Обратная функция от логарифма. Что такое логарифмическая функция? Определение, свойства, решение задач

Логарифм. Логарифмическая функция. Решение задач

Обратная функция от логарифма. Что такое логарифмическая функция? Определение, свойства, решение задач

Инфоурок › Математика ›Конспекты›Логарифм. Логарифмическая функция. Решение задач.

Важно! Узнайте, чем закончилась проверка учебного центра “Инфоурок”? ✖

.

Запустите файл

1. Сохраните файл

2. Кликните на скачанный файл

3. Нажмите Запустить

1. Кликните на значок ↓

2. Появится файл, дважды кликните на него

1. Нажмите Сохранить

2. Кликните на значок ↓

3. Появится файл, кликните на него

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайдОписание слайда:

Логарифм. Логарифмическая функция. Решение логарифмических уравнений и неравенств.

2 слайдОписание слайда:

Тип урока: Урок комплексного применения знаний, умений и навыков.

3 слайдОписание слайда:

Цели урока Образовательные- отработка умений систематизировать, обобщать свойства логарифмической функции, применять их к решению задач, решать логарифмические уравнения, неравенства, находить производные логарифмических функций.

Воспитательные – воспитание познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения, культуры диалога.

Развивающие- развитие зрительной памяти, математически грамотной речи, логического мышления, сознательного восприятия учебного материала.

4 слайдОписание слайда:

Определение логарифма Логарифмическая функция Логарифмические уравнения и неравенства Производная логарифмической функции

5 слайдОписание слайда:

Теория логарифма числа. Что называется логарифмом? Записать основное логарифмическое тождество. Свойства логарифмов

6 слайдОписание слайда:

Свойства логарифма

7 слайдОписание слайда:

Устные задания

8 слайдОписание слайда:

Реши устно

9 слайдОписание слайда:

Устные упражнения 1. Найдите х, если log5 х = 2log5 3- log5 27 2. х = . Найти lgx 3. Вместо звездочки поставить недостающие выражения и знаки log*в+logх =log*(а ) logх -log в = log* . х = .

10 слайдОписание слайда:

Логарифмическая функция Какая функция называется логарифмической функцией? Область определения и область значения логарифмической функции. Когда логарифмическая функция возрастает, когда убывает? Является ли логарифмическая функция четной, нечетной.?

11 слайдОписание слайда:

Устные упражнения Определить знак выражения Найти область определения функции у= , у= ; у= Найти область значений функции у= если Найти наибольшее значение функции у=  

12 слайдОписание слайда:

Логарифмические уравнения Уравнения, содержащие неизвестное под знаком логарифма или в основании логарифма называются логарифмическими.

13 слайдОписание слайда:

Решение уравнений, содержащих неизвестное под знаком логарифма, основано на следующих теоремах:

14 слайдОписание слайда:

Методы решения ЛУ: Вид уравнения 1.Применение определения логарифма 2.Введение новой переменной 3. Приведение к одному и тому же основанию 4. Метод потенцирования 5 Метод логарифмирования обеих частей уравнения 6. Функционально-графический метод

15 слайдОписание слайда:

Выбери метод решения уравнения

16 слайдОписание слайда:

Решите уравнения ;.

17 слайдОписание слайда:

Найти корни уравнения ;.

18 слайдОписание слайда:

Для решения ЛУ графическим методом надо построить в одной и той же системе координат графики функций, стоящих в левой и правой частях уравнения и найти абсциссу их точки пересечения Найти корни уравнения Так как функция у= log3 х возрастающая, а функция у =4-х убывающая на (0; + ∞ ),то заданное уравнение на этом интервале имеет один корень.

19 слайд 20 слайдОписание слайда:

Логарифмические неравенства Решение неравенств, содержащих неизвестное под знаком логарифма, основано на следующих теоремах:

21 слайдОписание слайда:

Решите неравенства 1 .

22 слайд 23 слайдОписание слайда:

Логарифмическая «комедия 2>3» Комедия начинается с неравенства, бесспорно правильного. Затем следует преобразование тоже не внушающее сомнения Большему числу соответствует больший логарифм, если функция возрастает, значит, После сокращения на Имеем 2>3. В чем ошибка этого доказательства?

24 слайдОписание слайда:

Производная логарифмической функции

25 слайдОписание слайда:

Домашнее задание Выполнение теста. Решение заданий В3

.

