Свойства наклонной призмы. Призма

Треугольная призма все формулы и примеры задач

Свойства наклонной призмы. Призма

Треугольная призма — это трехмерное тело, образованное соединением прямоугольников и треугольников. В этом уроке вы узнаете, как найти размер внутри (объем) и снаружи (площадь поверхности) треугольной призмы.

Определение

Треугольная призма — это пятигранник, образованный двумя параллельными плоскостями, в которых расположены два треугольника, образующих две грани призмы, и оставшиеся три грани — параллелограммы, образованные со-сторонами треугольников.

Элементы треугольной призмы

Треугольники ABC и A1B1C1 являются основаниями призмы.

Четырехугольники A1B1BA, B1BCC1 и A1C1CA являются боковыми гранями призмы.

Стороны граней являются ребрами призмы (A1B1, A1C1, C1B1, AA1, CC1, BB1, AB, BC, AC), всего у треугольной призмы 9 граней.

Высотой призмы называется отрезок перпендикуляра, который соединяет две грани призмы (на рисунке это h).

Диагональю призмы называется отрезок, который имеет концы в двух вершинах призмы, не принадлежащих одной грани. У треугольной призмы такой диагонали провести нельзя.

Площадь основания — это площадь треугольной грани призмы.

Площадь боковой поверхности призмы — это сумма площадей четырехугольных граней призмы.

Виды треугольных призм

Треугольная призма бывает двух видов: прямая и наклонная.

У прямой призмы боковые грани прямоугольники, а у наклонной боковые грани — параллелограммы (см. рис.)

Прямая треугольная призма

Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой.

Наклонная треугольная призма

Призма, боковые ребра которой являются наклонными к плоскостям оснований, называется наклонной.

Объем треугольной призмы

Чтобы найти объем треугольной призмы, надо площадь ее основания умножить на высоту призмы.

 Объем призмы = площадь основания х высота

или

V=Sосн . h

Площадь боковой поверхности призмы

Чтобы найти площадь боковой поверхности треугольной призмы, надо периметр ее основания умножить на высоту.

Площадь боковой поверхности треугольной призмы = периметр основания х высота

или

Sбок=Pосн.h 

Площадь полной поверхности призмы

Чтобы найти площадь полной поверхности призмы, надо сложить ее площади оснований и площадь боковой поверхности.

так как Sбок=Pосн.h, то получим:

Sполн.пов.=Pосн.h+2Sосн

Правильная призма — прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.

Свойства призмы:

Верхнее и нижнее основания призмы – это равные многоугольники.Боковые грани призмы имеют вид параллелограмма.

Боковые ребра призмы параллельные и равны.

Совет: при расчете треугольной призмы вы должны обратить внимание на используемые единицы. Например, если площадь основания указана в см2, то высота должна быть выражена в сантиметрах, а объем — в см3 . Если площадь основания в мм2, то высота должна быть выражена в мм, а объем в мм3 и т. д.

Пример призмы

В этом примере:— ABC и DEF составляют треугольные основания призмы— ABED, BCFE и ACFD являются прямоугольными боковыми гранями— Боковые края DA, EB и FC соответствуют высоте призмы.

— Точки A, B, C, D, E, F являются вершинами призмы.

Задачи на расчет треугольной призмы

Задача 1. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

Решение: Объем прямой призмы равен V = Sh, где S — площадь основания, а h — боковое ребро.

Площадь основания в данном случае это площадь прямоугольного треугольника (его площадь равна половине площади прямоугольника со сторонами 6 и 8). Таким образом, объём равен:

V = 1/2  · 6 · 8 · 5 = 120.

Задача 2.

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.

Решение: 

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: V = Sосн ·h.

Треугольник, лежащий в основании исходной призмы подобен треугольнику, лежащему в основании отсечённой призмы. Коэффициент подобия равен 2, так как сечение проведено через среднюю линию (линейные размеры большего треугольника в два раза больше линейных размеров меньшего). Известно, что площади подобных фигур соотносятся как квадрат коэффициента подобия, то есть S2 = S1k2 = S122 = 4S1.

