Смещение графика синусоиды. График функции y = sin x

Тригонометрические кривые. Синусоида. Косинусоида. Тангенсоида. Котангенсоида

Смещение графика синусоиды. График функции y = sin x

Графики тригонометрических функций.

Все углы А по умолчанию приведены в градусах. Все таблицы значений и формулы синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов (здесь). Во всех формулах пределов и разложений в ряд – углы в радианах.

Графики функций y=sinA, y=cosA, y=tgA,построенные для диапазона от 0o до 360o, показаны на рисунках ниже.

График функции y=sinA (синусоида)График функции y=cosA (косинусоида)
График функции y=tgA (тангенсоида)

Из графиков видно что:

  1. Графики синуса и косинуса колеблются в пределах между -1 и 1
  2. Кривая косинуса имеет ту же форму, что и кривая синуса, но сдвинута относительно нее на 90o
  3. Кривые синуса и косинуса непрерывны и повторяются с периодом 360o , кривая тангенса имеет разрывы и повторяется с периодом 180o .

Углы произвольной величины

На рис. слева показаны перпендикулярные оси ХХ' и YY'; пересекающиеся в начале координат О. При работе с графиками измерения вправо и вверх от О считаются положительными, влево и вниз от О – отрицательными. Пусть ОА свободно вращается относительно О. При повороте ОА против часовой стрелки измеряемый угол считается положительным, а при повороте по часовой стрелке – отрицательным.

График. Положительное или отрицательное направление при движении по окружности.

Пусть ОА вращается против часовой стрелки таким образом, что Θ1 – любой угол в первом квадранте, и построим перпендикуляр АВ для получения прямоугольного треугольника ОАВ на рис. слева.

Поскольку все три стороны треугольника положительны, тригонометрические функции синус, косинус и тангенс в первом квадранте будут положительны. (Отметим, что длина ОА всегда положительна, поскольку является радиусом круга.

)
Пусть ОА вращается дальше таким образом, что Θ2 – любой угол во втором квадранте, и построим АС так, чтобы образовался прямоугольный треугольник ОАС. Тогда sin Θ2=+/+ = +; cos Θ2=+/- = -; tg Θ2=+/- = -.

Пусть ОА вращается дальше таким образом, что Θ3 – любой угол в третьем квадранте, и построим АD так, чтобы образовался прямоугольный треугольник ОАD. Тогда sin Θ3= -/+ = -; cos Θ3= -/+ = -; tg Θ3 = -/- =+ .

График. Поcтроение углов в различных квадрантах.

Пусть ОА вращается дальше таким образом, что Θ4- любой угол в четвертом квадранте, и построим АЕ так, чтобы образовался прямоугольный треугольник ОАЕ. Тогда sin Θ4= -/+= -; cos Θ4=+/+=+; tg Θ4= -/+= -.

В первом квадранте все тригонометрические функции имеют положительные значения, во втором положителен только синус, в третьем – только тангенс, в четвертом только косинус, что и показано на рис. слева.

График. Положительные и отрицательные значения синусов, косинусов и тангенсов.

Знание углов произвольной величины необходимо при нахождении, например, всех углов между 0o и 360o , синус которых равен, скажем, 0,3261. Если ввести в калькулятор 0,3261 и нажать кнопку sin-1, получим ответ 19,03o . Однако существует второй угол между 0o и 360o , который калькулятор не покажет. Синус также положителен во втором квадранте. Другой угол показан на рис. ниже как угол Θ, где Θ=180o – 19,03o = 160,97o . Таким образом, 19,03o и 160,97o – это углы в диапазоне от 0o до 360o , синус которых равен 0,3261.

Будьте внимательны! Калькулятор дает только одно из этих значений. Второе значение следует определить согласно теории углов произвольной величины.
График. Нахождение всех углов по заданному значению синуса (пример)

Пример 1

Найти все углы в диапазоне от 0o до 360o , синус которых равен -0,7071

Решение:
Углы, синус которых равен -0,7071o находятся в третьем и четвертом квадранте, поскольку синус отрицателен в этих квадрантах (смотри рис. слева).

График. Нахождение всех углов по заданному значению синуса (пример)

Из следующего рисунка Θ = arcsin 0,7071 = 45o. Два угла в диапазоне от 0o до 360o, синус которых равен -0,7071, это 180o +45o =225o и 360o – 45 o = 315o .
Примечание. Калькулятор дает только один ответ.
График. Нахождение всех углов по заданному значению синуса (пример)

Пример 2 

Найти все углы между 0o и 360o , тангенс которых равен 1, 327.

