Решение целых рациональных уравнений. Простейшие рациональные уравнения. Примеры

Решение рациональных уравнений

Решение целых рациональных уравнений. Простейшие рациональные уравнения. Примеры

Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим. 2012-04-20

» СТАТЬИ » ВИДЕОУРОКИ » Рациональные уравнения. Семь типов рациональных уравнений, сводящихся к квадратным

В этой статье я покажу вам алгоритмы решения семи типов рациональных уравнений, которые  с помощью замены переменных сводятся к квадратным. В  большинстве случаев преобразования, которые приводят к замене, весьма нетривиальны, и самостоятельно о них догадаться достаточно трудно.

Для каждого типа уравнений я объясню, как в нем делать замену переменной, а затем в соответствующем видеоуроке покажу подробное решение.

У вас есть возможность  продолжить решение  уравнений самостоятельно, а затем сверить свое решение с видеоуроком.

Итак, начнем.

1. (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Заметим, что в левой части уравнения стоит произведение четырех скобок, а в правой – число.

1. Сгруппируем скобки по две так, чтобы сумма свободных членов была одинаковой.

2. Перемножим их.

3. Введем замену переменной.

В нашем уравнении сгруппируем первую скобку с третьей,  а вторую с четвертой,так как  (-1)+(-4)=(-7)+2:

В этом месте замена переменной становится очевидной: 

Получаем уравнение 

Ответ:  

2.

Уравнение этого типа похоже на предыдущее с одним отличием: в правой части уравнения стоит произведение числа на . И решается оно совсем по-другому:

1. Группируем скобки по две так, чтобы произведение свободных членов было одинаковым.

2. Перемножаем каждую пару скобок.

3. Из каждого множителя выносим за скобку х.

4. Делим обе части уравнения на .

5. Вводим замену переменной.

В этом уравнении сгруппируем первую скобку с четвертой, а вторую с третьей, так как :

Заметим, что в каждой скобке коэффициент при  и свободный член одинаковые. Вынесем из каждой скобки множитель :

Так как х=0 не является корнем исходного уравнения, разделим обе части уравнения на . Получим:

Теперь можем ввести замену переменной: 

Получим уравнение: 

Ответ:

3

Заметим, что в знаменателях обоих дробей стоят квадратные трехчлены, у которых старший коэффициент и свободный член одинаковые. Вынесем, как и в уравнении второго типа х за скобку. Получим:

Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на х:

Теперь можем ввести замену переменной:

Получим уравнение относительно переменной t:

Ответ: 

4.

Заметим, что коэффициенты уравнения симметричны относительно центрального. Такое уравнение называется возвратным.

Чтобы его  решить,

1. Разделим обе части уравнения на  (Мы можем это сделать, так как х=0 не является корнем уравнения.) Получим:

2. Сгруппируем слагаемые таким образом:

3. В каждой группе вынесем за скобку общий множитель:

4. Введем замену: 

5. Выразим через t выражение :

Отсюда 

Получим уравнение относительно t:

Ответ: 

5.  Однородные уравнения.

Уравнения, имеющие структуру однородного, могут встретиться при решении показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений, поэтому ее нужно уметь распознавать.

Однородные уравнения имеют такую структуру:

В этом равенстве А, В и С – числа, а квадратиком и кружочком обозначены одинаковые выражения. То есть в левой части однородного уравнения стоит сумма одночленов, имеющих одинаковую степень ( в данном случае степень одночленов равна 2), и свободный член отсутствует.

Чтобы решить однородное уравнение, разделим обе части на 

Или на 

Или на 

Внимание! При делении правой и левой части уравнения на выражение, содержащее неизвестное, можно потерять корни. Поэтому необходимо проверить, не являются ли корни того выражения, на которое мы делим обе части уравнения, корнями исходного уравнения.

Пойдем первым путем. Получим уравнение:

Сократим дроби, получим:

Теперь мы вводим замену переменной:

И решаем квадратное уравнение относительно замены:

.

Решим уравнение:

При решении уравнения я обычно придерживаюсь такой тактики: нужно уменьшить количество различных выражений, в состав которых входит неизвестное (принцип “бритвы Оккама” – не нужно множить сущности без нужды), а для этого помогает разложить выражения с неизвестным на множители. Разложим выражение, стоящее в правой части уравнения на множители.

