Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости. Как составить уравнение плоскости? Взаимное расположение плоскостей. Задачи

Общее уравнение плоскости – описание, примеры, решение задач

Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости. Как составить уравнение плоскости? Взаимное расположение плоскостей. Задачи
Прямая, плоскость, их уравнения

Продолжим изучение темы уравнение плоскости. В этой статье мы всесторонне рассмотрим общее уравнение плоскости в трехмерном пространстве в фиксированной прямоугольной системе координат.

Сначала получим вид общего уравнения плоскости, приведем примеры и необходимые пояснения. Далее остановимся на общем уравнении плоскости, проходящей через заданную точку пространстве.

В заключении разберем частные случаи общего уравнения плоскости, рассмотрим общее неполное уравнение плоскости и приведем подробные решения задач.

Общее уравнение плоскости – основные сведения

Сначала напомним, что понимается под фразой «уравнение плоскости в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве».

Если в трехмерном пространстве задана прямоугольная система координат Oxyz, то уравнением плоскости в этой системе координат трехмерного пространства называют такое уравнение с тремя неизвестными x, y и z, которому удовлетворяют координаты всех точек плоскости и не удовлетворяют координаты никаких других точек.

Иными словами, при подстановке координат некоторой точки плоскости в уравнение этой плоскости мы получим тождество, а при подстановке в уравнение плоскости координат какой-либо другой точки получится неверное равенство.

Прежде чем записать общее уравнение плоскости, напомним определение прямой перпендикулярной к плоскости: прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Из этого определения следует, что любой нормальный вектор плоскости перпендикулярен любому ненулевому вектору, лежащему в этой плоскости.

Этот факт мы используем при доказательстве следующей теоремы, которая задает вид общего уравнения плоскости.

Всякое уравнение вида , где A, B, C и D – некоторые действительные числа, причем А, В и C одновременно не равны нулю, определяет плоскость в заданной прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, и всякая плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве определяется уравнением вида при некотором наборе чисел A, B, C и D.

Как видите, теорема состоит из двух частей. В первой части нам дано уравнение и нужно доказать, что оно определяет плоскость. Во второй части, нам дана некоторая плоскость и требуется доказать, что ее можно определить уравнением при некотором выборе чисел А, В, С и D.

Начнем с доказательства первой части теоремы.

Так как числа А, В и С одновременно не равны нулю, то существует точка , координаты которой удовлетворяют уравнению , то есть, справедливо равенство .

Отнимем левую и правую части полученного равенства соответственно от левой и правой частей уравнения , при этом получим уравнение вида эквивалентное исходному уравнению .

Теперь, если мы докажем, что уравнение определяет плоскость, то этим будет доказано, что эквивалентное ему уравнение также определяет плоскость в заданной прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве.

Равенство представляет собой необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов и . Иными словами, координаты плавающей точки удовлетворяют уравнению тогда и только тогда, когда перпендикулярны векторы и .

Тогда, учитывая факт, приведенный перед теоремой, мы можем утверждать, что если справедливо равенство , то множество точек определяет плоскость, нормальным вектором которой является , причем эта плоскость проходит через точку .

Другими словами, уравнение определяет в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве указанную выше плоскость. Следовательно, эквивалентное уравнение определяет эту же плоскость. Первая часть теоремы доказана.

Приступим к доказательству второй части.

Пусть нам дана плоскость, проходящая через точку , нормальным вектором которой является . Докажем, что в прямоугольной системе координат Oxyz ее задает уравнение вида .

Для этого, возьмем произвольную точку этой плоскости. Пусть этой точкой будет . Тогда векторы и будут перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение будет равно нулю: . Приняв , уравнение примет вид . Это уравнение и задает нашу плоскость. Итак, теорема полностью доказана.

Уравнение называется общим уравнением плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве.

Общее уравнение плоскости вида , где – некоторое действительное число, отличное от нуля, определяет в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость, совпадающую с плоскостью , так как задает то же самое множество точек трехмерного пространства. К примеру, уравнения и задают одну и ту же плоскость, так как им удовлетворяют координаты одних и тех же точек трехмерного пространства.

Немного поясним смысл теоремы.

В заданной прямоугольной системе координат Oxyz плоскость и ее общее уравнение неразрывно связаны. То есть, каждой плоскости соответствует общее уравнение плоскости вида (при определенных значениях чисел А, В, С и D), а этому уравнению соответствует указанная плоскость в заданной прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве.

Приведем пример, иллюстрирующий последнюю фразу.

Посмотрите на рисунок с изображением плоскости в трехмерном пространстве в фиксированной прямоугольной системе координат Oxyz. Этой плоскости соответствует уравнение , так как ему удовлетворяют координаты любой точки плоскости. С другой стороны, уравнение определяет в заданной системе координат Oxyz множество точек, образом которого является изображенная на рисунке плоскость.

К началу страницы

Еще раз повторим, что точка принадлежит плоскости, которая задана в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве общим уравнением плоскости , если при подстановке координат точки в уравнение оно обращается в тождество.

Принадлежат ли точки и плоскости, общее уравнение которой имеет вид .

Подставим координаты точки М0 в общее уравнение плоскости: . В результате приходим к верному равенству, следовательно, точка лежит в плоскости.

Проделаем такую же процедуру с координатами точки N0: . Получаем неверное равенство, поэтому, точка не лежит в плоскости, определенной общим уравнением плоскости .