Запустите файл

1. Сохраните файл

2. Кликните на скачанный файл

3. Нажмите Запустить

1. Кликните на значок ↓

2. Появится файл, дважды кликните на него

1. Нажмите Сохранить

2. Кликните на значок ↓

3. Появится файл, кликните на него

Краткое описание документа:

Общая информация

.

Запустите файл

1. Сохраните файл

2. Кликните на скачанный файл

3. Нажмите Запустить

1. Кликните на значок ↓

2. Появится файл, дважды кликните на него

1. Нажмите Сохранить

2. Кликните на значок ↓

3. Появится файл, кликните на него

Источник: https://infourok.ru/logarifm-logarifmicheskaya-funkciya-reshenie-zadach-308926.html

Логарифмическая функция, ее свойства и график

Обратная функция от логарифма. Что такое логарифмическая функция? Определение, свойства, решение задач

Для начала вспомним, что же вообще такое логарифм.

Определение 1

Логарифмом числа $b\in R$ по основанию $a$ ($a>0,\ ae 1$) называется число $c$, в которое нужно возвести число $a$, чтобы получить число $b$.

Рассмотрим показательную функцию $f\left(x\right)=ax$, где $a >1$. Эта функция возрастает, непрерывна и отображает действительную ось на интервал $(0,+\infty )$.

Тогда, по теореме о существовании обратной непрерывной функции, у нее в множестве $Y=(0,+\infty )$ существует обратная функция $x=f{-1}(y)$, которая также непрерывна и возрастает в $Y$ и отображает интервал $(0,+\infty )$ на всю действительную ось.

Эту обратную функцию называют логарифмической функцией по основанию $a\ (a >1)$ и обозначается $y={{log}_a x\ }$.

Теперь рассмотрим показательную функцию $f\left(x\right)=ax$, где $0

Таким образом, мы определили логарифмическую функцию при всех возможных значениях основания $a$. Рассмотрим далее два этих случая отдельно.

Функция $y={{log}_a x\ },\ a >1$

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Рассмотрим свойства данной функции.

  1. Область определения — интервал $(0,+\infty )$;

  2. Область значения — все действительные числа;

  3. Функция не является ни четной, ни нечетной.

  4. Точки пересечения с осями координат:

    С осью $Oy$ пересечений нет.

    При $y=0$, ${{log}_a x\ }=0,\ x=1.$ Пересечение с осью $Ox$: (1,0).

  5. Функция положительна, при $x\in (1,+\infty )$ и отрицательна, при $x\in (0,1)$

  6. $y'=\frac{1}{xlna}$;

  7. Точки минимума и максимума:

    \[\frac{1}{xlna}=0-корней\ нет\]

    Точек максимума и минимума нет.

  8. Функция возрастает на всей области определения;

  9. $y{''}=-\frac{1}{x2lna}$;

  10. Промежутки выпуклости и вогнутости:

    \[-\frac{1}{x2lna}Функция выпукла на всей области определения;

  11. ${\mathop{lim}_{x\to 0} y\ }=-\infty ,\ {\mathop{lim}_{x\to +\infty } y\ }=+\infty ,\ $;

  12. График функции (Рис. 1).

Рисунок 1. График функции $y={{log}_a x\ },\ a >1$

Функция $y={{log}_a x\ }, \ 0

Рассмотрим свойства данной функции.

  1. Область определения — интервал $(0,+\infty )$;

  2. Область значения — все действительные числа;

  3. Функция не является ни четной, ни нечетной.

  4. Точки пересечения с осями координат:

    С осью $Oy$ пересечений нет.

    При $y=0$, ${{log}_a x\ }=0,\ x=1.$ Пересечение с осью $Ox$: (1,0).

  5. Функция положительна, при $x\in (0,1)$ и отрицательна, при $x\in (1,+\infty )$

  6. $y'=\frac{1}{xlna}$;

  7. Точки минимума и максимума:

    \[\frac{1}{xlna}=0-корней\ нет\]

    Точек максимума и минимума нет.

  8. Функция убывает на всей области определения;

  9. $y{''}=-\frac{1}{x2lna}$;

  10. Промежутки выпуклости и вогнутости:

    \[-\frac{1}{x2lna}>0\]

    Функция вогнута на всей области определения;

  11. ${\mathop{lim}_{x\to 0} y\ }=+\infty ,\ {\mathop{lim}_{x\to +\infty } y\ }=-\infty ,\ $;

  12. График функции (Рис. 2).