Перенесем все влево, получим:

Теперь мы видим,  что перед нами однородное уравнение. Разделим обе части уравнения на , предварительно проверив, что х=1 не является корнем исходного уравнения.

Теперь самое время ввести замену переменной:

Получим квадратное уравнение:

Ответ:

6

Это уравнение имеет такую структуру:

Решается с помощью введения вот такой замены переменной:

В нашем уравнении ,тогда . Введем замену:

Теперь возведем каждую скобку в четвертую степень, используя треугольник Паскаля:

Упростим выражение и получим биквадратное уравнение относительно  t:

Ответ:  или 

7

Это уравнение имеет такую структуру:

Чтобы его решить, нужно в левой части уравнения выделить полный квадрат.

Чтобы выделить полный квдарат, нужно прибавить или вычесть удовоенное произведение. Тогда мы получим квадрат суммы ли разности. Для удачной замены переменной это имеет определяющее значение.

Начнем с нахождения удвоенного произведения. Именно оно будет ключиком для замены переменной. В нашем уравнении удвоенное произведение равно

Теперь прикинем, что нам удобнее иметь – квадрат суммы или разности. Рассмотрим, для начала сумму выражений:

Отлично! это выражении в точности равно удвоенному произведению. Тогда, чтобы в скобках получить квадрат суммы, нужно прибавить и вычесть удвоенное произведение:

[/pmath]

Введем замену: 

Получим квадратное уравнение:

Ответ: 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Источник: //ege-ok.ru/2012/04/20/ratsionalnyie-uravneniya-sem-tipov-ratsionalnyih-uravneniy-svodyashhihsya-k-kvadratnyim

Дробно-рациональные уравнения. Алгоритм решения

Решение целых рациональных уравнений. Простейшие рациональные уравнения. Примеры

Проще говоря, это уравнения, в которых есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе. 

Например:

\(\frac{9×2-1}{3x}\)\(=0\)
\(\frac{1}{2x}+\frac{x}{x+1}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{6}{x+1}=\frac{x2-5x}{x+1}\)

Пример не дробно-рациональных уравнений:

\(\frac{9×2-1}{3}\)\(=0\)
\(\frac{x}{2}\)\(+8×2=6\)

Главное, что надо запомнить про дробно-рациональные уравнения – в них надо писать ОДЗ. И после нахождения корней – обязательно проверять их на допустимость. Иначе могут появиться посторонние корни, и все решение будет считаться неверным.

Алгоритм решения дробно-рационального уравнения:

  1. Выпишите и «решите» ОДЗ.

  2. Найдите общий знаменатель дробей.

  3. Умножьте каждый член уравнения на общий знаменатель и сократите полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

  4. Запишите уравнение, не раскрывая скобок.

  5. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые.

  6. Решите полученное уравнение.

  7. Проверьте найденные корни с ОДЗ.

  8. Запишите в ответ корни, которые прошли проверку в п.7.

Алгоритм не заучивайте, 3-5 решенных уравнений – и он запомнится сам.

Пример. Решите дробно-рациональное уравнение \(\frac{x}{x-2} – \frac{7}{x+2}=\frac{8}{x2-4}\)

Решение:

\(\frac{x}{x-2} – \frac{7}{x+2}=\frac{8}{x2-4}\) ОДЗ:   \(x-2≠0⇔x≠2\) \(x+2≠0 ⇔x≠-2\)\(x2-4≠0⇔ x≠±2\)Сначала записываем и “решаем” ОДЗ.
\(\frac{x}{x-2} – \frac{7}{x+2}=\frac{8}{x2-4}\)По формуле сокращенного умножения: \(x2-4=(x-2)(x+2)\). Значит, общий знаменатель дробей будет \((x-2)(x+2)\). Умножаем каждый член уравнения на \((x-2)(x+2)\).
\(\frac{x(x-2)(x+2)}{x-2} – \frac{7(x-2)(x+2)}{x+2}=\frac{8(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+2)}\)Сокращаем то, что можно и записываем получившееся уравнение.
\(x(x+2)-7(x-2)=8\)Раскрываем скобки
\(x2+2x-7x+14=8\)Приводим подобные слагаемые
\(x2-5x+6=0\)Решаем полученное квадратное уравнение.
\(x_1=2;\)            \(x_2=3\)Согласуем корни с ОДЗ. Замечаем, что по ОДЗ \(x≠2\). Значит первый корень – посторонний. В ответ записываем только второй.