М0 лежит в плоскости, а N0 – не лежит.

Из доказательства теоремы об общем уравнении плоскости виден один полезный факт: вектор является нормальным вектором плоскости . Таким образом, если мы знаем вид общего уравнения плоскости, то мы сразу можем записать координаты нормального вектора этой плоскости.

Плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz задана общим уравнением плоскости . Запишите координаты всех нормальных векторов этой плоскости.

Нам известно, что коэффициенты при переменных x, y и z в общем уравнении плоскости являются соответствующими координатами нормального вектора этой плоскости. Следовательно, нормальный вектор заданной плоскости имеет координаты . Множество всех нормальных векторов можно задать как .

Теперь рассмотрим обратную задачу – задачу составления уравнения плоскости, когда известны координаты ее нормального вектора. Очевидно, что существует бесконечно много параллельных плоскостей, нормальным вектором которых является вектор .

Поэтому, зададим дополнительное условие, чтобы обозначить одну конкретную плоскость. Будем считать, что точка принадлежит плоскости. Таким образом, задав нормальный вектор и точку плоскости , мы зафиксировали плоскость (смотрите раздел способы задания плоскости в пространстве).

Получим общее уравнение этой плоскости.

Общее уравнение плоскости с нормальным вектором имеет вид . Так как точка лежит на плоскости, то ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости, следовательно, справедливо равенство .

Вычтем из левой и правой части равенства левую и правую части равенства соответственно.

При этом получаем уравнение вида , которое является общим уравнением плоскости, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор плоскости .

Это уравнение можно было получить и иначе.

Очевидно, что множество точек трехмерного пространства определяют требуемую плоскость тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны. То есть, тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: .

Напишите уравнение плоскости, если в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве она проходит через точку , а – нормальный вектор этой плоскости.

Приведем два решения этой задачи.

Из условия имеем . Подставляем эти данные в общее уравнение плоскости, проходящей через точку :

Теперь второй вариант решения.

Пусть – текущая точка плоскости. Находим координаты вектора по координатам точек начала и конца: . Для получения требуемого общего уравнения плоскости осталось только воспользоваться необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов и :

Существует множество аналогичных задач на составление общего уравнения плоскости, в которых сначала требуется найти координаты нормального вектора плоскости. Самые распространенные из них это задачи на нахождение уравнения плоскости, проходящей через точку параллельно заданной плоскости и задачи на составление уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к заданной прямой.

К началу страницы

Если все числа А, В, С и D отличны от нуля, то общее уравнение плоскости называется полным. В противном случае, общее уравнение плоскости называется неполным.

Рассмотрим все возможные общие неполные уравнения плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве.

Пусть D = 0, тогда имеем общее неполное уравнение плоскости вида . Эта плоскость в прямоугольной системе координт Oxyz проходит через начало координат. Действительно, при подстановке координат точки в полученное неполное уравнение плоскости мы приходим к тождеству .

При , или , или имеем неполные общие уравнения плоскостей , или , или соответственно. Эти плоскости параллельны координатным осям Ox, Oy и Oz соответственно (при необходимости обращайтесь к статье условие параллельности прямой и плоскости).

При D = 0 плоскости проходят через эти координатные оси соответственно.

Также можно отметить, что неполные общие уравнения плоскости , и определяют плоскости, перпендикулярные координатным плоскостям Oyz, Oxz и Oxy соответственно (здесь может быть полезен раздел условие перпендикулярности плоскостей).

При , или , или имеем общие неполные уравнения плоскостей , или , или соответственно.

Эти уравнения задают плоскости, параллельные координатным плоскостям Oxy, Oxz и Oyz соответственно (смотрите статью условие параллельности плоскостей) и проходящие через точки и соответственно.

При D = 0 получаем уравнения самих координатных плоскостей Oxy, Oxz и Oyz, они имеют вид z = 0, y = 0 и x = 0 соответственно.

Разберем решения нескольких примеров на составление неполного уравнения плоскости.

Напишите общее уравнение плоскости параллельной координатной плоскости Oyz и проходящей через точку .

Плоскость, которая параллельна координатной плоскости Oyz, может быть задана общим неполным уравнением плоскости вида . Так как точка принадлежит плоскости по условию, то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению плоскости , то есть, должно быть справедливо равенство . Отсюда находим . Таким образом, искомое уравнение имеет вид .

Приведем второй способ решения этой задачи.

Так как плоскость, общее уравнение которой нам требуется составить, параллельна плоскости Oyz, то в качестве ее нормального вектора можно взять нормальный вектор плоскости Oyz.

Нормальным вектором координатной плоскости Oyz является координатный вектор .

Теперь мы знаем нормальный вектор плоскости и точку плоскости, следовательно, можем записать ее общее уравнение (подобную задачу мы решали в предыдущем пункте этой статьи):

Составьте общее уравнение плоскости, которая перпендикулярна координатной плоскости Oxy, проходит через начало координат и точку .

Плоскость, перпендикулярная координатной плоскости Oxy описывается общим неполным уравнением плоскости вида . Так как по условию плоскость проходит через начало координат, то D = 0, следовательно, уравнение плоскости примет вид . Осталось найти значение .

Из условия нам известно, что плоскость проходит через точку , тогда ее координаты должны удовлетворять уравнению плоскости. Следовательно, справедливо равенство , откуда находим . Теперь мы можем написать искомое общее уравнение плоскости, оно имеет вид .

  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Некогда разбираться?

