Производная натурального логарифма и логарифма по основанию a

Натуральные логарифмы. Функция y=ln x, ее свойства, график, дифференцирование. урок. Алгебра 11 Класс

Производная натурального логарифма и логарифма по основанию a

На этом занятии мы изучим следующую тему: «Натуральные логарифмы. Функция y=ln x, её свойства, график, дифференцирование». Для начала дадим определение новому для нас понятию «натуральный логарифм», в основании которого стоит число е. После этого рассмотрим основные свойства функции y=ln x, построим график натурального логарифма, поговорим о его дифференцировании.

Определение.

Натуральным мы будем называть логарифм с основанием .

Напоминание: Что такое ? Давайте вспомним. Итак, рассмотрим функцию . Число иррациональное. В чем его особенность? К графику  касательная в точке  наклонена под градусом  к оси . Рис. 1.

Рис. 1. Касательная к графику функции

Так вот, если касательная наклонена под градусом  к оси , то основание этой функции есть число .

Производная в точке : .

И то есть скорость роста функции в точке  равна значению функции в этой же точке.

Мы вспомнили, что такое число  – основание натурального логарифма.

Теперь дадим строгое определение и обозначение.

Определение.

Натуральным логарифмом (обозначается ln) называется логарифм по основанию .

Несколько примеров, чтобы привыкнуть к новому обозначению.

Примеры:

Итак, мы дали строгое определение натуральному логарифму и привели несколько примеров.

Теперь изучим логарифмическую функцию с натуральным основанием, то есть

Функция . Во-первых, допускаются только положительные значения . Напомним, ≈2,72 – иррациональное число. Для начала, чтобы построить график, используем таблицу.

1
012-1-2

Если ;

Если ;

то вычисляем:

;

Если , то

.

Таким образом, построим график функции по точкам и понимаем характер изменения функции: рис. 2.

Рис. 2. График функции

Прочтем график функции и перечислим ее свойства:

Вот график:

Рис. 3. График функции

Функция определена, когда ;

Функция возрастает на всей области определения (0,∞);

Функция не ограничена ни снизу, ни сверху;

Не существует ,

Функция непрерывна;

;

Функция выпукла. Если рассмотреть отрезок (A;B), то функция находится над отрезком;

Функция дифференцируема. То есть в любой точке есть касательная.

Логарифмическую функцию с натуральным основанием можно дифференцировать. Давайте научимся это делать.

Для этого докажем формулу .

Доказательство.

Мы знаем, что ;

Значит, производная от сложной функции ′;

Также знаем основное логарифмическое тождество:

;

Продифференцируем тождество :

1=

1=

Выразим :

.

Формула доказана. Теперь дифференцировать логарифмические функции с натуральным основанием мы можем.

В итоге имеем две важные формулы:

;

Значит, мы умеем решать любые типовые задачи на производную логарифмической функции с основанием .

Найти производную.

=;

Найти производную функции в точке:

Дано:

Найти:

Решение:

1. Напомним формулу производной от дроби:

Найдем отдельно производные от числителя и знаменателя:

;

;

2.

3. Можно упрощать, а можно просто подставить 0.

Ответ:

Найти касательную:

Дано:

Найти: уравнение касательной к данной прямой в данной точке

Решение.

У нас есть стандартная методика.

Есть уравнение касательной:

Все действия данной методики направлены на то, чтобы найти нужные нам элементы касательной:

Находим точку касания. Так как , то

Точка касания найдена.

Находим производную в любой точке

Находим производную в конкретной точке :

Находим уравнение касательной:

 – таково уравнение касательной.

Теперь дадим иллюстрацию на чертеже:

Как построить график функции ?

Надо стандартную кривую  сдвинуть влево на единицу по оси  (рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация примера

Получим кривую. Ее асимптота . Получили и саму кривую и касательную. То есть, иллюстрация дана.

Итак, мы познакомились с натуральными логарифмами, изучили функцию y=ln x. На следующем уроке мы рассмотрим дифференцирование показательной и логарифмической функций.

Список литературы

  1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
  2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
  3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

1. Найти производную функции:

а) ;

б) .

2.

a) Найти уравнение касательной к прямой  в точке ;

б) Найти уравнение касательной к прямой  в точке .

3. Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 1648, 1656.

Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/naturalnye-logarifmy-funktsiya-y-ln-x-ee-svoystva-grafik-differentsirovanie?konspekt

Производная натурального логарифма и логарифма по основанию a

Производная натурального логарифма и логарифма по основанию a

Доказательство и вывод формул производной натурального логарифма и логарифма по основанию a. Примеры вычисления производных от ln 2x, ln 3x и ln nx. Доказательство формулы производной логарифма n-го порядка методом математической индукции.

Производная натурального логарифма от x равна единице, деленной на x:
(1)   ( ln x )′ = .

Производная логарифма по основанию a равна единице, деленной на переменную x, умноженную на натуральный логарифм от a:
(2)   ( loga x)′ = .

Далее мы приводим вывод этих формул.

Доказательство

Пусть есть некоторое положительное число, не равное единице. Рассмотрим функцию, зависящую от переменной x, которая является логарифмом по основанию :
.
Эта функция определена при . Найдем ее производную по переменной x. По определению, производная является следующим пределом:
(3)   .

Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим свойствам и правилам. Для этого нам нужно знать следующие факты:
А) Свойства логарифма.

Нам понадобятся следующие формулы:
(4)   ;
(5)   ;
(6)   ;
Б) Непрерывность логарифма и свойство пределов для непрерывной функции:
(7)   .

Здесь – некоторая функция, у которой существует предел и этот предел положителен.
В) Значение второго замечательного предела:
(8)   .

Применяем эти факты к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение
. Для этого применим свойства (4) и (5).
.

Далее сделаем подстановку . При , . Тогда

.

Воспользуемся свойством (7) и вторым замечательным пределом (8):
.

И, наконец, применим свойство (6):
.
Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом. Он обозначается так:
.
Тогда   ;
.

Тем самым мы получили формулу (2) производной логарифма.

Производная натурального логарифма

Еще раз выпишем формулу производной логарифма по основанию a:
.
Эта формула имеет наиболее простой вид для натурального логарифма, для которого , . Тогда
(1)   .

Из-за такой простоты, натуральный логарифм очень широко используется в математическом анализе и в других разделах математики, связанных с дифференциальным исчислением. Логарифмические функции с другими основаниями можно выразить через натуральный логарифм, используя свойство (6):
.

Производную логарифма по основанию можно найти из формулы (1), если вынести постоянную за знак дифференцирования:
.

Другие способы доказательство производной логарифма

Здесь мы предполагаем, что нам известна формула производной экспоненты:
(9)   .
Тогда мы можем вывести формулу производной натурального логарифма, учитывая, что логарифм является обратной функцией к экспоненте.

Докажем формулу производной натурального логарифма, применив формулу производной обратной функции:
.
В нашем случае . Обратной функцией к натуральному логарифму является экспонента:
. Ее производная определяется по формуле (9). Переменные можно обозначить любой буквой. В формуле (9), заменим переменную x на y:

.

Поскольку , то
. Тогда

.

Формула доказана.

Теперь докажем формулу производной натурального логарифма с помощью правила дифференцирования сложной функции. Поскольку функции и являются обратными друг к другу, то
.
Дифференцируем это уравнение по переменной x:
(10)   . Производная от икса равна единице:

.

Применяем правило дифференцирования сложной функции:
.
Здесь . Подставим в (10):
. Отсюда

.

Пример

Найти производные от ln 2x,ln 3x и ln nx.

Решение

Исходные функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от функции y = ln nx. Затем подставим n = 2 и n = 3. И, тем самым, получим формулы для производных от ln 2x и ln 3x.

Итак, ищем производную от функции
y = ln nx. Представим эту функцию как сложную функцию, состоящую из двух функций:

1)   Функции , зависящей от переменной : ;

2)   Функции , зависящей от переменной : .
Тогда исходная функция составлена из функций и :
.

Найдем производную от функции по переменной x:
.
Найдем производную от функции по переменной :
.
Применяем формулу производной сложной функции.
.
Здесь мы подставили .

Итак, мы нашли:
(11)   .
Мы видим, что производная не зависит от n. Этот результат вполне естественен, если преобразовать исходную функцию, применяя формулу логарифма от произведения:
.
– это постоянная. Ее производная равна нулю. Тогда по правилу дифференцирования суммы имеем:
.

Ответ

;   ;   .

См. также
Все примеры вычисления производных с решениями > > >

Производная логарифма модуля x

Найдем производную от еще одной очень важной функции – натурального логарифма от модуля x:
(12)   .

Рассмотрим случай . Тогда и функция имеет вид:
. Ее производная определяется по формуле (1):

.

Теперь рассмотрим случай . Тогда и функция имеет вид:
,
где .
Но производную этой функции мы также нашли в приведенном выше примере. Она не зависит от n и равна
. Тогда

.

