;

-Скласти рівняння площини, що проходитьчерез А паралельно площині.

  1. Відомі координати вершин тетраедра .- Обчислитиоб'єм тетраедра.- Скласти загальне рівняння однієї грані та канонічне рівняння одного ребра тетраедра.- Обчислити площу трикутника АВС.

Источник: https://studfile.net/preview/4031370/page:26/

Мед-Центр Здоровье
Добавить комментарий