Закажите решение

К началу страницы

Источник: //www.cleverstudents.ru/line_and_plane/general_equation_of_plane.html

Тема 5.5. Уравнения плоскости. Взаимное расположение плоскостей

Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости. Как составить уравнение плоскости? Взаимное расположение плоскостей. Задачи

Литература:[1], гл.10, §1, 3, стр. 230–238; [3], гл 2, §2, стр.46–54; [27], гл.7, §59-61, стр. 211-220.

Основныеопределения, теоремы и формулы

Уравнениеплоскости, заданной точкой и некол- линеарными векторамиимеет вид

или

Последниеуравнения называются параметрическимиуравнениями.

Уравнениеплоскости всегда можно привести кследующему виду:

где

котороеназывается общим уравнением плоскости.

Лемма.Векторпараллелен плоскости,заданной общим уравнениемтогда и только тогда, когда выполняетсяравенство

Пустьв аффинной системе координат даны двеплоскости исвоими уравнениями:

Обозначим,.

Плоскостиисовпадают тогда и только тогда, когда

Плоскостиипараллельны, но различны тогда и толькотогда, когда

Плоскостиипересекаются по прямой тогда и толькотогда, когда

Пример1. Составить уравнение плоскости,проходящей через:

1)точку параллельно плоскости2) точкуи осьдве точкиипараллельнооси

Решение.1) Так как искомая плоскостьпараллельнаплоскостито векторыи–направляющие векторы осейипараллельныей. Поэтому плоскостьзадаетсяточкойи векторамии:

или

2)Выберем на оси дветочки, например,и.Так как осьпринадлежитплоскости,то и точкипринадлежат.Значит, плоскостьопределяетсятремя точкамиили точкойидвумя векторамииЕеуравнение примет вид

или

Пример2. Составить параметрические уравненияплоскости

Решение.1-й способ. Любые две из трех переменныхможнопринять за независимые параметры.Положив, например,из уравнения плоскости найдемИскомые параметрические уравненияможно записать следующим образом:

2-йспособ. Как известно, если плоскостьзадана общим уравнениемто векторы

принадлежатнаправляющему подпространству этойплоскости, и какие-либо два из нихобразуют базис этого пространства. Значит, векторы параллельны данной плоскости. Замечаем,что точкапринадлежитплоскости. Следовательно, плоскостьможно задать точкойивекторамии:

Вопросыдля самоконтроля

1.Что называется направляющим подпространствомплоскости?

2.Как записывается в векторном видеуравнение плоскости, заданной:

а)точкой ибазисомнаправляющего подпространстваL,

б)тремя точками М1,М2,М3,не лежащими на одной прямой,

в)точкой и прямойm, лежащими в этой плоскости

г)двумя пересекающимися прямыми аиb,

д)двумя параллельными прямыми аиb,

е)точкой иперпендикулярным вектором?

Предполагается,что в случаях в), г), д) прямые заданыточкой и направляющим вектором.

3.Как запишется уравнение плоскости вкаждом из случаев а) – д) (см. вопрос 2),если в пространстве задана аффиннаясистема координат О?Какой вид имеет уравнение плоскости вслучае е (см. вопрос 2), если в пространствезадана прямоугольная декартова системакоординат?

4.Какой вид имеют векторное параметрическоеуравнение и параметрические уравненияплоскости, заданной точкой и базисомнаправляющегоподпространства?

5.Написать векторное и параметрическиеуравнения для каждой из координатныхплоскостей системы координат О.

6.Что определяет в аффинной системекоординат уравнение вида:

а)гдеA, B, C, D– вещественные числа,

б)гдеA, B, C, D – вещественные числа и

A2+ B2+C2>0?

7.Какое уравнение называется общимуравнением плоскости?

8.Как из параметрических уравненийплоскости получить её общее уравнение?Как решается обратная задача?

9.Как сформулировать критерий параллельностивектора (p1,p2,p3) и плоскости,заданной уравнением?

10.Как расположен вектор (А,В, С) по отношению к плоскости, имеющейуравнениеесли система координат: а) аффинная, б)прямоугольная декартова? –

11.Плоскость в аффинной системе координатзадана общим уравнением Как расположена плоскость по отношениюк системе координат, если:

а)б)в)г)д)

12.Что определяется в аффинной системекоординат каждым из следующих условий:

а) б)

в)

ЗдесьА, В,С, D– вещественные числа иА22 + С2>0.

13. Как выяснить, имеет ли плоскость,заданная общим уравнением пересечение с внутренностью тетраэдраABCD, гдеА(а1, а23), В(b1, b2,b3), C(c1, c2,c3), D(d1, d2,d3)?

14.Как выяснить взаимное расположениедвух плоскостей, заданных своими общимиуравнениями А1x + B1y+ C1z + D1 =

А2x+ B2y + C2z + D2=0?

15.Какой вид имеет уравнение произвольнойплоскости:

а)параллельной плоскости

б)проходящей через фиксированную точку

в)параллельной данному вектору

Задачи

1.Написать уравнение плоскости, которая:

а)параллельна координатной плоскости0xzи проходит через точкуА(2,–5,3),

б)содержит ось аппликат и точку В(–3,1, –2),

в)параллельна оси абсцисс и проходитчерез точки С(4,0, –2) и

D(5, 1, 7).

2.Написать параметрические уравненияплоскости, которая проходит через точкуА(2, –1, 3)параллельно плоскости, заданнойуравнениемПерейти от полученных параметрическихуравнений к общему уравнению плоскости.В какой системе координат решаетсязадача?