Решение:

Тангенс положителен в первом и третьем квадрантах – рис. слева.

График. Нахождение всех углов по заданному значению тангенса (пример)

Из рис ниже Θ = arctg1,327= 53o .
Два угла в диапазоне от 0o до 360o , тангенс которых равен 1,327, это 53o и 180o + 53 o, т.е. 233o .
График. Нахождение всех углов по заданному значению тангенса (пример)

Построение синусоиды и косинусоиды

Пусть ОR на рис. слева- это вектор единичной длины, свободно вращающийся против часовой стрелки вокруг О. За один оборот получается круг, показанный на рис. и разделенный секторами по 15 o. Каждый радиус имеет горизонтальную и вертикальную составляющую. Например, для 30o вертикальная составляющая – это ТS, а горизонтальная – ОS.

График. Построение синусоиды.

Из определения тригонометрических функций

sin30o=TS/TO=TS/1, т.е. TS= sin30o и cos30o=OS/TO=OS/1, т.e. OS=cos30o

Вертикальную составляющую TS можно перенести на график в виде T'S', что равно значению, соответствующему углу 30o на графике зависимости y от угла х. Если все вертикальные составляющие, подобно TS, перенести на график, то получится синусоида, показанная на рис. выше.

Если все горизонтальные составляющие, подобные OS, спроецировать на график зависимости у от угла х, получится косинусоида. Эти проекции легко визуализировать, перерисовывая круг с радиусом OR и началом отсчета углов от вертикали, как показано на рисунке слева.

Из рис. слева видно, что синусоида имеет ту же форму, что и косинусоида, но смещенная на 90o.

График. Построение косинусоиды.

Синусоидальные и косинусоидальные графики

График. y=sinA и y=sin2A (синусоиды).График. y=sinA и y=sin(1/2)A (синусоиды).
График. y=cosA и y=cos2A (косинусоиды).График. y=cosA и y=cos(1/2)A (косинусоиды).

Периодические функции и период
Каждый из графиков функций, показанных на четырех рис. выше, повторяется при увеличении угла А, поэтому их называют периодическими функциями.
Функции y=sinA и y=cosA повторяются через каждые 360o (или 2π радиан), поэтому 360o называется периодом этих функций.

Функции y=sin2A и y=cos2A повторяются через каждые 180o (или π радиан),поэтому 180o – это период для данных функций.
В общем случае если y=sinpA и y=cospA (где р – константа), то период функции равен 360o/p (или 2π/p радиан ).

Следовательно, если y=sin3A, то период этой функции равен 360o/3= 120o, если y=cos4A, то период этой функции равен 360o/4= 90o.

Амплитуда
Амплитудой называется максимальное значение синусоиды. Каждый из графиков 1-4 имеет амплитуду +1 (т.е. они колеблются между +1 и -1).

Однако, если y=4sinA, каждая из величин sinA умножается на 4, таким образом, максимальная величина амплитуды – 4. Аналогично для y=5cos2A амплитуда равна 5, а период – 360o/2= 180o.

Пример 3.

Построить y=3sin2A в диапазоне от А= 0o до А=360o.

 Решение:

 Амплитуда =3, период = 360o/2 =180o.
График. Построение y=3sin2A (синусоида).

Пример 4.

Построить график y=4cos2x в диапазоне от х=0o до х=360o

Решение:

Амплитуда = 4. период = 360o/2 =180o.

График. Построение y=4cos2x (косинусоида).

Углы запаздывания и опережения
Кривые синуса и косинуса не всегда начинаются в 0o . Чтобы учесть это обстоятельство, периодическая функция представляется в виде y=sin(A± α), где α – сдвиг фазы относительно y=sinA и y=cosA.

Составив таблицу значений, можно построить график функции y=sin(A-60o), показанный на рис. слева. Если кривая y=sinA начинается в 0o, то кривая y=sin(A-60o) начинается в 60o (т.е. ее нулевое значение на 60o правее ).

Таким образом, говорят, что y=sin(A-60o) запаздывает относительно y=sinA на 60o.

График. y=sin(A-60o) (синусоида).

  Составив таблицу значений, можно построить график функции y=cos(A+45o), показанный на рис. ниже.

  Если кривая y=cosA начинается в 0o, то кривая y=cos(A+45o) начинается на 45o левее (т.е. ее нулевая величина   находится на 45o раньше ).
  Таким образом, говорят, что график y=cos(A+45o) опережает график y=cosA на 45o.
График. y=cos(A+45o) (косинусоида). В общем виде, график y=sin(A-α) запаздывает относительно y=sinAна угол α.