Примеры исследования и построения логарифмических функций

Пример 1

Исследовать и построить график функции $y=2-{{log}_2 x\ }$

  1. Область определения — интервал $(0,+\infty )$;

  2. Область значения — все действительные числа;

  3. Функция не является ни четной, ни нечетной.

  4. Точки пересечения с осями координат:

    С осью $Oy$ пересечений нет.

    При $y=0$, $2-{{log}_2 x\ }=0,\ x=4.$ Пересечение с осью $Ox$: (4,0).

  5. Функция положительна, при $x\in (0,4)$ и отрицательна, при $x\in (4,+\infty )$

  6. $y'=-\frac{1}{xln2}$;

  7. Точки минимума и максимума:

    \[-\frac{1}{xln2}=0-корней\ нет\]

    Точек максимума и минимума нет.

  8. Функция убывает на всей области определения;

  9. $y{''}=\frac{1}{x2ln2}$;

  10. Промежутки выпуклости и вогнутости:

    \[\frac{1}{x2ln2} >0\]

    Функция вогнута на всей области определения;

  11. ${\mathop{lim}_{x\to 0} y\ }=+\infty ,\ {\mathop{lim}_{x\to +\infty } y\ }=-\infty ,\ $;

  12. График функции:

Рисунок 3.

Источник: https://spravochnick.ru/matematika/pokazatelnaya_funkciya/logarifmicheskaya_funkciya/

Функция y=logax, ее свойства и график (продолжение). урок. Алгебра 11 Класс

Обратная функция от логарифма. Что такое логарифмическая функция? Определение, свойства, решение задач

Логарифмическая функция базируется на понятии логарифма и свойства показательной функции , где  (основание степени а больше нуля и не равно единице).

Определение:

Логарифмом числа b по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.

Примеры:

Напомним основное правило: чтобы получить число, стоящее под логарифмом, необходимо основание логарифма возвести в степень – значение логарифма:

Напомним важные особенности и свойства показательной функции.

Рассмотрим первый случай, когда основание степени больше единицы: :

Рис. 1. График показательной функции, основание степени больше единицы

Такая функция монотонно возрастает на всей своей области определения.

Рассмотрим второй случай, когда основание степени меньше единицы :

Рис. 2. График показательной функции, основание степени меньше единицы

Такая функция монотонно убывает на всей своей области определения.

В любом случае, показательная функция монотонна, принимает все положительные значения и, в силу своей монотонности, каждое положительное значение достигает при единственном значении аргумента. То есть, каждое конкретное значение  функция достигает при единственном значении аргумента , корнем уравнения  и есть логарифм:

По сути, мы получили обратную функцию. Прямая функция – это когда у нас есть независимая переменная х (аргумент), зависимая переменная у (функция), мы задали значение аргумента и по нему получаем значение функции.

Обратная функция: пусть независимой переменной будет у, ведь мы уже оговорили, что каждому положительному значению у соответствует единственное значение х, определение функции соблюдается.

Тогда х становится зависимой переменной.

Вывод:

Для монотонной прямой функции  существует обратная функция . Суть функциональной зависимости не изменится, если мы введем переобозначение:

Получаем:

Но нам привычнее обозначать независимую переменную за х, а зависимую – за у:

Таким образом, мы получили логарифмическую функцию.

Используем общее правило получения обратной функции для конкретной показательной функции .

Заданная функция монотонно возрастает (согласно свойствам показательной функции), значит, существует обратная ей функция. Напоминаем, что для ее получения необходимо выполнить два действия:

Выразить х через у:

Поменять местами х и у:

Итак, получили функцию, обратную заданной: . Как известно, графики прямой и обратной функции симметричны относительно прямой у=х. проиллюстрируем:

Рис. 3. Графики  функций  и

Данная задача решается аналогично и справедлива для любого основания степени.

Решим задачу при

Заданная функция монотонно убывает, значит, существует обратная ей функция. Получим ее:

Выразить х через у:

Поменять местами х и у:

Итак, получили функцию, обратную заданной: . Как известно, графики прямой и обратной функции симметричны относительно прямой у=х. проиллюстрируем:

Рис. 4. Графики  функций  и

Заметим, что мы получили логарифмические функции как обратные к показательным.

У прямой и обратной функций есть много общего, но есть и отличия. Рассмотрим это подробнее на примере функций  и .

Рис. 5. Графики функций  (слева) и (справа)

Свойства прямой (показательной) функции:

Область определения: ;

Область значений: ;

Функция возрастает;

Выпукла вниз.

Свойства обратной (логарифмической) функции:

Область определения: ;

Область значений: ;

Функция возрастает;

Выпукла вверх.