3.В аффинной системе координат двеплоскости заданы уравнениями иЗаписать систему неравенств,определяющую тот двугранный угол,образованный этими плоскостями, которомупринадлежит:

а)начало координат, б) точка А(3,–4, 3).

4.При каких значениях параметров иплоскости,заданные в аффинной системе координатуравнениямии

а)параллельны, б) совпадают, в) пересекаются?

5.Через точку А(–5,16, 12) проведены две плоскости, одна изкоторых содержит ось абсцисс, вторая – ось ординат. Найти косинус угла междуэтими плоскостями.

6.Написать уравнение плоскости, проходящейчерез начало координат и перпендикулярнойк линии пересечения плоскостей, заданныхуравнениями и

Домашнеезадание

1.Написать параметрические уравненияплоскости, заданной в аффинной системекоординат общим уравнением:

а)

б)

2.Найти координаты точки, принадлежащейплоскости, и координаты двух векторов,образующих базис направляющегоподпространства этой плоскости.

3.Написать общее уравнение плоскости,заданной в аффинной системе координатпараметрическими уравнениями:

а)

б)

4.Найти основание перпендикуляра,проведенного из точки Р(1, 3, 5) кпрямой, по которой пересекаются плоскостии

5.Даны две точки А(1, 3, –2) иВ(7, –4,4). Через точкуВ проведена плоскость,перпендикулярная прямойАВ. Написатьее уравнение.

6.Найти множество всех точек пространства,каждая из которых равноудалена от точекА(2, –1, 3) иВ(4, 5, –3).

Задачиповышенной трудности

1.Плоскость вместе с координатными плоскостямиобразует некоторый тетраэдр. Найтиребро куба, который можно поместитьвнутрь этого тетраэдра так, чтобы триграни его лежали на координатныхплоскостях, а вершина, противоположнаяначалу координат, лежала в даннойплоскости.

2.Написать уравнение плоскости,перпендикулярной плоскости и пересекающей ее по прямой, лежащей вкоординатной плоскости

Источник: //studfile.net/preview/3912354/page:5/

Уравнение плоскости, виды уравнения плоскости, уравнение плоскости в пространстве

Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости. Как составить уравнение плоскости? Взаимное расположение плоскостей. Задачи

В предыдущем разделе, посвященном плоскости в пространстве, мы рассмотрели вопрос с позиции геометрии. Теперь же перейдем к описанию плоскости с помощью уравнений. Взгляд на плоскость со стороны алгебры предполагает рассмотрение основных видов уравнения плоскости в прямоугольной системе координат Oхуz трехмерного пространства.

Определение уравнения плоскости

Определение 1

Плоскость – это геометрическая фигура, состоящая из отдельных точек. Каждой точке в трехмерном пространстве соответствуют координаты, которые задаются тремя числами. Уравнение плоскости устанавливает зависимость между координатами всех точек.

Уравнение плоскости в прямоугольной системе координат 0хуz имеет вид уравнения с тремя переменными х, у и z. Удовлетворяют уравнению координаты любой точки, лежащей в пределах заданной плоскости, не удовлетворяют координаты любых других точек, которые лежат вне заданной плоскости.

Подстановка в уравнение плоскости координат точки данной плоскости, обращает уравнение в тождество. При подстановке координат точки, лежащей вне плоскости, уравнение превращается в неверное равенство.

Уравнение плоскости может иметь несколько видов. В зависимости от специфики решаемых задач уравнение плоскости может быть записано по-разному.

Общее уравнение плоскости

Сформулируем теорему, а затем запишем уравнение плоскости.

Теорема 1

Всякая плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве может быть задана уравнением вида Ax+By+Cz+D=0 , где А,В,С и D – некоторые действительные числа, которые одновременно не равны нулю. Всякое уравнение, имеющее вид Ax+By+Cz+D=0 , определяет плоскость в трехмерном пространстве

Уравнение, имеющее вид Ax+By+Cz+D=0  носит название общего уравнения плоскости. Если не придавать числам А,В,С и D конкретных значений, то мы получаем уравнение плоскости в общем виде.

Важно понимать, что уравнение  λ·Ax+λ·By+λ·Cz+λ·D=0, будет точно так же определять плоскость. В уравнении λ – это некоторое отличное от нуля действительное число. Это значит, что равенства Ax+By+Cz+D=0 и λ·Ax+λ·By+λ·Cz+λ·D=0 равнозначны.

Пример 1

Общим уравнениям плоскости x-2·y+3·z-7=0  и -2·x+4·y-23·z+14=0 удовлетворяют координаты одних и тех же точек, расположенных в трехмерном пространстве. Это значит, что они задают одну и ту же плоскость.

Дадим пояснения к рассмотренной выше теореме. Плоскость и ее уравнение неразделимы, так как каждому уравнению Ax+By+Cz+D=0 соответствует плоскость в заданной прямоугольной системе координат, а каждой плоскости, расположенной в трехмерном пространстве, соответствует ее уравнение вида Ax+By+Cz+D=0 .

Уравнение плоскости Ax+By+Cz+D=0 может быть полным и неполным. Все коэффициенты А,B,С и D в полном уравнении отличны от нуля. В противном случае, общее уравнение плоскости считается неполным.

Плоскости, которые задаются неполными уравнениями, могут быть параллельны координатным осям, проходить через оси координат, совпадать с координатными плоскостями или располагаться параллельно им, проходить через начало координат.