Косинусоида имеет ту же форму, что и синусоида, но начинается на 90o левее, т.е. опережает ее на 90o. Следовательно, cosA=sin(A+90o).

Пример 5.

Построить график y=5sin(A+30o) в диапазоне от А=0o до А=360o

  Решение:
  Амплитуда = 5, период = 360o/1 = 360o. 
  5sin(A+30o) опережает 5sinA на 30o т.е. начинается на 30o раньше.
График y=5sin(A+30o) (синусоида).

Пример 6.

Построить график y=7sin(2A-π/3) в диапазоне от А=0o до А=360o.

   Решение:

  Амплитуда = 7, период =2π/2= π радиан

  В общем случае y=sin(pt-α) запаздывает относительно y=sinpt на α/p, следовательно 7sin(2A-π/3) запаздывает  относительно 7sin2A на ( π/3)/2, т.е. на π/6 радиан или на 30o

График. y=7sin2A и y=7sin(2A-п/3) (синусоиды).

Синусоида вида Asin(ωt±α). Фазовый угол. Сдвиг по фазе.

Пусть OR на рис. слева представляет собой вектор, свободно вращающийся против часовой стрелки вокруг О со скоростью ω радиан/с. Вращающийся вектор называется фазовым вектором. Через время t секунд OR повернется на угол ωt радиан (на рис. слева это угол TOR). Если перпендикулярно к OR построить ST, то sinωt=ST/OT, т.e. ST=OTsinωt. Если все подобные вертикальные составляющие спроецировать на график зависимости у от ωt, получится синусоида с амплитудой OR.

График. Фазовый угол. Сдвиг по фазе.

Если фазовый вектор OR делает один оборот (т.е. 2π радиан) за Т секунд, то угловая скорость ω=2π/Т рад/с, откуда Т=2π/ ω (с), где

Т – это период

Число полных периодов, проходящих за 1 секунду, называется частотой f.
Частота = (количество периодов)/(секунда) = 1/ T = ω/2π Гц, т.е. f= ω/2π Гц Следовательно, угловая скорость

ω=2πf рад/с.

Если в общем виде синусоидальная функция выглядит, как y=sin(ωt± α), то
А – амплитуда ω – угловая скорость 2π/ ω – период Т, с ω/2π – частота f, Гц

α – угол опережения или запаздывания (относительно y=Аsinωt ) в радианах, он называется также фазовым углом.

Пример 7. Переменный ток задается как i=20sin(90πt+0,26) ампер. Определить амплитуду, период, частоту и фазовый угол (в градусах)

Решение:

i=20sin(90πt+0,26)А, следовательно,

амплитуда равна 20 А

угловая скорость ω=90π, следовательно,
период Т = 2π/ ω = 2π/ 90π = 0,022 с = 22мс
частотаf = 1/Т = 1/0,022 = 45,46 Гц
фазовый угол α = 0,26 рад. = (0,26*180/π)o = 14,9o.

Пример 8.

Колебательный механизм имеет максимальное смещение 3 м и частоту 55 Гц. Во время t=0 смещение составляет 100см. Выразить смещение в общем виде Аsin(ωt± α).

Решение

Амплитуда = максимальное смещение = 3м Угловая скорость ω=2πf = 2π(55) = 110 πрад./с

Следовательно, смещение 3sin(110πt + α) м.

При t=0 смещение = 100см=1м. Следовательно, 1= 3sin(0 + α), т.е. sinα=1/3=0,33

Следовательно α=arcsin0,33=19o

Итак, смещение равно 3sin(110 πt + 0,33).

Пример 9. Значение мгновенного напржения в схеме переменного тока в любые t секунд задается в виде v=350sin(40πt-0,542)В. Найти: а) Амплитуду, период, частоту и фазовый угол (в градусах) б) значение напряжения при t =0 в) значение напряжения при t =10 мс

г) время, за которое напряжение впервые достигнет значения 200 В.

Решение: а) Амплитуда равна 350 В, угловая скорость равна ω=40π Следовательно, период Т=2π/ ω=2π/40π=0,05 с =50мс частота f=1/Т=1/0,05=20 Гц

фазовый угол = 0,542 рад (0,542*180/π) = 31oс запаздыванием относительно v=350sin(40πt)

б) Если t =0, то v=350sin(0-0,542)=350sin(-31o)=-180,25 В
в) Если t =10 мс, то v=350sin(40π10/103-0,542)=350sin(0,714)=350sin41o =229,6 В г) Если v=200 И, то 200=350sin(40πt-0,542) 200/350=sin(40πt-0,542)

График. Колебательный механизм (пример, синусоида).

v=350sin(40πt-0,542) Следовательно, (40πt-0,542)=arcsin200/350=35o или 0,611 рад. 40πt= 0,611+0,542=1,153.