Площадь основания всей призмы больше площади основания отсечённой призмы в 4 раза. Высоты обеих призм одинаковы, поэтому объем всей призмы в 4 раза больше объема отсечённой призмы.

Таким образом, искомый объём равен 20.

Источник: https://novstudent.ru/treugolnaya-prizma-vse-formulyi-i-primeryi-zadach/

Самая удобная и увлекательная подготовка к ЕГЭ

Свойства наклонной призмы. Призма

Призма – это многогранник, состоящий из двух равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и $n$-го количества параллелограммов.

Многоугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ – называются основаниями призмы.

Параллелограммы $АА_1В_1В, ВВ_1С_1С$ и т.д.- боковыми гранями.

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.

$С_1Н$ – высота

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Формулы вычисления объема и площади поверхности призмы:

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$P_{осн}$ – периметр основания;

$S_{осн}$ – площадь основания;

$S_{бок}$ – площадь боковой поверхности;

$S_{п.п}$ – площадь полной поверхности;

$h$ – высота призмы.

$S_{бок}=P_{осн}·h$

$S_{п.п}=S_{бок}+2S_{осн}$

$V=S_{осн}·h$

В основании призмы могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.

В основании лежит треугольник

  1. $S={a·h_a}/{2}$, где $h_a$ – высота, проведенная к стороне $а$
  2. $S={a·b·sin⁡α}/{2}$, где $a,b$ – соседние стороны, $α$ – угол между этими соседними сторонами.
  3. Формула Герона $S=√{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $р$ – это полупериметр $p={a+b+c}/{2}$
  4. $S=p·r$, где $r$ – радиус вписанной окружности
  5. $S={a·b·c}/{4R}$, где $R$ – радиус описанной окружности
  6. Для прямоугольного треугольника $S={a·b}/{2}$, где $а$ и $b$ – катеты прямоугольного треугольника.

$S=a·b$, где $а$ и $b$ – смежные стороны.

2. Ромб

$S={d_1·d_2}/{2}$, где $d_1$ и $d_2$ – диагонали ромба

$S=a2·sin⁡α$, где $а$ – длина стороны ромба, а $α$ – угол между соседними сторонами.

3. Трапеция

$S={(a+b)·h}/{2}$, где $а$ и $b$ – основания трапеции, $h$ – высота трапеции.

Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники.

Рассмотрим площади правильных многоугольников:

1. Для равностороннего треугольника $S={a2√3}/{4}$, где $а$ – длина стороны.

2. Квадрат

$S=a2$, где $а$ – сторона квадрата.

3. Правильный шестиугольник

Шестиугольник разделим на шесть правильных треугольников и найдем площадь как:

$S=6·S_{треугольника}={6·a2√3}/{4}={3·a2√3}/{2}$, где $а$ – сторона правильного шестиугольника.

Пример:

Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными $10$ и $24$, а её боковое ребро равно $20$.

Решение:

Построим прямую призму, в основании которой лежит ромб.

Распишем формулу площади полной поверхности:

$S_{п.п}=S_{бок}+2S_{осн}=P_{осн}·h+2S_{ромба}$

В прямой призме высота равна боковому ребру, следовательно, $h=С_1С=20$

Чтобы найти периметр основания, надо узнать сторону ромба. Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, получившихся, при пересечении диагоналей и воспользуемся теоремой Пифагора.

Диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому катеты прямоугольного треугольника равны $5$ и $12$.

$АВ=√{52+122}=√{25+144}=√{169}=13$

$Р=13·4=52$

Теперь найдем площадь основания: площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

$S_{основания}={d_1·d_2}/{2}={10·24}/{2}=120$

Далее подставим все найденные величины в формулу полной поверхности и вычислим ее:

$S_{п.п}=P_{осн}·h+2S_{ромба}=52·20+2·120=1040+240=1280$

Ответ: $1280$

Цилиндр – это та же призма, в основании которой лежит круг.