Пример 2

Рассмотрим положение в пространстве плоскости, заданной уравнением 4·y-5·z+1=0 .

Она параллельна оси абсцисс и располагается перпендикулярно по отношению к плоскости Oyz. Уравнение z = 0 определяет координатную плоскость Oyz, а общее уравнение плоскости вида 3·x-y+2·z=0 соответствует плоскости, которая проходит через начало координат.

Важное уточнение: коэффициенты А,В и С в общем уравнении плоскости представляют собой координаты нормального вектора плоскости.

Когда говорят об уравнении плоскости, то подразумевают общее уравнение плоскости. Все виды уравнений плоскости, которые мы разберем в следующем разделе статьи, получают из общего уравнения плоскости.

Нормальное уравнение плоскости

Нормальное уравнение плоскости – это общее уравнение плоскости вида Ax+By+Cz+D=0, которое удовлетворяет следующим условиям: длина вектора n→=(A, B, C) равна единице, т.е. n→=A2+B2+C2=1 , а D≤0 .

Также запись нормального уравнения плоскости может иметь следующий вид cos α·x+cos β·y+cos γ·z-p=0 , где p – это неотрицательное число, которое равно расстоянию от начала координат до плоскости, а cos α, cos β, cos γ – это направляющие косинусы нормального вектора данной плоскости единичной длины.

n→=(cos α, cos β, cos γ), n→=cos2α+cos2 β+cos2 γ=1

То есть, согласно нормальному уравнению плоскости, плоскость в прямоугольной системе координат Oхуz удалена от начала координат на расстояние p в положительном направлении нормального вектора этой плоскости n→=(cos α, cos β, cos γ) . Если p равно нулю, то плоскость проходит через начало координат.

Пример 3

Плоскость задана общим уравнением плоскости вида -14·x-34·y+64·z-7=0 . D=-7≤0 , нормальный вектор этой плоскости n→=-14, -34, 64 имеет длину, равную единице, так как n→=-142+-342+64=1 . Соответственно, это общее уравнение плоскости является нормальным уравнением плоскости.

Для более детального изучения нормального уравнения плоскости мы рекомендуем перейти в соответствующий раздел. В теме приведены разборы задач и характерные примеры, а также способы приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду.

Уравнение плоскости в отрезках

Плоскость отсекает на координатных осях Oх, Oу и Oz отрезки определенной длины. Длины отрезков задаются отличными от нуля действительными числами a, b и с. Уравнение плоскости в отрезках имеет вид xa+yb+zc=1 . Знак чисел а, b и с показывает, в каком направлении от нулевого значения следует откладывать отрезки на координатных осях.

Пример 4

Построим в прямоугольной системе координат плоскость, которая задана уравнением формулы плоскости в отрезках x-5+y-4+z4=1 .

Точки удалены от начала координат в отрицательном направлении на 5 единиц по оси абсцисс, на 4 единицы в отрицательном направлении по оси ординат и на 4 единицы в положительном направлении по оси аппликат. Отмечаем точки и соединяем их прямыми линиями.

Плоскость полученного треугольника является плоскостью, соответствующей уравнению плоскости в отрезках, имеющего вид x-5+y-4+z4=1 .

Более подробно информация об уравнении плоскости в отрезках, приведении уравнения плоскости в отрезках к общему уравнению плоскости размещена в отдельной статье. Там же приведен ряд решений задач и примеров по теме.

Источник: //Zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/uravnenie-ploskosti-vidy-uravnenija-ploskosti/

§3. Неполные уравнения плоскости

Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости. Как составить уравнение плоскости? Взаимное расположение плоскостей. Задачи

Рассмотрим сейчаснекоторые частные случаи общего уравненияплоскости Ax+By+Cz+D=0,именно случаи, когда какие-либо изкоэффициентов A,B,C,Dобращаются вноль.

  1. D=0; плоскость Ax+By+Cz=0 проходит через начало координат.

  2. A=0; плоскость By+Cz+D=0 параллельна оси Ox (поскольку ее нормальный вектор перпендикулярен осиOx).

  3. B=0; плоскость Ax+Cz+D=0 параллельна оси Oy (ибо этой оси перпендикулярен ее нормальный вектор ).

  4. С=0; плоскость Ax+By+D=0 параллельна оси Oz (по причине аналогичной в пунктах 2) и 3)).

  5. A=0,B=0; плоскость Cz+D=0 параллельна координатной плоскости Oxy(в силу 2) и 3) она параллельна осям Ox и Oy).

  6. A=0, C=0; плоскость By+D=0 параллельна координатной плоскости Oxz.

  7. B=0,C=0; плоскость Ax+D=0 параллельна координатной плоскости Oyz.

  8. B=0, D=0; плоскость Ах+Cz=0 проходит через ось ординат.

  9. C=0, D=0; плоскость Ах+By=0 проходит через ось аппликат.

  10. А=0, D=0; плоскость Ву+Сz=0, проходит через ось абсцисс.

x+2y2=03x+z3=0

6x+2y+3z6=0

§4. Взаимное расположение двух плоскостей

Рассмотримдве плоскости

α1:A1x+B1y+C1z+D1=0,

α2:A2x+B2y+C2z+D2=0.

Каки в случае прямых на плоскости, взаимноерасположение плоскостей полностьюопределяется их нормальными векторами и.

Условиепараллельности плоскостей:

,что означает

.