Следовательно, если v=200В, то время t=1,153/40π=9,179 мс

Источник: https://dpva.ru/Guide/GuideMathematics/DiagramsConstruction/TrigonometricCurves/TrigonometricCurvesPrint/

Презентация. Свойства функции синус и её график

Смещение графика синусоиды. График функции y = sin x
Важно! Узнайте, чем закончилась проверка учебного центра “Инфоурок”? ✖

.

Запустите файл

1. Сохраните файл

2. Кликните на скачанный файл

3. Нажмите Запустить

1. Кликните на значок ↓

2. Появится файл, дважды кликните на него

1. Нажмите Сохранить

2. Кликните на значок ↓

3. Появится файл, кликните на него

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайдОписание слайда:

* y x 2π π – π – 2π 0

2 слайдОписание слайда:

Свойства функции 1.D(y) 2.E(y) 3. Четность функции 4. Периодичность функции 5.Нули функции 6. Наибольшее значение 7. Наименьшее значение 8. Положительные значения 9. Отрицательные значения 10. Возрастание функции 11. Убывание функции *

3 слайдОписание слайда:

y = sin x * x 0 π/2 π 3π/2 2π – π/2 – π – 3π/2 D (y) x Є R

4 слайдОписание слайда:

y = sin x * x y 0 π/2 π 3π/2 2π x y 1 – 1 – π/2 – π – 3π/2 1 – 1 0 E (y) [ -1; 1]

5 слайдОписание слайда:

y = sin x * x y 0 π/2 π 3π/2 2π x y 1 – 1 – π/2 – π – 3π/2 1 – 1 0 Четность функции Функция нечетна, т.к. sin(-x)=-sin x, график симметричен относительно (0;0)

6 слайдОписание слайда:

y = sin x * x y 0 π/2 π 3π/2 2π x y 1 – 1 – π/2 – π – 3π/2 1 – 1 0 Периодичность функции Период функции Т=2π, sin(x+2π)=sin x

7 слайдОписание слайда:

y = sin x * x y 0 π/2 π 3π/2 2π x y 1 – 1 – π/2 – π – 3π/2 1 – 1 0 Нули функции sin x = 0 при x = πk

8 слайдОписание слайда:

y = sin x * x y 0 π/2 π 3π/2 2π x y 1 – 1 – π/2 – π – 3π/2 1 – 1 0 Наибольшее значение sin x = 1 при х= π/2+2πk х= π/2

9 слайдОписание слайда:

y = sin x * x y 0 π/2 π 3π/2 2π x y 1 – 1 – π/2 – π – 3π/2 1 – 1 0 Наименьшее значение sin x = -1 при х= -π/2+2πk х= 3π/2

10 слайдОписание слайда:

y = sin на отрезке * x y 0 π/2 π 3π/2 2π x y 1 – 1 – π/2 – π – 3π/2 sin(π/6)=0,5 sin(π/4)  0,7 sin(π/3)  0,866 Построение графика функции

11 слайдОписание слайда:

* у = sin x π π/2 – π/2 – π – 3π/2 3π/2 y x 0 y x График функции на отрезке

12 слайдОписание слайда:

y = sin x * x y 0 π/2 π 3π/2 2π x y 1 – 1 – π/2 – π – 3π/2

13 слайдОписание слайда:

y = sin x * x y 0 π/2 π 3π/2 2π 1 – 1 – π/2 – π – 3π/2 -2π 5π/2 y=sin x График функции y=sin x называется синусоида

14 слайдОписание слайда:

y = sin x * + + x y 0 π/2 π 3π/2 2π x y 1 – 1 Положительные значения sin x>0 – π/2 – π – 3π/2 на отрезке (2πk; π+2πk), Промежутки знакопостоянства k k

15 слайдОписание слайда:

y = sin x * – – x y 0 π/2 π 3π/2 2π x y 1 – 1 Отрицательные значения sin x sin 3.