Обратим внимание, что область определения и область значений прямой и обратной функции меняются местами. Кроме того, если прямая функция возрастает, то и обратная возрастает. И, наконец, если прямая функция выпукла вниз, то обратная – вверх.

Таким образом, мы подтвердили связь прямой и обратной функции.

Итак, мы изучили логарифмическую функцию и ее связь с показательной функцией. На следующем уроке мы продолжим рассматривать логарифмическую функцию и научимся решать типовые задачи.

Список литературы

  1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
  2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
  3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Edu.glavsprav.ru (Источник).
  2. Nado5.ru (Источник).
  3. Uztest.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 504, 505, 507;

2. Укажите область определения функции, обратной к заданной, не записывая ее:

а) ; б) ; в) ; г)

3. Укажите область значений функции, прямой относительно заданной, не записывая ее:

а) ; б) ; в) ; г) ;

Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/funktsiya-y-log-sub-a-sub-x-ee-svoystva-i-grafik-prodolzhenie

Формулы логарифмов: примеры решения перехода к новому основанию натурального логарифма и таблица или шпаргалка для этого в 10 классе

Обратная функция от логарифма. Что такое логарифмическая функция? Определение, свойства, решение задач

19.12.2019

Сегодня мы поговорим о формулах логарифмов и дадим показательные примеры решения. Ранее мы уже познакомились с понятием логарифма. А также рассмотрели основные свойства и примеры решения.

Формулы логарифмов сами по себе подразумевают шаблоны решения согласно основным свойствам логарифмов. Прежде применять формулы логарифмов для решения напомним для вас, сначала все свойства.

Формулы логарифмов. Логарифмы примеры решения

Теперь на основе этих формул(свойств), покажем примеры решения логарифмов.

Примеры решения логарифмов на основании формул

Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается logab) — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b, при этом b > 0, a > 0, а 1.

Согласно определения logab = x, что равносильно ax = b, поэтому logaax = x.

Логарифмы, примеры:

log28 = 3, т.к. 23 = 8

log749 = 2, т.к. 72 = 49

log51/5 = -1, т.к. 5-1 = 1/5

Десятичный логарифм — это обычный логарифм, в основании которого находится 10. Обозначается как lg.

lg100 = 2

log10100 = 2, т.к. 102 = 100

Натуральный логарифм — также обычный логарифм логарифм, но уже с основанием е (е = 2,71828… — иррациональное число). Обозначается как ln.

Формулы или свойства логарифмов желательно запомнить, потому что они понадобятся нам в дальнейшем при решении логарифмов, логарифмических уравнений и неравенств. Давайте еще раз отработаем каждую формулу на примерах.

Основное логарифмическое тождествоa logab = bПример.

82log83 = (82log83)2 = 32 = 9

Логарифм произведения равен сумме логарифмов loga (bc) = logab + logacПример.

log38,1 + log310 = log3 (8,1*10) = log381 = 4

Логарифм частного равен разности логарифмовloga (b/c) = logab — logacПример.

9 log550/9 log52 = 9 log550- log52 = 9 log525 = 9 2 = 81

Свойства степени логарифмируемого числа и основания логарифма

Показатель степени логарифмируемого числа logab m = mlogab

Показатель степени основания логарифма loganb =1/n*logab

loganb m = m/n*logab,

если m = n, получим loganb n = logab

Пример.

log49 = log223 2 = log23

Переход к новому основанию
logab = logcb/logca,

если c = b, получим logbb = 1

тогда logab = 1/logba

Пример.

log0,83*log31,25 = log0,83*log0,81,25/log0,83 = log0,81,25 = log4/55/4 = -1

Как видите, формулы логарифмов не так сложны как кажутся. Теперь рассмотрев примеры решения логарифмов мы можем переходить к логарифмическим уравнениям.

Источник:

Логарифм: что это? Все формулы. Простейшие уравнения и неравенства

Сейчас речь пойдет о трех страшных буквах: l o g.Существовать в нашем бытии они просто так не могут. Обязательно должен быть какой-нибудь индекс — число снизу (основание логарифма) и число после букв (аргумент логарифма).

Прежде, чем мы перейдем к тому, что такое логарифм, решим парочку подводящих примеров.

Чтобы справиться с этим примером, мы проговариваем в голове: какое число нужно дважды (т.к. корень квадратный) умножить само на себя, чтобы получить 81.

