Определение угла между двумя прямыми. Угол между пересекающимися прямыми: определение, примеры нахождения

Угол между пересекающимися прямыми – определение, примеры нахождения

Определение угла между двумя прямыми. Угол между пересекающимися прямыми: определение, примеры нахождения
Прямая, плоскость, их уравнения

Начнем с краткого обзора материала статьи.

Сначала дано определение угла между пересекающимися прямыми с поясняющим рисунком. Далее показаны методы, позволяющие найти синус угла, косинус угла и сам угол между двумя пересекающимися прямыми на плоскости и в пространстве по известным уравнениям этих прямых в фиксированной прямоугольной системе координат, получены соответствующие формулы и приведены подробные решения примеров и задач.

Угол между пересекающимися прямыми – определение

Чтобы определить угол между двумя пересекающимися прямыми нам потребуются определения, данные в статье геометрическая фигура угол и некоторые вспомогательные определения.

Две прямые называются пересекающимися, если они имеют одну единственную общую точку. Эта общая точка двух прямых называется точкой пересечения прямых. Точка пересечения разбивает каждую из пересекающихся прямых на два луча.

Очевидно, эти лучи образуют четыре неразвернутых угла, среди которых две пары вертикальных углов и четыре пары смежных углов.

Таким образом, если нам известна мера одного из углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, то мы можем определить меры трех остальных углов. Действительно, пусть один из углов равен углу .

Тогда вертикальный с ним угол также равен , а смежные с ним углы равны . Если , то все четыре угла являются прямыми. В этом случае пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (им посвящена статья перпендикулярные прямые).

Теперь можно переходить к определению угла между пересекающимися прямыми.

Угол между двумя пересекающимися прямыми – это мера меньшего из четырех углов, образованных этими прямыми.

Из приведенного определения следует, что градусная мера угла между двумя пересекающимися прямыми выражается действительным числом из интервала . Угол между перпендикулярными прямыми по определению равен девяноста градусам.

К началу страницы

Существует множество разнообразных задач, в которых приходится находить угол между пересекающимися прямыми. В зависимости от условий этих задач подбирается подходящий метод решения.

Можно использовать методы геометрии. К примеру, если известны какие-либо дополнительные углы, то можно пробовать связать их с искомым углом между пересекающимися прямыми, отталкиваясь от равенства или подобия фигур.

Если известны стороны треугольника и требуется найти угол между пересекающимися прямыми, на которых лежат стороны треугольника, то можно использовать теорему косинусов.

При наличии прямоугольных треугольников отыскать угол между пересекающимися прямыми помогают определения синуса, косинуса и тангенса угла. Много подобных задач решается на уроках геометрии в средней школе.

Для нахождения углов между пересекающимися прямыми также прекрасно подходит метод координат. Давайте детально разберем его.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy, заданы две прямые a и b уравнениями прямых некоторого вида (смотрите виды уравнения прямой на плоскости), которые пересекаются в точке М, и требуется определить угол между пересекающимися прямыми a и b. Обозначим искомый угол между пересекающимися прямыми как .

Решим поставленную задачу.

Для начала опишем принцип нахождения угла между пересекающимися прямыми на плоскости в заданной системе координат Oxy.

Мы знаем, что от прямой линии на плоскости в прямоугольной системе координат неотделим направляющий вектор прямой и нормальный вектор прямой, и мы можем по заданному уравнению прямой на плоскости определить координаты ее направляющего и нормального вектора. Таким образом, у нас есть возможность получить координаты направляющих и нормальных векторов заданных пересекающихся прямых.

Угол между заданными пересекающимися прямыми может быть найден через

  • угол между направляющими векторами этих прямых;
  • угол между нормальными векторами прямых;
  • угол между направляющим вектором одной прямой и нормальным вектором другой прямой.

Разберем каждый случай.

Пусть – направляющий вектор прямой a, – направляющий вектор прямой b. Если отложить векторы и от точки пересечения прямых, то они будут лежать на прямых a и b соответственно, и возможны четыре варианта их расположения относительно пересекающихся прямых a и b, изображенные на рисунке ниже.

Очевидно, если угол между векторами и не тупой, то он равен углу между пересекающимися прямыми a и b. Если же угол между направляющими векторами прямых a и b тупой, то угол между пересекающимися прямыми a и b равен углу, смежному с углом . То есть, , если , а , если .

Так как косинусы равных углов равны, то последние равенства можно записать в виде: , если , а (в последнем переходе мы использовали формулы приведения), если .

Следовательно, , то есть, косинус угла между пересекающимися прямыми равен модулю косинуса угла между направляющими векторами пересекающихся прямых.