Условиеперпендикулярности плоскостей:

что означает

.

Угол (острый) φмежду плоскостями:

.

§5. Расстояние от точки до плоскости

Пустьданы точка M*(x*;y*;z*) и плоскость α: Ax+By+Cz+D=0.

Формула для расстояния d(M*,α) от точки M* доплоскости α выводится аналогично формуле длярасстояния от точки до прямой наплоскости.

Если M0некоторая точка плоскости α,то

.

Применяя формулу,выражающую проекцию одного вектора надругой через их скалярное произведение,и учитывая условие (т.е.Ax0+By0+Cz0+D=0– верное равенство), получим

.

Это и есть формуладля вычисления расстояния от точкиM*(x*;y*;z*)до плоскости α:Ax+By+Cz+D=0.

Пример. Составить уравнение плоскостей, параллельных данной плоскости α:2x2yz3=0 и отстоящих от нее на расстояние d=5.

Решение. Найдем какое-нибудь решение уравнения2x2yz3=0.Пусть, например x=0,y=0,тогда z=–3,значит точка M0(0;0;–3)α.По условию искомые плоскости параллельныданной. Значит, их уравнения отличаютсяот уравнения данной плоскости α лишь свободным членом:

β:2x2yz+D=0.

Запишем расстояниеот точки M0 доплоскости β и приравняем его 5:

,

или ,.

Отсюда имеем D1=–18,D2=12. Искомыеплоскости имеют уравнения:

2x2yz18=0 и 2x–2yz+12=0.

ЛЕКЦИЯ 8

Источник: //studfile.net/preview/5688132/page:2/

Общее уравнение плоскости : описание, примеры, решение задач, найти множество точек координатной

Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости. Как составить уравнение плоскости? Взаимное расположение плоскостей. Задачи

В статье рассмотрим такой тип уравнений плоскости как общее уравнение, получим его вид и разберем на практических примерах. Рассмотрим частные случаи и понятие общего неполного уравнения плоскости.

Общее уравнение плоскости: основные сведения

Перед началом разбора темы вспомним, что такое уравнение плоскости в прямоугольной системе координат в трёхмерном пространстве.

Пусть нам дана прямоугольная система координат Oxyz в трехмерном пространстве, уравнением плоскости в заданной системе координат будет такое уравнение с тремя неизвестными x, y, и z, которому отвечали бы координаты всех точек этой плоскости и не отвечали бы координаты никаких прочих точек.

Иначе говоря, подставив в уравнение плоскости координаты некоторой точки этой плоскости, получаем тождество. Если же в уравнение подставить координаты какой-то другой точки, не принадлежащей заданной плоскости, равенство станет неверным.

Также вспомним определение прямой, перпендикулярной к плоскости: прямая является перпендикулярной к заданной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей этой плоскости.

Теорема 1

Любую плоскость, заданную в прямоугольной системе координат Oxyz трехмерного пространства, можно определить уравнением Ax + By + Cz + D = 0. В свою очередь, любое уравнение Ax + By + Cz + D = 0 определяет некоторую плоскость в данной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. A, B, C, D – некоторые действительные числа, и числа A, B, C не равны одновременно нулю.

Доказательство 

Теорема состоит из двух частей. Разберем доказательство каждой из них.

  1. Первая часть теоремы гласит, что любую заданную плоскость возможно описать уравнением вида Ax + By + Cz + D = 0. Допустим, задана некоторая плоскость и точка M0(x0, y0, z0), через которую эта плоскость проходит. Нормальным вектором этой плоскости является n→= (A, B, C). Приведем доказательство, что указанную плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz задает уравнение Ax + By + Cz + D = 0.

Возьмем произвольную точку заданной плоскости M(x, y, z).В таком случае векторы n→= (A, B, C) и M0M→=(x-x0, y-y0, z-z0) будут перпендикулярны друг другу, а значит их скалярное произведение равно нулю:

n→, M0M→=Ax-x0+B(y-y0)+C(z-z0)=Ax+By+Cz-(Ax0+By0+Cz0)

Примем D=-(Ax0+By0+Cz0) , тогда уравнение преобразуется в следующий вид: Ax + By + Cz + D = 0. Оно и будет задавать исходную плоскость. Первая часть теоремы доказана.

  1. Во второй части теоремы утверждается, что любое уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0 задает некоторую плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz трехмерного пространства. Докажем это.

В теореме также указано, что действительные числа А, B, C одновременно не являются равными нулю. Тогда существует некоторая точка M0(x0, y0, z0), координаты которой отвечают уравнению Ax + By + Cz + D = 0, т.е. верным будет равенство Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0. Отнимем левую и правую части этого равенства от левой и правой частей уравнения Ax + By + Cz + D = 0. Получим уравнение вида

A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) + D = 0, и оно эквивалентно уравнению Ax + By + Cz + D = 0. Докажем, что уравнение A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) + D = 0 задает некоторую плоскость.

Уравнение A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) + D = 0 являет собой условие, необходимое и достаточное для перпендикулярности векторов n→=(A, B, C) и M0M→=x-x0, y-y0, z-z0.

Опираясь на утверждение, указанное перед теоремой, возможно утверждать, что при справедливом равенстве A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) + D = 0 множество точек M(x, y, z) задает плоскость, у которой нормальный вектор n→=(A, B, C). При этом плоскость проходит через точку M(x0, y0, z0).