А этот пример можно решить по алгоритму (решения показательных уравнений), а можно так же провести разговор с самим собой (главное не вслух, я считаю это нормально, но кого-то вы можете напугать разговором с самим собой): сколько раз нужно число 3 умножить само на себя, чтобы получить 27. Постепенным перемножением мы дойдем до ответа.

Тогда, если дело касается логарифма:

можно сказать так: в какую степень нужно возвести 3 (число снизу — основание логарифма), чтобы получить 27 (число слева — аргумент логарифма). Не напоминает выше стоящий пример?

На самом деле в этом и заключается основная формула (определение логарифма):

Логарифм говорит нам (кому-то кричит): логарифм числа «b» по основанию «a» равняется числу «c». Тогда без логарифма это можно сформулировать так: чтобы получить число «b», требуется число «a» возвести в степень «c». Логарифм — это действие, обратное возведению в степень.

У отца log есть два родных сына: ln и lg. Так же, как сыновья отличаются возрастом (мы говорим о максимальной точности), так и эти логарифмы отличаются основанием (числовым индексом снизу).

Данные логарифмы придумали для упрощения записи. На самом деле в прикладной математики именно логарифмы по такому основанию встречаются чаще всех остальных. А мы все в глубине души народ ленивый, так что почему бы себе жизнь не упростить?

Что нужно запомнить: ln — это обычный логарифм только по основанию e ( e — это число Эйлера, e = 2,7182…, мой номер телефона, кстати, — это последние 11 цифр числа Эйлера, так что буду ждать звонка).

Источник: https://rgiufa.ru/matematika-fizika-himiya/kakie-sushhestvuyut-formuly-logarifmov.html

Функция y=logax, ее свойства и график. Решение задач. урок. Алгебра 11 Класс

Обратная функция от логарифма. Что такое логарифмическая функция? Определение, свойства, решение задач

Напомним, что логарифмической называется функция вида , где , . Здесь  – независимая переменная, аргумент;  – зависимая переменная, фунция;  – основание, фиксированное число.

Рис. 1 – график логарифмической функции при  (черный) и  (красный)

Основные свойства логарифмической функции:

1) Область определения: , ;

2) Область значений: , ;

3) ;

4) при  функция возрастает,  при  – убывает;

Итак, под знаком логарифма может стоять только положительное число, причем любое. Сам же логарифм может принимать абсолютно любые значения. Логарифм единицы при любом основании равен нулю, то есть все логарифмические кривые проходят через фиксированную точку .

Мы многократно указывали на монотонность логарифмической функции, но никогда не доказывали этот факт. Рассмотрим на конкретном примере и тогда станет понятно, как для любой логарифмической функции доказать факт ее монотонного возрастания или убывания.

Задача:

Доказать, что функция  монотонно возрастает.

Доказательство:

Напомним, что  (выражение 1) является корнем уравнения  (выражение 2). Подставим значение  из выражения 1 вместо  в выражение 2 и получим основное логарифмическое тождество:

Напомним, что здесь , ,

Утверждение, что функция монотонно возрастает, означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции: . Запишем  и  с помощью основного логарифмического тождества:

,

Мы выбрали  и  из области определения, то есть оба эти числа положительны, так, что :

Имеем:

Получили показательное неравенство, в котором основания степеней равны и больше единицы, значит, имеем право сравнить показатели, сохранив при этом знак неравенства:

Что и требовалось доказать.

Перейдем к решению типовых задач.

Пример 1 – решить уравнение, неравенство:

а)

б)

в)

Рассмотрим график логарифмической функции :

Рис. 2 – график функции

Очевидно, что функция возрастает.

Решим уравнение:

Пример а) решен.

Итак, заданная функция имеет единственный корень и вся область определения разбивается этим корнем на два интервала: первый интервал , здесь функция отрицательна, кривая находится под осью; второй интервал , здесь функция положительна, кривая находится над осью. Ответ очевиден.

Ответ: а) ; б) ; в)

Решим аналогичную задачу.

Пример 2:

а) 

б) 

в) 

Рассмотрим график логарифмической функции :

Рис. 3 – график функции 

Очевидно, что функция убывает.

Решим уравнение: 

Пример а) решен.

Итак, заданная функция имеет единственный корень и вся область определения разбивается этим корнем на два интервала: первый интервал , здесь функция положительна, кривая находится над осью; второй интервал , здесь функция отрицательна, кривая находится под осью. Ответ очевиден.

Ответ: а) ; б); в)

Важной типовой задачей является оценка логарифмических констант.