19 слайдОписание слайда:

Упражнения Пользуясь свойствами функции у = sin x , сравните числа: sin 1000 и sin 1300 sin 4 и sin 2 и

20 слайдОписание слайда:

Расположить в порядке возрастания числа sin 1.9 ; sin 3; sin(-1); sin(-1.5). Числа sin 1.9 и sin 3 положительны, так как точки Р1,9 и Р3 находятся во 2 четверти. Функция у=sinх во 2 четверти убывает. sin 3 < sin 1.9 Числа sin(-1) и sin(-1.

5) отрицательны, так как точка Р(-1) и Р(-1,5) находятся в 4 четверти. Функция у=sinх во 4 четверти возрастает.. sin(-1.5) < sin(-1.5) Ответ: Таким образом, в порядке возрастания эти чила располагаются так: sin(-1.5); sin(-1); sin 3; sin 1.9.

21 слайдОписание слайда:

Используя свойство возрастания или убывания функции y=sinx, сравните числа: и и и и 1 вариант 2 вариант

22 слайдОписание слайда:

* Разбить отрезок на два так, чтобы на одном из них функция у=sin х убывала, а на другом возрастала. Ответ; На отрезке функция у=sin х убывает, а на отрезке функция возрастает.

23 слайдОписание слайда:

№ 722 Разбить данный отрезок на два отрезка так, чтобы на одном из них функция у=sinх возрастала, а на другом убывала. 1) – Функция возрастает – Функция убывает 2) – Функция убывает – Функция возрастает 3) – Функция убывает – Функция возрастает

24 слайдОписание слайда:

* Сдвиг вдоль оси ординат Построить график функции у=sinх+3 Построить график функции у=sinх-3 + вверх – вниз y = sinx y = sinx + 3 y = sinx y = sinx – 3 3 -3 Преобразование графика

25 слайдОписание слайда:

* Сдвиг вдоль оси абсцисс Построить график функции у=sin(х – ) Построить график функции у=sin(х+ ) + Сдвиг влево – Сдвиг вправо y = sin x y = sin(x – ) y = sin(x + ) y = sinx

26 слайдОписание слайда:

* Сжатие и растяжение к оси абсцисс K > 1 растяжение 0 < K < 1 сжатие Построить график функции у= 3 sinх Построить график функции у=1/ 3 sinх У = 3 sin x у = 1/3 sin x

27 слайдОписание слайда:

* Сжатие и растяжение к оси ординат Построить график функции у = sin2х Построить график функции у = sin K > 1 сжатие 0 < K < 1 растяжение У =sin 2х У = sin

28 слайдОписание слайда:

* У х y = sin x При каких значениях х функция у=sinx принимает значение, равное 0? 1? -1? Может ли функция у=sinx принимать значение больше 1, меньше -1? При каких значениях х функция у=sinx принимает наибольшее (наименьшее) значение? Каково множество значений функции у=sinx?

.

Запустите файл

1. Сохраните файл

2. Кликните на скачанный файл

3. Нажмите Запустить

1. Кликните на значок ↓

2. Появится файл, дважды кликните на него

1. Нажмите Сохранить

2. Кликните на значок ↓

3. Появится файл, кликните на него

Общая информация

.

Запустите файл

1. Сохраните файл

2. Кликните на скачанный файл

3. Нажмите Запустить

1. Кликните на значок ↓

2. Появится файл, дважды кликните на него

1. Нажмите Сохранить

2. Кликните на значок ↓

3. Появится файл, кликните на него

Источник: https://infourok.ru/prezentaciya-svoystva-funkcii-sinus-i-eyo-grafik-2653024.html

Синусоида – свойства, формула и график функции

Смещение графика синусоиды. График функции y = sin x

Кривая получается из синусоидальной дуги путём смещения к пи/2 в сторону со знаком минус. Кривая представляет график функции у=sin x. В формуле синусоиды y=a+b cos (cx+d) присутствуют следующие аргументы:

  • a: показывает сдвиг графика синусоиды по оси Oy (чем больше значение, тем выше прямая);
  • b: описывает растяжения функции по оси Oy (чем выше постоянная, тем сильнее колебания);
  • c: определяет растяжение по оси Ох (если постоянная увеличивается, наступает период колебаний);
  • d: описывает сдвиг по оси Ох (если d увеличивается, тогда при построении синусоиды учитывается сдвиг в область со знаком минус по оси абсцисс).

Сжатие, растяжение либо сдвиг кривой приводит к изменению величины. Явления называются гармоническими колебаниями. Примеры синусоиды: экспонент или показательная функция в виде винтовой линии, проведённой на плоскости, скрученный провод, развёрнутый рулон бумаги.