$S_{бок}=P_{осн}·h=2πRh$

$S_{п.п}=S_{бок}+2S_{осн}=2πRh+2πR2=2πR(h+R)$

$V=S_{осн}·h=πR2 h$

Подобные призмы: при увеличении всех линейных размеров призмы в $k$ раз, её объём увеличится в $k3$ раз.

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

$MN$ – средняя линия, так как соединяет середины соседних сторон.

$MN {//} AC, MN = {AC}/{2}$

Подобие треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.

Число $k$ – коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)

  1. Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$.
  2. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

В прямоугольном треугольнике катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

  1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.
  2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$AC2+BC2=AB2$

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В: АС$ – противолежащий катет; $ВС$ – прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ – противолежащий катет; $АС$ – прилежащий катет.

  1. Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
  2. Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
  3. Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
  4. Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
  5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
  6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
  7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$$30$$45$$60$
$sinα$${1}/{2}$${√2}/{2}$${√3}/{2}$
$cosα$${√3}/{2}$${√2}/{2}$${1}/{2}$
$tgα$${√3}/{3}$$1$$√3$
$ctgα$$√3$$1$${√3}/{3}$

Теорема синусов

Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:

${a}/{sinα}={b}/{sinβ}={c}/{sinγ}=2R$, где $R$ – радиус описанной около треугольника окружности.

Теорема косинусов

Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

$a2=b2+c2-2·b·c·cosα;$

$b2=a2+c2-2·a·c·cos⁡β;$

$c2=b2+a2-2·b·a·cosγ.$

Источник: https://examer.ru/ege_po_matematike/teoriya/pizma

Призма

Свойства наклонной призмы. Призма

Материал урока.

Мы уже знакомились с призмами. Сегодня мы повторим основные понятия, которые связаны с ними.

Давайте вспомним, какой многогранник мы назвали призмой.

Рассмотрим два равных многоугольника A1A2…An и B1B2…Bn, расположенные в параллельных плоскостях. Причем расположены эти многоугольники так, чтобы равные стороны этих многоугольников, т.е. A1A2 и B1B2, A2A3 и B2B3 … AnA1 и BnB1, были параллельными.

Теперь проведем отрезки A1B1, A2B2, A3B3…AnBn. В итоге, получим n четырехугольников A1B1B2A2, A2B2B3A3…AnBnB1A1.

Указанные четырехугольники являются параллелограммами. Рассмотрим например, четырехугольник A1B1B2A2. Его противоположные стороны A1A2 и B1B2 равны и параллельны по построению.

Следовательно, и стороны A1B1 и A2B2 тоже равны и параллельны. Напомню, что четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.

Значит, рассматриваемый нами четырехугольник A1B1B2A2 – параллелограмм.

Построенный многогранник A1A2…AnB1B2…Bn, называется n-угольной призмой.

Равные n-угольники называются основаниями призмы. Параллелограммы – боковыми гранями призмы. А стороны боковых граней, не являющиеся сторонами оснований призмы, называются боковыми ребрами призмы.

На рисунке, A1A2…AnB1B2…Bn – n-угольная призма. А1A2…An и B1B2…Bn – основания призмы, параллелограммы A1A2B2B1,…,  AnA1B1Bn– боковые грани. А стороны A1B1,…, AnBn – боковые ребра призмы. Все они равны и параллельны друг другу, как стороны параллелограммов.

Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, например, B1A3, называется диагональю призмы.

Призма в зависимости от того какой многоугольник лежит в основании имеет свое название. Если в основании лежит треугольник, то призма называется треугольной. Если четырехугольник – то четырехугольной призмой. А если n-угольник, то n-угольной призмой.

Теперь узнаем, что называют высотой призмы. Выберем произвольную точку А одного из оснований и проведем через нее прямую, перпендикулярную к плоскости другого основания и пересекающую ее в точке B. Отрезок, AB называется высотой призмы.

В зависимости от того перпендикулярны ли ребра основанию, призмы можно подразделить на прямые и наклонные.