Пример 3 – оценить числа:

а) ;

а) ;

Рассмотрим логарифмическую функцию с основнаием 2:

Рис. 4 – график функции

При  функция равна нулю. Покажем некоторые степени двойки. Например,  (первая степень), при этом ;  (вторая степень), при этом ;  (третья степень), при этом

Аргумент  расположен между  и , отсюда значение функции  расположено между двойкой и тройкой.

Аналогично аргумент  расположен между  и , отсюда значение функции  расположено между единицей и двойкой.

Ответ: а) ; б)

Пример 4 – решить неравенство:

Очевидно, что решение сводится к оценке логарифмических констант.

Итак, оценим первый логарифм, второй логарифм, а затем всю скобку.

, т.к.

, т.к.

Таким образом, первый логарифм лежит в пределах от двух до трех, а второй – от трех до четырех, очевидно, что их разность  меньше либо равна нулю. Таким образом, чтобы выполнялось заданное неравенство необходимо чтобы  был отрицательным.

Ответ:

Пример 5 – построить график функции: 

Чтобы уверенно решать подобные задачи, нужно знать внешний вид графика логарифмической функции и знать правила преобразования графиков. В данном случае первым действием мы строим граик функции , а вторым сдвигаем его на две единицы вправо.

Рис. 5 – решение примера 5

В следующих задачах важно учитывать область определения.

Пример 6 – построить график функции:

а)

Найдем область определения. Заданный логарифм существует, когда аргумент больше нуля и не равен единице:

,

, т.к.

Получаем график функции:

Рис. 6 – решение примера 6.а

б)

Заданная функция определена, когда аргумент строго больше нуля:

, согласно основному логарифмическому тождеству.

Имеем график функции:

Рис. 7 – решение примера 6.б

Пример 7 – найти область значений функции: 

Изучим функцию

Это квадратичная функция,

Теперь задача сводится к нахождению области значений следующей функции:

Данная функция нам знакома, мы знаем, что логарифмическая функция с основанием 2 монотонно возрастает, исходя из этого, нам достаточно найти значение функции при :

Ответ:

Итак, мы достаточно подробно изучили логарифмическую функцию, ее совйства и графики, научились решать основные типовые задачи. Далее мы перейдем к рассмотрению свойств логаримфа.

Список рекомендованной литературы.1) Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. М.: Мнемозина2) Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. М.: Дрофа. 

3) Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. М.: Просвещение.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет:

1) Интернет-сайт «ГлавСправ» (Источник)

2) Интернет-сайт Nado5.ru (Источник)

3) Интернет-сайт UzTest.ru (Источник)

Рекомендованное домашнее задание.

1. Алгебра и начала анализа, 10—11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, №502,503,507;

2. Найдите область значений функции:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

3. Решить неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/funktsiya-y-log-sub-a-sub-x-ee-svoystva-i-grafik-reshenie-zadach

Логарифм – свойства, формулы, график

Обратная функция от логарифма. Что такое логарифмическая функция? Определение, свойства, решение задач

Приведены основные свойства логарифма, график логарифма, область определения, множество значений, основные формулы, возрастание и убывание. Рассмотрено нахождение производной логарифма. А также интеграл, разложение в степенной ряд и представление посредством комплексных чисел.

Определение логарифма ⇓
Графики логарифма ⇓
Свойства логарифма ⇓
   Область определения, множество значений, возрастание, убывание ⇓
   Частные значения ⇓
   Основные формулы логарифмов ⇓
      Основное свойство логарифмов и его следствия ⇓
      Формула замены основания ⇓
   Доказательство основных формул логарифмов ⇓
Обратная функция ⇓
Производная логарифма ⇓
Интеграл ⇓
Выражения через комплексные числа ⇓
Разложение в степенной ряд ⇓

См. также:

 

Показательная функция, ее график, свойства, формулы
Натуральный логарифм, функция ln x

Логарифм с основанием a – это функция  y(x) = loga x, обратная к показательной функции с основанием a:   x(y) = a y.

В дальнейшем будем считать, что основание логарифма a положительное, не равное единице число: .

Десятичный логарифм – это логарифм по основанию числа 10:   lg x ≡ log10 x.
Натуральный логарифм – это логарифм по основанию числа e:   ln x ≡ loge x.

2,718281828459045…;
.

Графики логарифма

Графики логарифма y = loga x при различных значениях основания a.

График логарифма получается из графика показательной функции зеркальным отражением относительно прямой y = x.