Особенности построения

Чтобы выявить свойства синусоиды, необходимо построить её график, провести исследование синуса. В алгебре под функцией представлена плоская кривая, которая выражает закон колебания sin с учётом изменения центрального угла. Сама синусоида строится в схематической последовательности:

  • проводится горизонтальная ось, на которой откладывается заданная длина волны;
  • отрезок делится на равные части;
  • слева чертится окружность с радиусом, равным величине амплитуды;
  • окружность делится на 12 одинаковых частей;
  • через полученные точки проводятся прямые;
  • из точек проводятся перпендикуляры к оси.

График можно построить на онлайн ресурсе либо с помощью специальных программ (Excel). Для расчёта используется калькулятор, основная формула y=sin х. При решении задач учитывается длина волны, которая равна 2 пи. Такое преобразование объясняется тем, что значение функции при любом икс совпадает с её периодичностью x+2π.

Пересечение оси Ох происходит в точках перегиба πK. Максимум достигается при положительном π/2+2πK, а обратное — -π/2+2πK. Свойства кривой проявляются в частном либо комплексном виде:

  • размах;
  • растяжение/сжатие;
  • фазовые колебания;
  • круговая частота.

При сдвиге графика влево к значению пи/2 образуется косинусоида. Любое изменение величины характерно для квадрата с гармоническими колебаниями. Примеры подобных явлений: движение маятника, сбои с напряжением в электросети. Другой случай с синусоидальными колебаниями — звук. Он редко бывает чистым, соответствуя y=A sin wt, где:

  • А (а) — модуль неизвестной (расстояние от начала координат до точки А);
  • w — угловая частота;
  • t — время.

Чаще издаются обертоны, для которых характерны низкие амплитуды. Подобные явления изучаются в школе на уроках физики в старших классах.

Свойства и доказательства

К главным свойствам синусоиды относятся область значений (включая нуль) и определений, чётность/нечётность, периодичность, точки пересечения с осью координат, промежуточности постоянства, убывания и возрастания, минимум и максимум. При пересечении графика функции (ГФ) с осью Ох результат равняется нулю. Под значением синуса подразумевается ордината соответствующей точки единичной окружности.

Так как через круг в одной области можно провести только одну прямую, перпендикулярную оси, поэтому для области определения функции подходят все числа. Такое свойство записывается следующим образом: D (sin x) = R.

Значения ординаты единичной окружности (ЕД) расположены на отрезке [—1; 1]. Они принимают значения от -1 до 1. Через любую точку указанного промежутка оси ординат, равного диаметром ЕД, проводится прямая, перпендикулярная оси ординат. Таким способом получается точка с рассматриваемой ординатой.

Из свойства вытекает следующее: функция y= sin x имеет область значений (-1; 1). Утверждение записывается так: E (sin x)=(-1; 1). Максимальное значение функции равняется единице. Подобное возможно, если соответствующей точкой ЕД является точка А. Минимальное число y равно -1 в случае, когда точкой ЕД является В (х=пи/2 +2пиk, где k принадлежит области Z.

Нечётность и постоянство

Функция считается нечётной, если sin (-x)=- sin x. Её график симметричен по отношению к началу координат. Сам синус является периодической величиной, у которой наименьший положительный период. Через отрезок 2пи вид кривой повторяется. Это свойство учитывается при построении графика.

Предварительно чертится кривая на любом отрезке соответствующей длины. При переносе линии влево и вправо соблюдается шаг в kT=2 πk, где k — любая натуральная цифра. Для вычисления точек пересечения линии с осями координат используется равенство х=0. Если значение подставить в функцию, получится следующее: y=sin 0=0. В таком случае график проходит через начало координат.

Так как y равен нулю, поэтому можно рассчитать х, воспользовавшись формулой y= sin x. Координата подходящей точки ЕД равняется нулю. Такое явление будет наблюдаться только в случае, если на ЕД будут выбраны точки D либо C, при x=πk, k принадлежит Z.

Функция имеет положительное значение в первой и во второй четвертях. На этих промежутках sin x больше нуля, а любое значение х находится в пределах 0-π.

При решении задач учитывается период при всех x, принадлежащих отрезку (2πk; π+2πk), где k принадлежит Z. Функция считается отрицательной в третьем и четвёртом квадрате.

При этом sin меньше нуля, а иск находится в пределах (пи+2пиk; 2пи+2пиk), k принадлежит области Z.