Ответ: \(3\).

Пример. Найдите корни дробно-рационального уравнения \(\frac{x}{x+2} + \frac{x+1}{x+5}-\frac{7-x}{x2+7x+10}\)\(=0\)

Решение:

\(\frac{x}{x+2} + \frac{x+1}{x+5}-\frac{7-x}{x2+7x+10}\)\(=0\) ОДЗ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac{-7+3}{2}=-2\)\(x_2≠\frac{-7-3}{2}=-5\)Записываем и «решаем» ОДЗ. Раскладываем   квадратный трехчлен \(x2+7x+10\) на  множители по формуле: \(ax2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Благо \(x_1\) и \(x_2\) мы уже нашли.
\(\frac{x}{x+2} + \frac{x+1}{x+5}-\frac{7-x}{(x+2)(x+5)}\)\(=0\)Очевидно, общий знаменатель дробей: \((x+2)(x+5)\). Умножаем на него всё уравнение.
\(\frac{x(x+2)(x+5)}{x+2} + \frac{(x+1)(x+2)(x+5)}{x+5}-\) \(-\frac{(7-x)(x+2)(x+5)}{(x+2)(x+5)}\)\(=0\)Сокращаем дроби
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)Раскрываем скобки
\(x2+5x+x2+3x+2-7+x=0\)Приводим подобные слагаемые
\(2×2+9x-5=0\)Находим корни уравнения
\(x_1=-5;\)        \(x_2=\frac{1}{2}.\)Один из корней не подходи под ОДЗ, поэтому в ответ записываем только второй корень.

Ответ: \(\frac{1}{2}\).

Дробно-рациональные  неравенства

Скачать статью {Q(x)}\)\(=0\), где \(P(x)\) и \(Q(x)\) – выражения с иксом (или другой переменной).”,”word_count”:330,”direction”:”ltr”,”total_pages”:1,”rendered_pages”:1}

Источник: //cos-cos.ru/math/151/

Рациональные уравнения. Подробная теория с примерами

Решение целых рациональных уравнений. Простейшие рациональные уравнения. Примеры

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Определение рационального уравнения Разберемся что такое рациональные уравнения, а что – иррациональные Целые рациональные уравнения Дробно рациональные уравнения Алгоритм правильного решения рациональных уравнений РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ. Рациональные уравнения. краткое изложение и основные формулы

Определение рационального уравнения

Рациональные уравнения – это уравнения, в которых и левая, и правая части рациональные выражения. 

Ну… это было сухое математическое определение и слово-то какое, «рациональные».

А по сути, рациональные выражения это просто целые и дробные выражения без знака корня.

Что же получается?

А получается что под пугающим «рациональным уравнением» скрывается всего лишь уравнение, в котором могут присутствовать сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень с целым показателем, но НЕ корень из переменной.

Разберемся что такое рациональные уравнения, а что – иррациональные

Как думаешь, какое это уравнение?

Тут есть сложение, умножение, нет корней, и степеней никаких – рациональное!

А это?

Вот тебе и корень из переменной, значит уравнение НЕ рациональное (или иррациональное).

Что скажешь насчет этого?

А это – рациональное.

А здесь?

Тут вот степень, но она с целым показателем степени ( – целое число) – значит это тоже рациональное уравнение.

А вот это с отрицательным показателем степени?

Даже уравнение с отрицательным показателем степени тоже является рациональным, ведь по сути  , это  

Ну и вот это?

Тоже рациональное, т.к.  

И последней с дробной степенью?

А с ним поосторожнее, степень-то дробная, а по свойству корней  

Как ты помнишь корня в рациональных уравнениях не бывает.

Надеюсь, теперь ты сможешь различать, к какому виду относится уравнение.

Целые рациональные уравнения

Важно знать, что рациональные уравнения в свою очередь тоже разные бывают.