Если все боковые ребра призмы перпендикулярны к плоскостям ее оснований, то призма называется прямой. Если же боковые ребра не перпендикулярны основанию, то призма называется наклонной. На рисунке изображены примеры прямой и наклонной призм.

Обратите внимание, у прямой призмы боковые грани являются прямоугольниками, а у наклонной призмы – параллелограммы.

Прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники, называется правильной.

Объединение боковых граней называется боковой поверхностью призмы, а объединение всех граней называется полной поверхностью призмы. Тогда площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей ее боковых граней.

 А площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней.

Это все нам известно с курса геометрии базовой школы.

Сегодня мы выведем новую формулу для вычисления площади боковой поверхности прямой призмы.

Сформулируем и докажем теорему. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Доказательство.

Выше мы уже вспоминали, что все боковые грани прямой призмы – прямоугольники. Основания этих прямоугольников – стороны основания призмы. А высоты этих прямоугольников равны высоте призмы. Мы знаем, что площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей каждой из боковых граней, то есть в случае прямой призмы это будет сумма произведений сторон основания на высоту призмы.

Вынесем множитель р за скобки, тогда в скобках получим сумму сторон основания призмы, другими словами – в скобках мы получим периметр основания.

Тогда можно записать, что площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению высоты на периметр основания.

Решим несколько задач.

Задача. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями, которые равны  и . Высота призмы равна . Найти площадь боковой поверхности, если боковое ребро равно .

Решение.

Поскольку призма прямая, то воспользуемся только что доказанной формулой.

Ответ. 500 см2.

Решим еще одну задачу.

Задача. В правильной треугольной призме сторона основания равна , а высота призмы равна . Вычислить площадь боковой и полной поверхности призмы.

Решение.

Поскольку по условию призма правильная, значит, она прямая. Применим только что доказанную формулу.

Запишем формулу для вычисления площади полной поверхности призмы.

Ответ. 450 см2,  см2

Решим еще одну задачу.

Задача. Доказать, что площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

Доказательство.

В качестве примера, мы возьмем треугольную призму, для других призм это утверждение доказывается аналогично.

Перпендикулярным сечением называется пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной ее боковому ребру.

Для построения перпендикулярного сечения выберем, например, на ребре BB1 произвольно точку К. В плоскости грани AA1B1B через точку К проведем прямую KL перпендикулярную к ребру BB1. Эта прямая будет перпендикулярна к ребру AA1, поскольку ребра AA1 и BB1 параллельны.

Теперь через точку К в плоскости грани BB1C1C проведем прямую КМ перпендикулярную ребру BB1. Тогда из того, что BB1 перпендикулярно пересекающимся прямым KL и КМ плоскости KLM следует, что BB1 перпендикулярно плоскости KLM.

То есть построенное сечение KLM перпендикулярно боковому ребру. А значит,  это и есть перпендикулярное сечение призмы.

Тогда надо доказать, что площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметру треугольника KLM и бокового ребра BB1.

Любая боковая грань призмы – это параллелограмм. Рассмотрим грань ABB1A1. КL – это высота параллелограмма ABB1A1. Поэтому для нахождения площади этой грани можно применить формулу:

В качестве основания мы берем сторону BB1, так как высота проводилась к этой стороне.

Аналогично можно записать:

Запишем формулу для вычисления площади боковой поверхности. Заменим площадь каждой грани полученной формулой.

Решим еще одну задачу.

Задача. Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно . Перпендикулярным сечением является ромб со стороной . Найти площадь боковой поверхности.

Решение.

Воспользуемся только что доказанным утверждением.

Решим еще одну задачу.

Задача. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями ,  и высотой . Найти двугранные углы при боковых ребрах призмы.

Решение.

Для определения двугранных углов, нам необходимо найти соответствующие линейные углы.

Ответ. 45°, 135°.

Подведем итоги урока.

Сегодня на уроке мы вспомнили, какая фигура называется призмой, основные элементы призмы. Виды призм. Вывели формулы для вычисления площади боковой поверхности прямой и наклонных призм. Решили несколько конкретных задач.