Больше и меньше

С учётом периодичности y с периодом T=2π исследуется функция на возрастание и убывание на любом отрезке длиной в 2пи. Если T= (-π/2;3π/2), а х принадлежит данному промежутку, тогда при увеличении аргумента изменится в большую сторону и ордината. Следовательно, на указанном отрезке синусоида возрастает.

Если учитывать её периодичность, можно прийти к выводу, что она возрастает на каждом интервале (-π/2+2πk; π/2+2πk), k принадлежит Z. Если х находится на отрезке (-π/2;3π/2), тогда при увеличении аргумента ордината ЕД уменьшается, а функция убывает. С учётом периодичности синусоиды можно сделать вывод, что она бывает на каждом отрезке (π/2+2πk;3π/2+2πk), k находится в области Z.

Основываясь на проведённом исследовании, строится график y=sin x. С учётом периодичности 2π предварительно строится график на любом отрезке соответствующей длины.

Чтобы точно построить точки, рекомендуется придерживаться значения синуса (ордината ЕД). На основе нечётности проводится кривая, симметричная началу координат. При этом необходимо придерживаться интервала (-π;0).

Так как линия строится на отрезке длиной 2π, поэтому учитывается периодичность величины.

Вид графика повторяется на каждом отрезке с аналогичной длиной. Таким способом получается синусоида.

Рассматриваемая тригонометрическая функция получила широкое применение в технике, физике и математике.

Большинство процессов, включая колебания струн, напряжения в цепи, описываются с помощью функции, задаваемой формулой y= A sin (wx + f). Подобные явления считаются гармоническими колебаниями.

Кривая получается из синусоиды за счёт разных колебаний и путём параллельного переноса вдоль оси Ох. Чаще изменения результата связаны с функцией времени t. В таком случае используется формула y= A sin (wx + f), где через А обозначается амплитуда колебания, через w — частота, f — начальная фаза, 2пи/f — период колебания.

Источник: https://nauka.club/matematika/sinusoid%D0%B0.html

Сдвиг графика влево/вправо вдоль оси абсцисс

Смещение графика синусоиды. График функции y = sin x

Если к АРГУМЕНТУ функции добавляется константа, то происходит сдвиг (параллельный перенос) графика вдоль оси . Рассмотрим функцию и положительное число :

Правила:
1) чтобы построить график функции , нужно график сдвинуть ВДОЛЬ оси на единиц влево;
2) чтобы построить график функции , нужно график сдвинуть ВДОЛЬ оси на единиц вправо.

Пример 6

Построить график функции

Берём параболу и сдвигаем её вдоль оси абсцисс на 1 единицу вправо:

«Опознавательным маячком» служит значение , именно здесь находится вершина параболы .

Теперь, думаю, ни у кого не возникнет трудностей с построением графика (демонстрационный пример начала урока) – кубическую параболу нужно сдвинуть на 2 единицы влево.

Вот ещё один характерный случай:

Пример 7

Построить график функции

Гиперболу (чёрный цвет) сдвинем вдоль оси на 2 единицы влево:

Перемещение гиперболы «выдаёт» значение, которое не входит в область определения функции.

В данном примере , иуравнение прямой задаёт вертикальную асимптоту(красный пунктир) графика функции (красная сплошная линия).

Таким образом, при параллельном переносе асимптота графика тоже сдвигается (что очевидно).

Вернёмся к тригонометрическим функциям:

Пример 8

Построить график функции

График синуса (чёрный цвет) сдвинем вдоль оси вдоль оси на влево:

Внимательно присмотримся к полученному красному графику ….

Это в точности график косинуса ! По сути, мы получили геометрическую иллюстрацию формулы приведения , и перед вами, пожалуй, самая «знаменитая» формула, связывающая данные тригонометрические функции.

График функции получается путём сдвига синусоиды вдоль оси на единиц влево (о чём уже говорилось на уроке Графики и свойства элементарных функций). Аналогично можно убедиться в справедливости любой другой формулы приведения.

Рассмотрим композиционное правило, когда аргумент представляет собой линейную функцию: , при этом параметр «ка» не равен нулю или единице, параметр «бэ» – не равеннулю.

Как построить график такой функции? Из школьного курса мы знаем, что, что умножение имеет приоритет перед сложением, поэтому, казалось бы, сначала график сжимаем/растягиваем/отображаем в зависимости от значения , а потом сдвигаем на единиц.

Но здесь есть подводный камень, и корректный алгоритм таков:

Аргумент функции необходимо представить в виде и последовательно выполнить следующие преобразования:

1) График функции сжимаем (или растягиваем) к оси (от оси) ординат: (если , то график дополнительно следует отобразить симметрично относительно оси ).