Если в дроби нет деления на переменную (то есть на  ,   и т.д.), тогда рациональное уравнение будет называться целым (или линейным) уравнением.

Вот примеры:

Умеешь такие решать? 

Конечно, умеешь, упрощаешь и находишь неизвестное. Но, рассмотрим первый из примеров на всякий случай.

Пример 1

Все неизвестные переносим влево, все известные вправо:

 ;

Какой наименьший общий знаменатель будет?

Правильно  !

Чтоб к нему привести домножаем и числитель и знаменатель первого слагаемого на  , а второго на  ,

А   не трогаем, оно нам не мешает, имеем:

  ,

А теперь делим обе части на  :

Тут все просто?

Поскольку уравнение целое, что мы уже определили, то и ограничений никаких нет,  , так  

Можно для верности подставить этот ответ в исходное уравнение, получим  , значит все верно и ответ подходит.

Дробно рациональные уравнения

А вот еще одно уравнение  .

Это уравнение целое?

НЕТ!!!

Тут есть деление на переменную  , а это говорит о том, что уравнение не целое.

Тогда какое же оно?

Это дробно рациональное уравнение.

Дробно рациональное уравнение – рациональное (без знака корня) уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями.

На первый взгляд особой разницы не видно…

Ну давай попробуем решать его как мы решали целое (линейное) уравнение.

Для начала найдем наименьший общий знаменатель, это будет  .

Важный момент!!!

В предыдущем примере, где было целое уравнение мы не стали свободный член   приводить к знаменателю, т.к. умножали все на числа без переменных. 

Но тут-то наименьший общий знаменатель  .

А это тебе не шутки, переменная в знаменателе!

Решая дробно рациональное уравнение, обе его части умножаем на наименьший общий знаменатель!

Это надеюсь, ты запомнишь, но давай посмотрим что вышло:

 .

Что-то оно огромное получилось, надо все посокращать:

 .

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

Ну как, это уже попроще выглядит, чем в начале было?

Выносим за скобку общий множитель:  

У этого уравнения два решения, его левая сторона принимает нулевое значение при   и  .

Вроде бы все, ну ладно давайте напоследок подставим корни   и   в исходное уравнение, чтобы проверить, нет ли ошибок.

Сначала подставим  , получается   

Нет претензий?

С ним все нормально.

А теперь  , и тут же видим в знаменателе первого члена  !

Но ведь это же будет ноль!

На ноль делить нельзя, это все знают, в чем же дело???

Дело в ОДЗ! (если забыл что это, повтори тему «ОДЗ») – 

Области Допустимых Значений

Всякий раз когда ты видишь уравнение, где есть ПЕРЕМЕННЫЕ в знаменателе, прежде всего, нужно найти ОДЗ.

Найти какие значения может принимать икс.

Хотя удобнее в ОДЗ написать чему икс НЕ может быть равен, ведь таких значений не так много, как правило.

Просто запомни, что на ноль делить нельзя!

И перед тем как решать наше уравнение нам следовало сделать так:

ОДЗ:   и     и  .

Если бы мы сразу так написали, то заранее бы знали, что эти ответы стоит исключить.

И так, из полученных нами   и   мы смело исключаем  , т.к. он противоречит ОДЗ.

Значит, какой ответ будет у решенного уравнения?

В ответ стоит написать только один корень,  .

Стоит заметить, что ОДЗ не всегда сказывается на ответе. 

Возможны случаи, когда корни, которые мы получили, не попадают под ограничения ОДЗ.

Но писать ОДЗ в дробно рациональных уравнениях стоит всегда – так просто спокойнее, что ты ничего не упустил и да,

ВСЕГДА по окончании решения сверяй свои корни и область допустимых значений!

Алгоритм правильного решения рациональных уравнений

  1. Понять, точно ли перед тобой рациональное уравнение (убедись, что в нем нет корней);
  2. Определить ОДЗ;
  3. Найти общий знаменатель дробей и умножить на него обе части уравнения;
  4. Решить получившееся целое уравнение;
  5. Исключить из его корней те, которые обращают в ноль знаменатель дробей.

Усвоил, говоришь? Вот тебе 3 примера на закрепление.

РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Рациональное выражение – это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной   с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.