Источник: https://videouroki.net/video/26-prizma.html

Призма /qualihelpy

Свойства наклонной призмы. Призма
Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели Многогранник, две грани которого равные -угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные  граней – параллелограммы, называют -угольной призмой.

 Два -угольника называют основаниями призмы, а параллелограммы – боковыми гранями. Стороны граней называют ребрами призмы, а концы ребер – вершинами призмы. 

На рисунке 9.41 изображена пятиугольная призма, на рисунке 9.

42 – треугольная, а на рисунке 9.43 – четырехугольная. 

На рисунке 9.42 треугольники и – основания призмы , параллелограммы , , – боковые грани, отрезки , , – боковые ребра, отрезки ,  , , , , – ребра оснований, точки  ,  ,  ,  ,  ,  – вершины призмы.

Если грани призмы не имеют общего ребра, то их называют противоположными, если грани имеют общее ребро, то – смежными. На рисунке 9.43 грани  и ,  и , а также  и  являются противоположными, а, например, грани и  – смежными.

 Две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, называют противоположными. Например, на рисунке 9.43 вершины  и  – противоположные. Диагональю призмы называют отрезок, соединяющий две противоположные вершины (например, диагональ  на рисунке 9.41).

 

Треугольная призма не имеет противоположных граней, не имеет противоположных вершин и не имеет диагоналей.

Прямой призмой называют призму, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям ее оснований (рис. 9.42). Боковые грани прямой призмы – прямоугольники.

Наклонной призмой называют призму, боковые ребра которой являются наклонными к плоскостям ее оснований (рис. 9.41 и 9.43). Боковые грани наклонной призмы – параллелограммы (некоторые боковые грани могут быть и прямоугольниками).

Высотой призмы называют перпендикуляр, заключенный между основаниями призмы. Высота  прямой призмы равна длине ее бокового ребра (рис. 9.42), высота  наклонной призмы – не равна (рис. 9.41 и 9.43).Диагональным сечением призмы называют сечение, содержащее диагональ призмы. На рисунке 9.44 построены диагональные сечения  и  четырехугольной призмы .

Параллелепипедом называют призму, основание которой – параллелограмм (рис. 9.44). 

Прямым параллелепипедом называют параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны плоскостям его оснований (рис. 9.45). 

Прямоугольным параллелепипедом называют прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник. На рисунке 9.46 изображен прямоугольный параллелепипед.

Свойство диагонали прямоугольного параллелепипеда: квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений: 

  , (9.1)где  ,  ,  – длины ребер, выходящих из одной вершины,  – диагональ параллелепипеда. 

Объем прямоугольного параллелепипеда находят по формуле: 

 . (9.2)

Кубом называют прямоугольный параллелепипед с равными ребрами. Все грани куба – квадраты (рис. 9.47).

Объемкуба с ребром  находят по формуле:   . (9.3)Площадь поверхности куба с ребром  находят по формуле:   . (9.4)

Диагональ куба с ребром а находят по формуле: 

. (9.5)Объем прямой призмы высоты  и периметром основания  находят по формуле:   . (9.6)

Площадь поверхности прямой призмы находят по формуле: 

 . (9.7)Площадь боковой поверхности прямой призмывысоты  и периметром основания  находят по формуле: . (9.8)

Объем наклонной призмы можно вычислить по формуле:

  . (9.9) 

Площадь поверхности наклонной призмы можно вычислить по формуле:  

 , (9.10)

а также по формулам:

  , (9.9.1)  , (9.10.1) где   сечение, перпендикулярное ребру   (рис. 9.48).

Правильной призмой называют прямую призму, основанием которой является правильный многоугольник. 