Иначе говоря, уравнение A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) + D = 0 задает в прямоугольной системе координат Oxyz трехмерного пространства некоторую плоскость. Таким, образом, эквивалентное этому уравнению уравнение Ax + By + Cz + D = 0 также определяет эту плоскость. Теорема доказана полностью.

Уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0 называют общим уравнением плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz трехмерного пространства.

Допустим, задано некоторое общее уравнение плоскости λ·Ax+λ·By+λ·Cz+λ·D=0, где λ – некое действительное число, не равное нулю.

Это уравнение также задает в прямоугольной системе координат некоторую плоскость, совпадающую с плоскостью, определяемую уравнением Ax+By+Cz+D=0, поскольку описывает то же самое множество точек трехмерного пространства.

Например, уравнения x-2·y+3·z-7=0 и -2·x+4·y-23·z+14=0 задают одну и ту же плоскость, поскольку им обоим отвечают координаты одних и тех же точек трехмерного пространства. 

Раскроем чуть шире смысл теорем.

В пределах заданной системы координат плоскость и общее уравнение, ее определяющее, неразрывно связаны: каждой плоскости отвечает общее уравнение плоскости вида Ax+By+Cz+D=0( при конкретных значениях чисел A, B, C, D). В свою очередь, этому уравнению отвечает заданная плоскость в заданной прямоугольной системе координат.

Укажем пример как иллюстрацию этих утверждений.

Ниже приведен чертеж, на котором изображена плоскость в фиксированной прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Заданной плоскости отвечает общее уравнение вида 4x + 5y – 5z + 20 = 0, и ему соответствуют координаты любой точки этой плоскости.

В свою очередь, уравнение 4x + 5y – 5z + 20 = 0 описывает в заданной системе координат множество точек, которые составляют изображенную плоскость.

Общее уравнение плоскости, проходящей через точку

Повторимся: точка M0(x0, y0, z0) лежит на плоскости, заданной в прямоугольной системе координат трехмерного пространства уравнением Ax+By+Cz+D=0 в том случае, когда подставив координаты точки M0(x0, y0, z0) в уравнение Ax+By+Cz+D=0, мы получим тождество.

Пример 1

 Заданы точки M0(1, -1, -3) и N0(0, 2, -8) и плоскость, определяемая уравнением 2x+3y-z-2=0. Необходимо проверить, принадлежат ли заданные точки заданной плоскости.

Решение 

Подставим координаты точки М0 в исходной уравнение плоскости:

2·1+3·(-1)-(-3)-2=0⇔0=0

Мы видим, что получено верное равенство, значит точка M0(1, -1, -3) принадлежит заданной плоскости.

 Аналогично проверим точку N0. Подставим ее координаты в исходное уравнение:

2·0+3·2-(-8)-2=0⇔12=0

Равенство неверно. Таким, образом, точка N0(0, 2, -8) не принадлежит заданной плоскости.

Ответ: точка М0 принадлежит заданной плоскости; точка N0 – не принадлежит.

Приведенное выше доказательство теоремы об общем уравнении дает нам возможность использовать важный факт: вектор n→=(A, B, C) – нормальный вектор для плоскости, определяемой уравнением  Ax+By+Cz+D=0. Так, если нам известен вид общего уравнения, то возможно записать координаты нормального вектора заданной плоскости.

Пример 2

В прямоугольной системе координат задана плоскость 2x+3y-z+5=0. Необходимо записать координаты всех нормальных векторов заданной плоскости.

Решение

Мы знаем, что заданные общим уравнением коэффициенты при переменных x, y, z служат координатами нормального вектора заданной плоскости. Тогда, нормальный вектор n→ исходной плоскости имеет координаты 2, 3, -1 . В свою очередь, множество нормальных векторов запишем так:

λ·n→=λ·2, λ·3, -λ, λ∈R, λ≠0

Ответ:  λ·2, λ·3, -λ, λ∈R, λ≠0

Разберем обратную задачу, когда требуется составить уравнение плоскости по заданным координатам нормального вектора.

Очевидным фактом является то, что нормальный вектор n→=(A, B, C)является нормальным вектором бесконечного множества параллельных плоскостей. Поэтому для обозначения конкретной плоскости введем дополнительное условие: зададим некоторую точку M0(x0, y0, z0), принадлежащую плоскости. Так, задавая в условии нормальный вектор и некоторую точку плоскости, мы ее зафиксировали.

Общее уравнение плоскости с нормальным вектором  n→=(A, B, C) будет выглядеть так:  Ax+By+Cz+D=0. По условию задачи точка M0(x0, y0, z0) принадлежит заданной плоскости, т.е. ее координаты отвечают уравнению плоскости, а значит верно равенство:Ax0+By0+Cz0+D=0

Вычитая соответственно правые и левые части исходного уравнения и уравнения Ax0+By0+Cz0+D=0, получим уравнение вида A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0. Оно и будет уравнением плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и имеющей нормальный вектор n→=(A, B, C).

Возможно получить это уравнение другим способом.

Очевидным фактом является то, что все точки М (x, y, z) трехмерного пространства задают данную плоскость тогда и только тогда, когда векторы n→=(A, B, C) и M0M→=(x-x0, y-y0, z-z0) перпендикулярны или, иначе говоря, когда скалярное произведение этих векторов равно нулю:

n→, M0M→=A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

Пример 3

Задана точка М0(-1, 2, -3), через которую в прямоугольной системе координат проходит плоскость, а также задан нормальный вектор этой плоскости n→=(3, 7, -5). Необходимо записать уравнение заданной плоскости.