Ну а рациональное уравнение – это равенство двух рациональных выражений.

Дробно рациональные уравнения — рациональные (без знака корня) уравнения, в которых левая или правая части являются дробными выражениями.

Например:

Чаще всего мы встречаем именно дробно рациональные уравнения.

В общем случае при решении рациональных уравнений мы стремимся преобразовать его к виду: 

Произведение = ” ” или Дробь = ” “, например:

 .

Тогда мы сможем сказать, что любой из множителей числителя может быть равен нулю, но знаменатель при этом нулю не равен.

Для этого нам нужно сначала всё перенести в левую часть уравнения (не забываем при этом поменять знаки между слагаемыми: ” ” на ” ” и наоборот).

Затем мы обычно приводим все к общему знаменателю, и пишем систему:

Пример 5

Если знаменателя нет, или он является числом, – тем лучше, не придется решать неравенство.

Как бы то ни было, в ЕГЭ все рациональные выражения степени больше   легко преобразуются в произведение более простых выражений при помощи либо перегруппировки, либо замены переменных (см. раздел «Разложение многочлена на множители»).

Пример 6

Перегруппируем:

Раскроем скобки в каждой группе:

Сделаем замену:

Тогда:

  .

Решив квадратное уравнение, получим:

Обратная замена:

Таким образом, нам пришлось решить три квадратных уравнения вместо одного уравнения 4-й степени.

Еще примеры дробно рациональных уравнений (реши их самостоятельно):

Пример 8

2.  

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, разложим знаменатель правой дроби на множители.

Это квадратный трехчлен, поэтому надо вспомнить, как расклажывать на множители (подробное описание см. в разделе «Разложение на множители»).

Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

 .

Решаем его с помощью теоремы Виета: произведение корней равно  , а сумма  .

Подбором устанавливаем, что это числа   и  .

Тогда:

 Теперь видно, что знаменатели дробей имеют общий множитель  :

 При таком раскладе очевидно, что корней вообще нет.

Если  , получим деление на  .

Значит, ответом здесь будет пустое множество (пишется  ).

Ответ:  .

Пример 9

3.  

 Сперва уростим выражение в левой части, то есть приведем к нормальному «двухэтажному» виду:

 Теперь переносим все в одну сторону и приводим к общему знаменателю.

Квадратный трехчлен в левой части раскладывается на множители следующим образом:

 Очевидно, что общих множителей у знаменателей нет, поэтому их нужно просто перемножить:

Ответ:  .

Рациональные уравнения. краткое изложение и основные формулы

Рациональное уравнение – это равенство двух рациональных (без знака корня) выражений.

Алгоритм решения рациональных уравнений:

  1. Понять, точно ли это рациональное уравнение (убедись, что в нем нет корней);
  2. Определить ОДЗ;
  3. Найти общий знаменатель дробей и умножить на него обе части уравнения;
  4. Решить получившееся целое уравнение;
  5. Исключить из его корней те, которые обращают в ноль знаменатель дробей.

Дробно рациональное уравнение – рациональное (без знака корня) уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями.

Система для решения дробно рациональных уравнений: 

 .

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике, 

А также получить доступ к учебнику YouClever без ограничений…

можно кликнув по этой ссылке.

Источник: //youclever.org/book/ratsionalnye-uravneniya-1

Как решать рациональные уравнения?

В зависимости от того, имеете ли вы дело с целым рациональным уравнением или с дробным, применяются несколько разные алгоритмы для решения.

Алгоритм решения целых рациональных уравнений

  1. В начале необходимо определить наименьший общий знаменатель для всего равенства.
  2. Затем нужно определить множители, на которые нужно домножить каждый член равенства.
  3. Следующий этап — приведение к общему знаменателю всего равенства.
  4. Наконец, осуществление поиска корней полученного целого рационального равенства.

Пример 1

Решите уравнение: $\frac{5x+9}{2}=\frac{x}{4}$

Сначала найдём общий множитель — в данном случае это число $4$.Для того чтобы избавиться от знаменателя, домножим левую часть на $\frac{2}{2}$, получаем:

$10x+18=x$ — полученное уравнение является линейным, его корень $x=-2$.