2) График полученной функции сдвигаем влево (или вправо) вдоль оси абсцисс на(!!!) единиц, в результате чего будет построен искомый график .

Пример 9

Построить график функции

Представим функцию в виде и выполним следующие преобразования: синусоиду (чёрный цвет):

1) сожмём к оси в два раза: (синий цвет);
2) сдвинем вдоль оси на (!!!) влево: (красный цвет):

Пример вроде бы несложный, а пролететь с параллельным переносом легче лёгкого. График сдвигается на , а вовсе не на .

Продолжаем расправляться с функциями начала урока:

Пример 10

Построить график функции

Представим функцию в виде . В данном случае: Построение проведём в три шага. График натурального логарифма :

1) сожмём к оси в 2 раза: ;
2) отобразим симметрично относительно оси : ;
3) сдвинем вдоль оси на (!!!) вправо: :

Для самоконтроля в итоговую функцию можно подставить пару значений «икс», например, и свериться с полученным графиком.

В рассмотренных параграфах события происходили «горизонтально» – гармонь играет, ноги пляшут влево/вправо. Но похожие преобразования происходят и в «вертикальном» направлении – вдоль оси . Принципиальное отличие состоит в том, что связаны они не с АРГУМЕНТОМ, а с САМОЙ ФУНКЦИЕЙ.

Растяжение (сжатие) графика ВДОЛЬ оси ординат.
Симметричное отображение графика относительно оси абсцисс

Структура второй части статьи будет очень похожа.

1) Если ФУНКЦИЯ умножается на число , то происходитрастяжение её графика вдоль оси ординат.

Правило: чтобы построить график функции , где , нужно график функции растянуть вдоль оси в раз.

2) Если ФУНКЦИЯ умножается на число , то происходит сжатие её графика вдоль оси ординат.

Правило: чтобы построить график функции , где , нужно график функции сжать вдоль оси в раз.

Догадайтесь, какую функцию я буду снова пытать =)

Пример 11

Построить графики функций .

Берём синусоиду за макушку/пятки:

И вытягиваем её вдоль оси в 2 раза:

Период функции не изменился и составляет , а вот значения (все, кроме нулевых) увеличились по модулю в два раза, что логично – ведь функция умножается на 2, и область её значений удваивается: .

Теперь сожмём синусоиду вдоль оси в 2 раза:

Аналогично, период не изменился, но область значений функции «сплющилась» в два раза: .

Нет, у меня нет какого-то пристрастного отношения к синусоиде, просто я хотел продемонстрировать, чем отличаются графики функций (Примеры №№1,3) от только что построенных собратьев .

Постарайтесь ещё раз проанализировать и качественнее понять эти элементарные случаи.

Даже минимальные знания о преобразованиях графиков окажут вам неоценимую помощь в ходе решения других задач высшей математики!

И, конечно же, классический пример растяжения/сжатия параболы:

Пример 12

Построить графики функций .

Возьмём рога молодого оленя и вытянем их вверх вдоль оси в два раза: . Затем сожмёмвдоль оси ординат в 2 раза:

И снова заметьте, что значения функции увеличиваются в 2 раза, а значения уменьшаются во столько же раз (исключение составляет точка ).

Отпустим в тундру удивлённое животное и продолжим изучать умножение функции на число: . Случаи не представляют интереса, поэтому рассмотрим отрицательные коэффициенты. Сначала распространённый частный случай :

Если ФУНКЦИЯ меняет знакна противоположный, то её график отображается симметрично относительно оси абсцисс.

Правило: чтобы построить график функции , нужно график отобразить симметрично относительно оси .

Пример 13

Построить график функции

Отобразим синусоиду симметрично относительно оси :

Ещё более наглядно симметрия просматривается у следующей типовой функции:

Пример 14

Построить график функции

График функции получается путём симметричного отображения графика относительно оси абсцисс:

Функции задают две ветви параболы, которая «лежит на боку».

Обратная функция задаёт параболу целиком.

С подобными графиками часто приходится иметь дело при нахождении площадей фигур, построении областей интегрирования двойных интегралов и в некоторых других задачах.

При умножении функции на отрицательное число , , построение графика следует выполнить в два этапа: сжатие (или растяжение) вдоль оси ординат, а потом – симметричное отображение относительно оси абсцисс. Конкретные примеры увидим в следующем топике.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/17_44097_sdvig-grafika-vlevovpravo-vdol-osi-abstsiss.html

Мед-Центр Здоровье
Добавить комментарий