Объединяем эти два случая в одну формулу:
.

Соответственно, для логарифма по основанию a, имеем:
.

Производные высших порядков натурального логарифма

Рассмотрим функцию
. Мы нашли ее производную первого порядка:

(13)   .

Найдем производную второго порядка:
. Найдем производную третьего порядка:

.

Найдем производную четвертого порядка:

.

Можно заметить, что производная n-го порядка имеет вид:
(14)   .
Докажем это методом математической индукции.

Производные высших порядков логарифма по основанию a

Чтобы найти производную n-го порядка от логарифма по основанию a, нужно выразить его через натуральный логарифм:
. Применяя формулу (14), находим n-ю производную:

.

Олег Одинцов.     : 19-03-2017

Источник: https://1cov-edu.ru/mat_analiz/proizvodnaya/funktsii/ln-x/

Сложные производные. Логарифмическая производная.Производная степенно-показательной функции

Производная натурального логарифма и логарифма по основанию a

Вам кажется, что до экзамена еще много времени? Это месяц? Два? Год? Практика показывает, что ученик лучше всего справляется с экзаменом в том случае, если начал готовиться к нему заблаговременно.

В ЕГЭ немало сложных заданий, который стоят на пути школьника и будущего абитуриента к высшим баллам. Эти преграды нужно научиться преодолевать, к тому же, делать это несложно.

Вам необходимо понять принцип работы с различными заданиями из билетов. Тогда и с новыми не возникнет проблем.

Логарифмы на первый взгляд кажутся невероятно сложными, но при детальном разборе ситуация значительно упрощается. Если вы хотите сдать ЕГЭ на высший балл, вам стоит разобраться в рассматриваемом понятии, что мы и предлагаем сделать в этой статье.

Для начала разделим эти определения. Что такое логарифм (log)? Это показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить указанное число. Если непонятно, разберем элементарный пример.

В этом случае основание, стоящее внизу, необходимо возвести во вторую степень, чтобы получить число 4.

Теперь разберемся со вторым понятием. Производная функции в любом виде называется понятие, характеризующее изменение функции в приведенной точке. Впрочем, это школьная программа, и если вы испытываете проблемы с данными понятиями по отдельности, стоит повторить тему.

Производная логарифма

В задания ЕГЭ по этой теме можно привести несколько задач в качестве примера. Для начала самая простая логарифмическая производная. Необходимо найти производную следующей функции.

Нам нужно найти следующую производную

Существует специальная формула.

В этом случае x=u, log3x=v. Подставляем значения из нашей функции в формулу.

Производная x будет равняться единице. С логарифмом немного труднее. Но принцип вы поймете, если просто подставите значения. Напомним, что производной lg x называется производная десятичного логарифма, а производная ln х — это производная от натурального логорифма (по основанию e).

Теперь просто подставьте полученные значения в формулу. Попробуйте сами, далее сверим ответ.

В чем здесь может быть проблема для некоторых? Мы ввели понятие натурального логарифма. Расскажем о нем, а заодно разберемся, как решать задачи с ним. Ничего сложного вы не увидите, особенно, когда поймете принцип его работы. К нему вам стоит привыкнуть, так как он нередко используется в математике (в высших учебных заведениях тем более).

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо – в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ – раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности – включая административные, технические и физические – для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Продолжаем повышать свою технику дифференцирования. На данном уроке мы закрепим пройденный материал, рассмотрим более сложные производные, а также познакомимся с новыми приемами и хитростями нахождения производной, в частности, с логарифмической производной.

Тем читателям, у кого низкий уровень подготовки, следует обратиться к статье Как найти производную? Примеры решений, которая позволит поднять свои навыки практически с нуля.

Далее необходимо внимательно изучить страницу Производная сложной функции, понять и прорешать все приведенные мной примеры. Данный урок логически третий по счету, и после его освоения Вы будете уверенно дифференцировать достаточно сложные функции.

Нежелательно придерживаться позиции «Куда еще? Да и так хватит!», поскольку все примеры и приёмы решения взяты из реальных контрольных работ и часто встречаются на практике.

Начнем с повторения. На уроке Производная сложной функции

Источник: https://apriori-nauka.ru/ekologicheskoe/proizvodnaya-naturalnogo-ln-x-ravna-proizvodnaya-naturalnogo-logarifma-i-logarifma-po-osnovaniyu-a.html

Мед-Центр Здоровье
Добавить комментарий