Как решать дробно-рациональные уравнения?

В случае с дробными рациональными уравнениями порядок решения похож на алгоритм для решения целых рациональных, то есть сохраняются пункты 1-4, но после нахождения предполагаемых корней в случае использования неравносильных преобразований корни требуется проверить, подставив в уравнение.

Пример 2

Решите дробно-рациональное уравнение: $\frac{x-3}{x-5}+\frac{1}{x}=\frac{x+5}{x \cdot (x-5)}$

Для того чтобы привести дробь к общему знаменателю, здесь это $x \cdot (x-5)$, домножим каждую дробь на единицу, представленную в виде необходимого для приведения к общему знаменателю множителя:

$\frac{(x-3) \cdot x}{(x-5)\cdot x}+\frac{1 \cdot (x-5)}{x \cdot (x-5)}=\frac{x+5}{x \cdot (x-5)}$

Теперь, когда вся дробь имеет общий знаменатель, от него можно избавиться:

$(x-3) \cdot x+(x-5)=x+5$

$x2 – 3x+x-5 = x+5$

$x2-3x-10=0$

Воспользуемся теоремой Виета для решения получившегося квадратного уравнения:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \\ x_1 \cdot x_2 = -10 \\ \end{cases}$

$\begin{cases} x_1=5 \\ x_2=-2 \\ \end{cases}$

Так как преобразование, использовавшееся для упрощения уравнения, не является равносильным, полученные корни необходимо проверить в исходном уравнении, для этого подставим их:

$x_2=-2$:

$\frac{-2-3}{-2-5} +\frac{1}{-2}=\frac{-2+5}{(-2) \cdot (-2-5)}$

$\frac{5}{7}-\frac{1}{2}=\frac{3}{14}$

$\frac{3}{14}=\frac{3}{14}$ — следовательно, корень $x_2=-2$ — верный.

$x_1=5$:

$\frac{5-3}{5-5} +\frac{1}{5}=\frac{5+5}{(-2) \cdot (5-5)}$

Здесь сразу видно, что в знаменателе образуется нуль, следовательно, корень $x_1=5$ — посторонний.

Необходимо помнить, что в случае, если уравнение, содержащее в левой или правой части выражение вида $\frac{m}{n}$ равно нулю, равен нулю может быть только числитель дроби.

Это происходит из-за того, что, если где-то в знаменателе образуется нуль, проверяемый корень не является корнем уравнения, так как всё равенство теряет смысл в этом случае.

Корни, приводящие знаменатель к нулю, называются посторонними.

В случае если дробно-рациональное уравнение имеет довольно сложную форму, для его дальнейшего упрощения и решения возможно использовать замену части уравнения на новую переменную, наверняка вы уже видели примеры таких дробно-рациональных уравнений:

Пример 3

Решите уравнение:

$\frac{1}{x2+3x-3}+\frac{2}{x2+3x+1}=\frac{7}{5}$

Для упрощения решения введём переменную $t= x2+3x$:

$\frac{1}{t-3}+\frac{2}{t+1}=\frac{7}{5}$

Общий знаменатель здесь $5 \cdot (t-3)(t+1)$, домножим на необходимые множители все части уравнения чтобы избавиться от него:

$\frac{5(t+1)}{5(t-3)(t+1)}+\frac{2 \cdot 5(t-3)}{5(t+1)(t-3)}=\frac{7(t+1)(t-3)}{5(t-3)(t+1)}$

$5(t+1)+10(t-3)=7(t+1)(t-3)$

$5t+5+10t-30=7(t2-3t+t-3)$

$15t-25=7t2-14t-21$

$7t2-29+4=0$

Через дискриминант вычислим корни:

$t_1=4;t_2=\frac{1}{7}$

Так как мы использовали неравносильные преобразования, необходимо проверить полученные корни в знаменателе, они должны удовлетворять условию $5(t-3)(t+1)≠0$. Оба корня соответствуют этому условию.

Теперь подставим полученные корни вместо $t$ и получим два уравнения:

$x2+3x=4$ и $x2+3x=\frac{1}{7}$.

По теореме Виета корни первого уравнения $x_1=-4; x_2=1$, корни второго же вычислим через дискриминант и имеем $x_{1,2}=\frac{-3±\sqrt{\frac{67}{7}}}{2}$.