Слева изображены графики функции y = loga x для четырех значений основания логарифма: a = 2, a = 8, a = 1/2 и a = 1/8. На графике видно, что при a > 1 логарифм монотонно возрастает.

С увеличением x рост существенно замедляется. При 0 < a < 1 логарифм монотонно убывает.

Свойства логарифма

См. также «Определение и доказательство свойств логарифма».

Область определения, множество значений, возрастание, убывание

Логарифм является монотонной функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства логарифма представлены в таблице.

Область определения 0 < x < + ∞ 0 < x < + ∞
Область значений – ∞ < y < + ∞ – ∞ < y < + ∞
Монотонность монотонно возрастает монотонно убывает
Нули, y = 0 x = 1 x = 1
Точки пересечения с осью ординат, x = 0нетнет
+ ∞– ∞
– ∞+ ∞

Частные значения

Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается так:

Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом:

Основные формулы логарифмов

Свойства логарифма, вытекающие из определения обратной функции:

Формула замены основания

Логарифмирование – это математическая операция взятия логарифма. При логарифмировании, произведения сомножителей преобразуются в суммы членов.

Потенцирование – это математическая операция обратная логарифмированию. При потенцировании заданное основание возводится в степень выражения, над которым выполняется потенцирование.

При этом суммы членов преобразуются в произведения сомножителей.

Доказательство основных формул логарифмов

Формулы, связанные с логарифмами вытекают из формул для показательных функций и из определения обратной функции.

Рассмотрим свойство показательной функции
. Тогда

.

Применим свойство показательной функции

:

.

Докажем формулу замены основания.
;
.
Полагая c = b, имеем:

Обратная функция

Обратной для логарифма по основанию a является показательная функция с показателем степени a.

Если    ,   то   

Если    ,   то   

Производная логарифма

Производная логарифма от модуля x:
. Производная n-го порядка:

.

Вывод формул > > >

Для нахождения производной логарифма, его нужно привести к основанию e.
;
.

Интеграл

Интеграл от логарифма вычисляется интегрированием по частям: . Итак,

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного числа z:
.
Выразим комплексное число z через модуль r и аргумент φ:
. Тогда, используя свойства логарифма, имеем:

.

Или
Однако, аргумент φ определен не однозначно. Если положить
, где n – целое,
то будет одним и тем же числом при различных n.

Поэтому логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.

Разложение в степенной ряд

При имеет место разложение:

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Источник: https://1cov-edu.ru/mat_analiz/funktsii/logarifm/

Логарифмическая функция. Определение, построение, примеры решения задач

Обратная функция от логарифма. Что такое логарифмическая функция? Определение, свойства, решение задач

Раздел логарифмов занимает огромное значение в школьном курсе «Математического анализа». Задания для логарифмических функций построены на иных принципах, нежели задачи для неравенств и уравнений. Знание определений и основных свойств понятий логарифм и логарифмическая функция, обеспечат успешное решение типовых задач ЕГЭ.

Определение понятия логарифм

Прежде чем приступить к объяснению, что представляет собой логарифмическая функция, стоит обратиться к определению логарифма.

Разберем конкретный пример: аlogax = x, где a › 0, a ≠ 1.

Основные свойства логарифмов можно перечислить несколькими пунктами:

  1. Если a › 1, то для x › 1 logax › 0 и для 0 ‹ x ‹ 1 logax ‹ 0.
  2. Если 0 ‹ а ‹ 1, то для x › 1 logax ‹ 0 и для 0 ‹ x ‹ 1 logax › 0
  3. Если а › 0 и а ≠ 1, то loga1 = 0
  4. Если а › 0 и а ≠ 1, то logaa = 1
  5. Если x1 = x2,  то logax1=logax2,  где а › 0 и а ≠1
  6. Логарифм произведения равен сумме логарифмов. 
  7. Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя. 
  8. Логарифм степени равен логарифму основания, умноженному на показатель степени. 
  9. Основание логарифма можно поменять по формуле:
  10. Если возвести основание и аргумент логарифма в одну и ту же степень, то его значение не измениться.

Логарифмирование

Логарифмированием называют математическую операцию, которая позволяет с помощью свойств понятия найти логарифм числа или выражения.

Примеры:

Функция логарифма и ее свойства

Логарифмическая функция имеет вид

Сразу отметим, что график функции может быть возрастающим при a › 1 и убывающим при 0 ‹ a ‹ 1.  В зависимости от этого кривая функции будет иметь тот или иной вид.