Пример 1. Найдите объем и площадь поверхности куба, зная, что его диагональ   см. Решение. Согласно формуле 9.5   и   см. По формуле 9.3  (), а по формуле 9.4  (). Ответ:    ;   . Пример 2. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого равна   , а его измерения относятся как  . Решение. Согласно условию задачи запишем измерения параллелепипеда:   ,   ,   .Согласно свойству диагонали прямоугольного параллелепипеда 9.1, получим:  ,   , откуда   . Тогда   ,   ,   .Зная три измерения параллелепипеда, по формуле 9.2 найдем его объем:   .Ответ:   .Пример 3. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами  см и  см. Высота призмы равна  см. Найдите площадь поверхности и объем призмы. Решение. 1. Площадь треугольника с катетами  и  найдем по формуле   . Получим:  ().2. Гипотенузу  найдем по теореме Пифагора:  (см).3. Площадь боковой поверхности призмы найдем по формуле 9.8 :   ().4. Согласно формуле 9.7 , найдем площадь полной поверхности призмы:   ().5. Объем призмы найдем по формуле 9.6 :  ().Ответ:   ;   . Пример 4. Объем наклонной треугольной призмы равен  , а боковое ребро   . Правильный треугольник   – сечение, перпендикулярное боковому ребру   (рис. 9.49). Найдите площадь боковой поверхности этой призмы. Решение. 1. Согласно формуле 9.9.1 запишем:   , откуда   .2. Площадь правильного треугольника со стороной  находят по формуле   . Тогда   ,   ,   . 3. Найдем периметр треугольника   :   . 4. Согласно формуле 9.10.1 , найдем площадь боковой поверхности призмы:   . Ответ:   . Пример 5. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна  см, а диагонали его боковых граней равны  см и  см. Определите объем параллелепипеда.Решение. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед (рис. 9.50), где   ,   и   его измерения;  см – диагональ. Согласно свойству 9.1  . Рассмотрим треугольник  . Так как  см, то   . Рассмотрим треугольник . Так как  см, то   .Запишем и решим систему уравнений  Из второго уравнения системы выразим  и получим:   . Из третьего уравнения выразим  и получим:   . Подставим полученные значения   и   в первое уравнение системы и найдем значение : ,  ,  см.Зная , определим значения   и  :  ,  см;  ,  см.Согласно формуле 9.2  найдем объем параллелепипеда:  ().Ответ:   . Пример 6. Определите объем правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ образует с плоскостью боковой грани угол  , а сторона основания равна  .Решение. Согласно условию задачи основанием призмы является квадрат со стороной  (рис. 9.51).Так как отрезок   является проекцией диагонали призмы   на грань  , то угол   является углом наклона диагонали призмы к плоскости боковой грани и   .Рассмотрим треугольник  . По свойству катета лежащего против угла  запишем  . Так как согласно свойству 9.1 диагонали прямоугольного параллелепипеда   , то   ,  ,   . Найдем объем призмы по формуле  9.9 :  .Ответ:   .Пример 7. Найдите объем правильной шестиугольной призмы (рис. 9.52), зная, что большая диагональ призмы равна  и образует с плоскостью основания призмы угол   .Решение. Рассмотрим большее диагональное сечение призмы  и прямоугольный треугольник . Поскольку диагональ призмы   и образует с плоскостью основания угол   , то катет , лежащий против угла   , равен половине гипотенузы, следовательно, высота призмы   .Из теоремы Пифагора:  ,    ,   . Так как в основании призмы лежит правильный шестиугольник со стороной , то   и   . По формуле   найдем площадь основания призмы:   . По формуле 9.9 найдем объем призмы:   .Ответ:   . 

1. Треугольная призма не имеет диагоналей.

2. Различайте прямую и наклонную призму: у наклонной призмы – боковые грани параллелограммы, у прямой призмы – боковые грани прямоугольники.

3. Если основание призмы – параллелограмм (ромб, прямоугольник, квадрат), то такую призму называют параллелепипедом. Длины ребер, выходящих из одной вершины параллелепипеда, называют его измерениями.

Источник: http://helpy.quali.me/theme/school/51

Урок 3. Наклонная призма

Свойства наклонной призмы. Призма

Призма называется наклонной, если её боковые рёбра неперпендикулярны к плоскости основания.