Все корни уравнения составят: $x_1=-4; x_2=1, x_{3,4}=\frac{-3±\sqrt{\frac{67}{7}}}{2}$.

Преобразования для упрощения формы уравнения

Как вы уже могли увидеть выше, для решения рациональных уравнений используют различные преобразования.

Различают преобразования уравнений двух видов: равносильные (тождественные) и неравносильные.

Преобразования называются равносильными, если они приводят к уравнению нового вида, корни которого такие же, как у первоначального.

Тождественные преобразования, которые можно использовать для изменения вида первоначального уравнения без каких-либо проверок в дальнейшем, следующие:

  • Умножение или деление всего уравнения на какое-либо число, отличное от нуля;
  • Перенос частей уравнения из левой части в правую и наоборот.

Неравносильными преобразованиями называются преобразования, в ходе которых могут появиться посторонние корни. К неравносильным преобразованиям относят:

  • Возведение обеих частей уравнения в квадрат;
  • Избавление от знаменателей, содержащих переменную;

Корни рациональных уравнений, решённых с помощью неравносильных преобразований, необходимо проверять подстановкой в исходное уравнение, так как при неравносильных преобразованиях могут появиться посторонние корни. Не всегда неравносильные преобразования приводят к появлению посторонних корней, но всё же необходимо это учитывать.

Решение рациональных уравнений со степенями больше двух

Наиболее часто используемыми методами для решения уравнений со степенями больше двух являются метод замены переменной, рассмотренный нами выше на примере дробно-рационального уравнения, а также метод разложения на множители.

Рассмотрим более подробно метод разложения на множители.

Пусть дано уравнение вида $P(x)= 0$, при этом $P(x)$ — многочлен, степень которого больше двух. Если данное уравнение возможно разложить на множители так, что оно принимает вид $P_1(x)P_2(x)P_3(x)..\cdot P_n(x)=0$, то решением данного уравнения будет множество решений уравнений $P_1(x)=0, P_2(x)=0, P_3(x)=0…P_n(x)=0$.

Пример 4

Решите уравнение: $x3+2×2+3x+6=0$

Вынесем общие множители:

$x2(x+2)+3(x+2)=0$

$(x+2)(x2+3)=0$

После разложения на множители нужно решить уравнения $x+2=0$ и $x2+3=0$. Корень первого $x=-2$, второе уравнение корней не имеет, поэтому $x=-2$ — в данном случае окончательный ответ.

Определение 2

Уравнения, в которых коэффициент при переменной со старшей степенью равен единице, называются приведёнными.

Для приведённых уравнений справедливо следующее:

Если такое уравнение с целыми коэффициентами при переменных имеет рациональный корень, то этот корень непременно является целым числом.

Благодаря такому свойству этих уравнений их можно решать перебором целых делителей свободного члена.

Для тех, кто не помнит: свободный член уравнения — это член уравнений, не содержащий при себе в качестве множителя переменную. При этом найдя один из корней такого уравнения, его можно использовать для дальнейшего разложения уравнения на множители.

Пример 5

Решите уравнение:

$x3+4×2-24=0$

Делителями свободного члена будут числа $±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12$ и $±24$. При их проверке подходящим корнем оказался $x=2$. Это значит, что данный многочлен можно разложить с использованием этого корня:$(x-2)(x2+6+12)=0$.

Многочлен во второй паре скобок корней не имеет корней, значит, единственным корнем данного уравнения будет $x=2$.

Другим типом уравнений со степенью больше двух являются биквадратные уравнения вида $ax4+bx2+ c=0$. Такие уравнения решаются путём замены $x2$ на $y$, применив её, получаем уравнение вида $ay2+y+c=0$, а после этого полученное значение новой переменной используют для вычисления исходной переменной.

Также существует ещё один тип уравнений, называемый возвратным. Такие уравнения выглядят так: $ax4+bx3+cx2+bx+a=0$. Такое название они имеют из-за повторения коэффициентов при старших степенях и младших.

Источник: //spravochnick.ru/matematika/reshenie_racionalnyh_uravneniy/

Мед-Центр Здоровье
Добавить комментарий