Формула для вычисления косинуса угла между векторами и имеет вид .
Тогда косинус угла между двумя пересекающимися прямыми a и b мы можем найти по формуле ,
а сам угол между пересекающимися прямыми – по формуле ,
где и – направляющие векторы прямых а и b соответственно.

Разберем решение примера.

Пересекающиеся прямые a и b определены на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат Oxy уравнениями и . Требуется найти угол между пересекающимися прямыми a и b.

Параметрические уравнения прямой на плоскости позволяют сразу записать координаты направляющего вектора этой прямой – их дают соответствующие коэффициенты при параметре, то есть, – направляющий вектор прямой .

Прямой b по условию соответствует каноническое уравнение прямой на плоскости вида . Числа в знаменателях этого равенства дают координаты направляющего вектора прямой b, то есть, .

Чтобы найти угол между пересекающимися прямыми a и b нам осталось подставить полученные координаты направляющих векторов прямых в формулу :

угол между указанными пересекающимися прямыми равен 45 градусам.

Аналогично угол между пересекающимися прямыми a и b может быть найден через угол между нормальными векторами этих прямых. Если – нормальный вектор прямой a, – нормальный вектор прямой b, то угол между пересекающимися прямыми а и b равен углу между векторами и , или углу, смежному с углом . Приведем чертеж, иллюстрирующий эти ситуации.

Формулы для нахождения косинуса угла и самого угла между пересекающимися прямыми а и b через координаты нормальных векторов этих прямых имеют вид и соответственно, где и – нормальные векторы прямых а и b.

Вычислите синус угла, косинус угла и сам угол между пересекающимися прямыми a и b, которым в прямоугольной системе координат Oxy соответствуют уравнения
3x+5y-30=0 и x+4y-17=0.

Мы знаем, что общее уравнение прямой вида Ax+By+C=0 определяет на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy прямую линию, нормальным вектором которой является вектор . Таким образом, – нормальный вектор прямой 3x+5y-30=0, а – прямой x+4y-17=0. Подставляем координаты нормальных векторов в формулу для определения косинуса угла между пересекающимися прямыми:

Основное тригонометрическое тождество позволяет найти синус угла при известном косинусе этого угла. Так как угол между двумя пересекающимися прямыми не тупой, то .

Тогда .

Осталось разобраться, как найти угол между пересекающимися прямыми, если известен направляющий вектор одной прямой и нормальный вектор другой прямой.

Пусть – направляющий вектор прямой a, – нормальный вектор прямой b. Отложим векторы и от точки пересечения прямых и рассмотрим возможные варианты расположения этих векторов относительно пересекающихся прямых a и b.

Если угол между векторами и не превосходит 90 градусов, то он дополняет угол между пересекающимися прямыми a и b до прямого угла, то есть, , если . Если же , то .
Так как косинусы равных углов равны, то последние равенства можно записать в виде , если , и , если . Следовательно,

Таким образом, синус угла между пересекающимися прямыми a и b равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой a и нормальным вектором прямой b.

Следовательно, формулы для нахождения синуса угла и самого угла между двумя пересекающимися прямыми a и b имеют вид и , где – направляющий вектор прямой a, – нормальный вектор прямой b.

Найдите угол между пересекающимися прямыми и x+4y-17=0.

(Обратите внимание: заданные прямые совпадают с прямыми из предыдущего примера).

Мы можем легко определить координаты направляющего вектора прямой и координаты нормального вектора прямой x+4y-17=0. Имеем: и . Осталось воспользоваться формулой для нахождения угла между пересекающимися прямыми:

Очевидно, получили такой же угол между пересекающимися прямыми, как и в предыдущем примере.

Дадим еще формулу для нахождения угла между двумя пересекающимися прямыми a и b через угловые коэффициенты этих прямых.

Пусть прямую a на плоскости в заданной прямоугольной системе координат Oxy определяет уравнение прямой с угловым коэффициентом вида , а прямую b – .

Тогда угол между пересекающимися прямыми может быть вычислен по формуле , где k1 и k2 – угловые коэффициенты прямых a и b соответственно.

Эту формулу легко получить на основании формулы для определения угла между пересекающимися прямыми через координаты нормальных векторов прямых.

Определите угол между пересекающимися прямыми и .

(В условии даны все те же пересекающиеся прямые из предыдущих примеров).

Заданные прямые имеют угловые коэффициенты и . Подставляем эти значения в формулу для нахождения угла между пересекающимися прямыми по угловым коэффициентам:

В заключении этого пункта отметим, что совсем не обязательно запоминать все выведенные формулы для нахождения угла между пересекающимися прямыми на плоскости.

Достаточно понимать, что угол между пересекающимися прямыми может быть найден с помощью угла между направляющими или нормальными векторами прямых, уметь определять координаты этих векторов по известным уравнениям прямых, а также помнить формулу для вычисления косинуса угла между двумя векторами.