Если в наклонной призме боковое ребро образует одинаковыеуглы со сторонами основания, которые выходят из его одного конца, то проекцияребра на плоскость основания будет биссектрисою соответственного угла основания.
Если в наклонной призме две смежные боковые грани образуютодинаковые двугранные углы с основанием, то проекция на основание боковогоребра, которое принадлежит линии пересечения двух граней указанных двугранных углов,будет биссектрисою угла основания.

Поверхность наклонной призмы.

Боковою поверхностью наклонной призмы называется суммаплощадей всех её боковых граней.

Полною поверхностью наклонной призмы называется сумма её боковойповерхности и площадей оснований.

Sп = Sб + 2Sосн.

Боковая поверхность наклонной призмы равна произведениюпериметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

Sб = Pпер × AA1

где  Pпер – периметр сечения, перпендикулярного к боковомуребру.

ЗАДАЧА:

В наклонной призме проведено сечение,перпендикулярное боковым рёбрам и пересекающее все боковые рёбра. Найдите площадьбоковой поверхности призмы, если периметр сечения равен  р,а боковое ребра равно  l.

РЕШЕНИЕ:

Пусть в наклонной призмепроведено сечение, перпендикулярное боковым рёбрам, и пересекающее все боковыерёбра (сечение KLM). Плоскостьпроведенного сечения разбивает призму на две части.

Применим к одной из них параллельноеперемещение, которое совмещает основания призмы. При этом получим прямуюпризму, основанием которой будет сечение данной призмы, а боковые ребра равны  l. Этапризма имеет туже самую боковую поверхность, что и данная. Таким образом, площадьбоковой поверхности данной призмы равна  рl.

ЗАДАЧА:

В наклонной треугольной призме боковыерёбра равны  8см; стороны перпендикулярного сечения относятся как  

9 : 10 : 17, 

а его площадь равна  144см2. Найдитебоковую поверхность этой призмы.

РЕШЕНИЕ:

Пусть дана призма АС1;

АА1 = ВВ1 =СС1 =8 см,

А2В2С2 – перпендикулярное сечение призмы, притом 

А2В2:В2С2:С2 А2= 9 : 10 : 17  і

Необходимо определить боковуюповерхность призмы:

Sбок = (А2В2+ В2С2+ С2 А2) × АА1.

По условию задачи

АА1 =8 см, а

А2В2:В2С2:С2 А2= 9 : 10 : 17.

Обозначим:

А2В2 = 9х, В2С2 = 10х, С2А2 = 17х.

Тогда по формуле Герона площадьперпендикулярного сечения будет равно:

а по условию она равна  144см2,то есть

36х2 =144, откуда  х = 2 см.


В таком случае

А2В2+В2С2+С2 А2

= 36х = 72 см,

то есть

Sбок = 72 × 8 см2 = 576 см2.

ОТВЕТ:  576 см2


Задания к уроку 3 “,”author”:”Автор: krasavtsev52″,”date_published”:”2020-02-17T20:20:00.000Z”,”lead_image_url”:”https://1.bp.blogspot.com/-SJdtR4y5n4M/Wp9qclQS54I/AAAAAAAAgSM/iMYm5kgkvbo3y4HUCFKC-rSl3nBBMeviwCLcBGAs/w1200-h630-p-k-no-nu/0.png”,”dek”:null,”next_page_url”:”https://krasavtsev.blogspot.com/p/1-ru-ua.html”,”url”:”https://krasavtsev.blogspot.com/2018/03/3geometriay3.html”,”domain”:”krasavtsev.blogspot.com”,”excerpt”:”Призма называется наклонной, если её боковые рёбра не перпендикулярны к плоскости основания. Если в наклонной призме боковое ребро обр…”,”word_count”:398,”direction”:”ltr”,”total_pages”:2,”pages_rendered”:2}

Источник: https://krasavtsev.blogspot.com/2018/03/3geometriay3.html

Мед-Центр Здоровье
Добавить комментарий