Калькулятор объем тела вращения. Вычисление объема тела, образованного вращением

Вычисление объемов тел вращения с помощью определенного интеграла

Калькулятор объем тела вращения. Вычисление объема тела, образованного вращением

Тип урока:

комбинированный.

Цель урока: научиться вычислять объемы тел вращения с помощью интегралов.

Задачи:

  • закрепить умение выделять криволинейные трапеции из ряда геометрических фигур и отработать навык вычислений площадей криволинейных трапеций;
  • познакомиться с понятием объемной фигуры;
  • научиться вычислять объемы тел вращения;
  • способствовать развитию логического мышления, грамотной математической речи, аккуратности при построении чертежей;
  • воспитывать интерес к предмету, к оперированию математическими понятиями и образами, воспитать волю, самостоятельность, настойчивость при достижении конечного результата.

Ход урока

I. Организационный момент.

Приветствие группы. Сообщение учащимся целей урока.

Рефлексия.

Спокойная мелодия.

– Сегодняшний урок мне бы хотелось начать с притчи. “Жил мудрец, который знал все. Один человек захотел доказать, что мудрец знает не все.

Зажав в ладонях бабочку, он спросил: “Скажи, мудрец, какая бабочка у меня в руках: мертвая или живая?” А сам думает: “Скажет живая – я ее умертвлю, скажет мертвая – выпущу”.

Мудрец, подумав, ответил: “Все в твоих руках”. (Презентация. Слайд)

– Поэтому давайте сегодня плодотворно поработаем, приобретем новый багаж знаний, и полученные умения и навыки будем применять в дальнейшей жизни и в практической деятельности. “Все в Ваших руках”.

II. Повторение ранее изученного материала.

– Давайте вспомним основные моменты ранее изученного материала. Для этого выполним задание “Исключите лишнее слово”. (Слайд.)

(Учащийся выходит к И.Д.с помощью ластика убирает лишнее слово.)

– Правильно “Дифференциал”. Попробуйте оставшиеся слова назвать одним общим словом. (Интегральное исчисление.)

– Давайте вспомним основные этапы и понятия связанные с интегральным исчислением..

“Математическая гроздь”.

Задание.

Восстановите пропуски. (Студент выходит и вписывает ручкой необходимые слова.)

– Реферат о применении интегралов мы заслушаем позже.

Работа в тетрадях.

– Формулу Ньютона-Лейбница вывели английский физик Исаака Ньютона (1643–1727) и немецкий философ Готфрида Лейбница (1646–1716). И это не удивительно, ведь математика – язык, на котором говорит сама природа.

– Рассмотрим, как при решении практических заданий используется эта формула.

Пример 1:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение:

Построим на координатной плоскости графики функций . Выделим площадь фигуры, которую надо найти.

III. Изучение нового материала.

– Обратите внимание на экран. Что изображено на первом рисунке? (Слайд) (На рисунке представлена плоская фигура.)

– Что изображено на втором рисунке? Является ли эта фигура плоской? (Слайд) (На рисунке представлена объемная фигура.)

– В космосе, на земле и в повседневной жизни мы встречаемся не только с плоскими фигурами, но и объемными, а как же вычислить объем таких тел? Например объем планеты, каметы, метеорита, и т.д.

– Об объеме задумываются и строя дома, и переливая воду из одного сосуда в другой. Правила и приёмы вычисления объёмов должны были возникать, другое дело, насколько они были точны и обоснованны.

Сообщение студентки. (Тюрина Вера.)

 

1612 год был для жителей австрийского города Линц, где жил тогда известный астроном Иоганн Кеплер очень урожайным, особенно на виноград. Люди заготовляли винные бочки и хотели знать, как практически определить их объёмы. (Слайд 2)

– Таким образом, рассмотренные работы Кеплера положили начало целому потоку исследований, увенчавшихся в последней четверти XVII в. оформлением в трудах И. Ньютона и Г.В. Лейбница дифференциального и интегрального исчисления. Математика переменных величии заняла с этого времени ведущее место в системе математических знаний.