К началу страницы

Нахождение угла между двумя пересекающимися прямыми в пространстве методом координат сводится к нахождению координат направляющих векторов этих прямых и последующему определению угла между ними. При этом все рассуждения из предыдущего пункта, касающиеся определения угла между пересекающимися прямыми через угол между их направляющими векторами, остаются справедливыми.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, и заданы две пересекающиеся прямые a и b уравнениями прямой некоторого вида (смотрите статью виды уравнений прямой в пространстве).

По уравнениям прямых мы можем определить координаты их направляющих векторов. Итак, и – направляющие векторы заданных пересекающихся прямых a и b соответственно.

Тогда косинус угла между пересекающимися прямыми a и b в пространстве вычисляется по формуле ,
а сам угол – по формуле .

Прямая в прямоугольной системе координат Oxyz трехмерного пространства определена уравнением и пересекает ось аппликат. Найдите косинус угла и угол между заданной прямой и координатной прямой Oz.

Пусть искомый угол между пересекающимися прямыми равен . Направляющим вектором прямой является вектор , а в качестве направляющего вектора оси аппликат можно принять координатный вектор . Теперь у нас есть все данные, чтобы применить формулу для нахождения косинуса угла между пересекающимися прямыми:

Тогда искомый угол между пересекающимися прямыми равен .

  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
  • Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Некогда разбираться?

Закажите решение

К началу страницы

Источник: http://www.cleverstudents.ru/line_and_plane/angle_between_intersecting_lines.html

Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми. урок. Геометрия 10 Класс

Определение угла между двумя прямыми. Угол между пересекающимися прямыми: определение, примеры нахождения

Тема: Параллельность прямых и плоскостей

Урок: Углы с сонаправленными сторонами. Угол между двумя прямыми

Любая прямая, например ОО1 (Рис. 1.), рассекает плоскость на две полуплоскости. Если лучи ОА и О1А1 параллельны и лежат в одной полуплоскости, то они называются сонаправленными.

Лучи О2А2 и ОА не являются сонаправленными (Рис. 1.). Они параллельны, но не лежат в одной полуплоскости.

Рис. 1.

Если стороны двух углов сонаправленны, то такие углы равны.

Доказательство

Пусть нам даны параллельные лучи ОА и О1А1 и параллельные лучи ОВ и О1В1 (Рис. 2.). То есть, мы имеем два угла АОВ и А1О1В1, чьи стороны лежат на сонаправленных лучах. Докажем, что эти углы равны.

Рис. 2.

На стороне луча ОА и О1А1 выберем точки А и А1 так, чтобы отрезки ОА и О1А1 были равны. Аналогично, точки В и В1 выберем так, чтобы отрезки ОВ и О1В1 были равны.

Рассмотрим четырехугольник А1О1ОА (Рис. 3.). В этом четырехугольники стороны ОА и О1А1 параллельны и равны. По признаку параллелограмма, четырехугольник А1О1ОА является параллелограммом. Так как А1О1ОА – параллелограмм, то стороны ОО1 и АА1 параллельны и равны.

Рассмотрим четырехугольник В1О1ОВ. В этом четырехугольники стороны ОВ и О1В1 параллельны и равны. По признаку параллелограмма, четырехугольник В1О1ОВ является параллелограммом. Так как В1О1ОВ – параллелограмм, то стороны ОО1 и ВВ1 параллельны и равны.

Рис. 3.

И прямая АА1 параллельна прямой ОО1, и прямая ВВ1 параллельна прямой ОО1, значит прямые АА1 и ВВ1 параллельны.

Рассмотрим четырехугольник В1А1АВ. В этом четырехугольники стороны АА1 и ВВ1 параллельны и равны. По признаку параллелограмма, четырехугольник В1А1АВ является параллелограммом. Так как В1А1АВ – параллелограмм, то стороны АВ и А1В1 параллельны и равны.

Рассмотрим треугольники АОВ и А1О1В1. Стороны ОА и О1А1равны по построению. Стороны ОВ и О1В1 также равны по построению. А как мы доказали, и стороны АВ и А1В1 тоже равны. Значит, треугольники АОВ и А1О1В1 равны по трем сторонам. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Значит, углы АОВ и А1О1В1 равны, что и требовалось доказать.

1) Пересекающиеся прямые.

Если прямые пересекающиеся, то мы имеем четыре разных угла. Углом между двумя прямыми, называется наименьший из углов между двумя прямыми. Угол между пересекающимися прямыми а и b обозначим α (Рис. 4.). Угол α такой, что .