Решение

Рассмотрим два способа решения.

  1. Исходные условия позволяют получить следующие данные:

x0=-1, y0=2, z0=-3, A=3, B=7, C=-5

Подставим их в общее уравнение плоскости, проходящей через точку, т.е. в A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 

И получим:

3(x-(-1))+7(y-2)-5(z-(-3))=0⇔3x+7y-5z-26=0

  1. Допустим, М (x, y, z) – некоторая точки заданной плоскости. Определим координаты вектора M0M→ по координатам точек начала и конца:

M0M→=(x-x0, y-y0, z-z0)=(x+1, y-2, z+3)

Чтобы получить искомое общее уравнение плоскости, необходимо также воспользоваться необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов и тогда:

n→, M0M→=0⇔3(x+1)+7(y-2)-5(z+3)=0⇔⇔3x+7y-5z-26=0

Ответ: 3x+7y-5z-26=0

Неполное общее уравнение плоскости

Выше мы говорили о том, что, когда все числа А, B, C, D отличны от нуля, общее уравнение плоскости Ax+By+Cz+D=0 называютполным. В ином случае общее уравнение плоскости является неполным.

Разберем все возможные варианты общих неполных уравнений в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

  1. В случае, когда D = 0, мы получаем общее неполное уравнение плоскости: Ax+By+Cz+D=0⇔Ax+By+Cz=0

Такая плоскость в прямоугольной системе координат проходит через начало координат. В самом деле, если подставим в полученное неполное уравнение плоскости координаты точки О (0, 0, 0), то придем к тождеству:

A·0+B·0+C·0=0⇔0≡0

  1. Если А = 0, В ≠ 0, С ≠ 0, или А ≠ 0, В = 0, С ≠0, или А ≠ 0, В ≠ 0, С = 0, то общие уравнения плоскостей имеют вид соответственно: By+Cz+D=0, или Ax+Cz+D=0, или Ax+By+D=0. Такие плоскости параллельны координатным осям Оx, Oy, Oz соответственно. Когда D=0, плоскости проходят через эти координатные оси соответственно. Также заметим, что неполные общие уравнения плоскостей By+Cz+D=0, Ax+Cz+D=0 и Ax+By+D=0 задают плоскости, которые перпендикулярны плоскостям Oyz, Oxz, Ozy соответственно.
  1. При А=0, В=0, С≠0, или А=0, В≠0, С=0, или А≠0, В=0, С=0 получим общие неполные уравнения плоскостей: Cz+D=0 ⇔z+DC=0⇔z=-DC⇔z=λ, λ∈R или By+D=0⇔y+DB=0⇔y=-DB⇔y=λ, λ∈R или Ax+D=0⇔x+DA=0⇔x=-DA⇔x=λ, λ∈R соответственно.

Эти уравнения определяют плоскости, которые параллельны координатным плоскостям Oxy, Oxz, Oyz соответственно и проходят через точки 0, 0, -DC, 0, -DB, 0 и -DA, 0, 0 соответственно. При D=0 уравнения самих координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz выглядят так: z=0, y=0, x=0

соответственно.

Пример 4

Задана плоскость, параллельная координатной плоскости Oyz и проходящая через точку М0(7, -2, 3). Необходимо составить общее уравнение заданной плоскости.

Р​​ешение

У​​​​​словием задачи определено, что заданная плоскость параллельна координатной плоскости Oyz, а, следовательно, может быть задана общим неполным уравнением плоскости Ax+D=0, A≠0⇔x+DA=0.

Поскольку точка M0(7, -2, 3) лежит на плоскости по условию задачи, то очевидно, что координаты этой точки должны отвечать уравнению плоскости  x+DA=0, иначе говоря, должно быть верным равенство  7+DA=0 .

Преобразуем: DA=-7, тогда требуемое уравнение  имеет вид: x-7=0.

Задачу возможно решить еще одним способом.

Вновь обратим внимание на заданную условием задачи параллельность данной плоскости координатной плоскости Oyz.

Из этого условия понятно, что возможно в качестве нормального вектора заданной плоскости использовать нормальный вектор плоскости Oyz: i→=(1, 0, 0).

Так, нам известны и точка, принадлежащая плоскости (задана условием задачи) и ее нормальный вектор. Таким образом, становится возможно записать общее уравнение заданной плоскости:                              

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0⇔⇔1·(x-7)+0·(y+2)+0·(z-3)=0⇔⇔x-7=0

Ответ: x-7=0

Пример 5

Задана плоскость, перпендикулярная плоскости Oxy и проходящая через начало координат и точку М0(-3, 1, 2).

Решение 

Плоскость, которая перпендикулярна координатной плоскости Oxy определяется общим неполным уравнением плоскости Ax+By+D=0 (А≠0, В≠0). Условием задачи дано, что плоскость проходит через начало координат, тогда D=0 и уравнение плоскости принимает вид Ax+By=0⇔x+BAy=0.

Найдем значение BA. В исходных данных фигурирует точка М0(-3, 1, 2), координаты которой должны отвечать уравнению плоскости. Подставим координаты, получим верное равенство: -3+BA·1=0, откуда определяем BA=3.

Так, мы имеем все данные, чтобы записать требуемое общее уравнение плоскости: x+3y=0.

Ответ: x+3y=0.

Источник: //Zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/obschee-uravnenie-ploskosti/

Мед-Центр Здоровье
Добавить комментарий