Приведем свойства и способ построения графиков логарифмов:

  • область определения f(x) – множество всех положительных чисел, т.е. x может принимать любое значение из интервала (0; + ∞);
  • ОДЗ функции – множество всех действительных чисел, т.е. y может быть равен любому числу из промежутка ( — ∞; +∞);
  • если основание логарифма а › 1, то f(x) возрастает на всей области определения;
  • если основание логарифма  0 ‹ a ‹ 1, то F – убывающая;
  • логарифмическая функция не является ни четной, ни нечетной;
  • кривая графика всегда проходит через точку с координатами (1;0).

Построить обе разновидности графиков очень просто, рассмотрим процесс на примере

Для начала необходимо вспомнить свойства простого логарифма и ее функции. С их помощью нужно построить таблицу для конкретных значений x и y. Затем на координатной оси следует отметить полученные точки и соединить их плавной линией. Эта кривая и будет являться требуемым графиком.

Логарифмическая функция является обратной для показательной функции, заданной формулой y=  аx. Чтобы убедиться в этом, достаточно нарисовать обе кривые на одной координатной оси.

Очевидно, что обе линии являются зеркальным отражением друг друга. Построив прямую y = x, можно увидеть ось симметрии.

Для того, чтобы быстро найти ответ задачи нужно рассчитать значения точек для y = log2⁡x, а затем просто перенести начала точки координат на три деления вниз по оси OY и на 2 деления влево по оси OX.

В качестве доказательства построим расчетную таблицу для точек графика y = log2⁡(x+2)-3  и сравним полученные значения с рисунком.

Как видно, координаты из таблицы и точек на графике совпадают, следовательно, перенос по осям был осуществлен правильно.

Примеры решения типовых задач ЕГЭ

Большую часть тестовых задач можно разделить на две части: поиск области определения, указания вида функции по рисунку графика, определение является ли функция возрастающей/убывающей.

Для быстрого ответа на задания необходимо четко уяснить, что f(x) возрастает, если показатель логарифма а › 1, а убывает – при 0 ‹ а ‹ 1. Однако, не только основание, но и аргумент может сильно повлиять на вид кривой функции.

Задание 1

F(x), отмеченные галочкой, являются правильными ответами. Сомнения в данном случае вызывают пример 2 и 3. Знак «-» перед log меняет возрастающую на убывающую и наоборот.

Поэтому график y=-log3⁡x убывает на всей области определения, а y= -log(1/3)⁡x – возрастает, при том, что основание 0 ‹ a ‹ 1.

Ответ: 3,4,5.

Задание 2

Ответ: 4.

Данные типы заданий считаются легкими и оцениваются в 1- 2 балла.

Задание 3.

Определить убывающая или возрастающая ли функция и указать область ее определения.

Y =  log0.7⁡(0,1x-5)

Так как основание логарифма меньше единицы, но больше нуля – функция от x является убывающей. Согласно свойствам логарифма аргумент также должен быть больше нуля.  Решим неравенство:

Ответ: область определения D(x) – интервал (50; + ∞).

Задание 4.

Ответ: 3, 1, оси OX, направо.

Подобные задания классифицируются как средние и оцениваются в 3 — 4 балла.

Задание 5. Найти область значений для функции:

Из свойств логарифма известно, что аргумент может быть только положительным. Поэтому рассчитаем область допустимых значений функции. Для этого нужно будет решить систему из двух неравенств:

Итак, искомый промежуток находится в пределе интервала (-4; 8), при других x становится невозможным вычислить значение одного из данных логарифмических выражений.

Согласно свойствам логарифмической функции сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения их аргументов.

Графиком функции y = — x2 + 4x + 32 является парабола, схематический график которой представлен ниже.

Точка A является экстремумом графика, в ней y принимает наибольшее значение. Координаты точки A (m; n) вычисляются по формулам, приведенным на рисунке. Высчитаем n для заданной параболы.

Наибольшее значение ymax = 36. Так как основание логарифма в примере больше 1, то функция будет возрастающей, и достигнет наибольшего значения при максимальном аргументе. Узнаем максимум для F(y):

Наименьшего значения в конкретном примере нет, поэтому ОДЗ  для f(x) =  log3⁡(x+4)+ log3⁡(8-x) является следующий интервал (- ∞; 2log36).

Подобные задачи можно отнести к категории «сложно» и оценивать не менее 4 баллов за правильный ответ.

Источник: https://karate-ege.ru/matematika/logarifmicheskaya-funktsiya.html

Мед-Центр Здоровье
Добавить комментарий