Рис. 4. Угол между двумя пересекающимимся прямыми

2) Скрещивающиеся прямые

Пусть прямые а и b скрещивающиеся. Выберем произвольную точку О. Через точку О проведем прямую а1, параллельную прямой а, и прямую b1, параллельную прямой b (Рис. 5.). Прямые а1 и b1 пересекаются в точке О. Угол между двумя пересекающимися прямыми а1 и b1 , угол φ, и называется углом между скрещивающимися прямыми.

Рис. 5. Угол между двумя скрещивающимися прямыми

Зависит ли величина угла от выбранной точки О? Выберем точку О1. Через точку О1 проведем прямую а2, параллельную прямой а, и прямую b2, параллельную прямой b (Рис. 6.).

Угол между пересекающимися прямыми а2 и b2 обозначим φ1. Тогда углы φ и φ1 – углы с сонаправленными сторонами. Как мы доказали, такие углы равны между собой.

Значит, величина угла между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки О.

Рис. 6.

Прямые ОВ и СD параллельны, ОА и СD скрещиваются. Найдите угол между прямыми ОА и СD, если: 

1) ∠АОВ = 40°.

Выберем точку С. Через нее проходи прямая СD. Проведем СА1 параллельно ОА (Рис. 7.). Тогда угол А1СD – угол между скрещивающимися прямыми ОА и СD. По теореме об углах с сонаправленными сторонами, угол А1СD равен углу АОВ, то есть 40°.

Рис. 7. Найти угол между двумя прямыми

2) ∠АОВ = 135°.

Сделаем то же самое построение (Рис. 8.). Тогда угол между скрещивающимися прямыми ОА и СD равен 45°, так как он наименьший из углов, которые получаются при пересечении прямых СD и СА1.

Рис. 8. 

3) ∠АОВ = 90°.

Сделаем то же самое построение (Рис. 9.). Тогда все углы, которые получаются при пересечении прямых СD и СА1 равны 90°. Искомый угол равен 90°.

Рис. 9.

1) Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Рис. 10. 

Доказательство

Пусть нам дан пространственный четырехугольник ABCD. M, N, K, L – середины ребер BD, AD, AC, BC соответственно (Рис. 10.). Нужно доказать, что MNKL – параллелограмм.

Рассмотрим треугольник АВD. МN – средняя линия. По свойству средней линии, МN параллельна АВ и равняется ее половине.

Рассмотрим треугольник АВС. LК – средняя линия. По свойству средней линии, LК параллельна АВ и равняется ее половине.

И МN, и LК параллельны АВ. Значит, МN параллельна LК по теореме о трех параллельных прямых.

Получаем, что в четырехугольнике MNKL – стороны МN и LК параллельны и равны, так как МN и LК равны половине АВ. Значит, по признаку параллелограмма, четырехугольник MNKL – параллелограмм, что и требовалось доказать.

2) Найдите угол между прямыми АВ и СD, если угол МNК = 135°.

Как мы уже доказали, МN параллельна прямой АВ. NК – средняя линия треугольника АСD, по свойству, NК параллельна DС.

Значит, через точку N проходят две прямые МN и NК, которые параллельны скрещивающимся прямым АВ и DС соответственно. Значит, угол между прямыми МN и NК является углом между скрещивающимися прямыми АВ и DС.

Нам дан тупой угол МNК = 135°. Угол между прямыми МN и NК – наименьший из углов, полученных при пересечении этих прямых, то есть 45°.

Итак, мы рассмотрели углы с сонаправленными сторонами и доказали их равенство. Рассмотрели углы между пересекающимися и скрещивающимися прямыми и решили несколько задач на нахождение угла между двумя прямыми. На следующем уроке мы продолжим решение задач и повторение теории.

Список рекомендованной литературы по теме “Угол с сонаправленными сторонами”, “Угол между двумя прямыми”

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.

2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.

3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Dok.opredelim.com (Источник)

2. Математика (Источник)

3. Математический сайт Цегельного В.С. (Источник)

4. Кавказская средняя школа №8 (Источник)

Рекомендованное домашнее задание по теме “Угол с сонаправленными сторонами” и как найти угол между двумя прямыми

1. Какие лучи называются сонаправленными?

2. Что такое угол между пересекающимися прямыми? Что такое угол между скрещивающимися прямыми?

3. Дан куб  (см. Рис. 11.). Найдите угол между прямыми:

а) AB и BC.

б) AB и A1D1.

в) BC и D1В1.

Рис. 11. Найти угол между прямыми

4. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

Задания 13, 14, 15 стр. 54

Источник: https://interneturok.ru/lesson/geometry/10-klass/parallelnost-pryamyh-i-ploskostej/ugly-s-sonapravlennymi-storonami-ugol-mezhdu-pryamymi

Мед-Центр Здоровье
Добавить комментарий