– Вот сегодня мы с вами и займемся такой практической деятельностью, следовательно,

Тема нашего урока: “Вычисление объемов тел вращения с помощью определенного интеграла”.

(Слайд)

– Определение

тела вращения вы узнаете, выполнив следующее задание.

“Лабиринт”.

Лабиринт (греческое слово) означает ход в подземелье. Лабиринт– запутанная сеть дорожек, ходов, сообщающихся друг с другом помещений.

Но определение “разбилось”, остались подсказки в виде стрелок.

Задание.

Найдите выход из запутанного положения и запишите определение.

Слайд.

“Карта инструктаж” Вычисление объемов.

При помощи определенного интеграла можно вычислить объем того или иного тела, в частности, тела вращения.

Телом вращения называется тело, полученное вращением криволинейной трапеции вокруг ее основания (рис. 1, 2)

Объем тела вращения вычисляется по одной из формул

:

1., если вращение криволинейной трапеции вокруг оси ОХ.

2. , если вращение криволинейной трапеции вокруг оси ОУ.

Карту инструктаж получает каждый студент. Преподаватель подчеркивает основные моменты.

– Преподаватель объясняет решение примеров на доске.

Пример.

Рассмотрим отрывок из известной сказки А. С. Пушкина “Сказка о царе Салтане, о сыне его славном и могучем богатыре князе Гвидоне Салтановиче и о прекрасной царевне Лебеде” (Слайд 4):

….. И привез гонец хмельной В тот же день приказ такой: “Царь велит своим боярам, Времени не тратя даром, И царицу и приплод Тайно бросить в бездну вод”.

Делать нечего: бояре, Потужив о государе И царице молодой, В спальню к ней пришли толпой.

Объявили царску волю – Ей и сыну злую долю, Прочитали вслух указ, И царицу в тот же час В бочку с сыном посадили, Засмолили, покатили И пустили в окиян –

Так велел-де царь Салтан.

(Слайд 5):

Какими же должен быть объем бочки, чтобы в ней поместились царица и её сын?

– Рассмотрим следующие задания

1. Найти объем тела, получаемого вращением вокруг оси ординат криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

x2 + y2  = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Решение.

Ответ : 1163 cm3.

Найти объем тела, получаемого вращением параболической трапеции, вокруг оси абсцисс

y = , x = 4, y = 0.

Решение .

IV. Закрепление нового материала

Пример 2. Вычислить объем тела, образованного вращением лепестка, вокруг оси абсцисс

y = x2, y2 = x.

Решение .

Построим графики функции. y = x2, y2 = x. График y2 = x   преобразуем к виду y = .

Имеем V = V1 – V2 Вычислим объем каждой функции

– Теперь, давайте, рассмотрим башню для радиостанции в Москве на Шаболовке

, построенной по проекту замечательного русского инженера, почётного академика В. Г. Шухова. Она состоит из частей – гиперболоидов вращения. Причём, каждый из них изготовлен из прямолинейных металлических стержней, соединяющих соседние окружности (рис.8, 9).

– Рассмотрим задачу.

Найти объем тела, получаемого вращением дуг гиперболы вокруг ее мнимой оси, как показано на рис. 8, где

Решение.

куб. ед.

Задания по группам.

Учащиеся вытягивают жребий с задачами, рисунки выполняют на ватмане, один из представителей группы защищает работу.

1-я группа.

Удар! Удар! Ещё удар! Летит в ворота мячик – ШАР! А это– шар арбузный Зелёный, круглый, вкусный. Вглядитесь лучше – шар каков! Он сделан из одних кругов. Разрежьте на круги арбуз

И их попробуйте на вкус.

Найти объем тела, получаемого вращением вокруг оси ОХ функции, ограниченную

Решение.

Ошибка! Закладка не определена.

– Скажите, пожалуйста, где мы встречаемся с данной фигурой?

Дом. задание для 1 группы. ЦИЛИНДР (слайд) .

“Цилиндр – что такое?” – спросил я у папы. Отец рассмеялся: Цилиндр – это шляпа. Чтобы иметь представление верное, Цилиндр, скажем так, это банка консервная. Труба парохода – цилиндр,

Труба на нашей крыше – тоже,

Все трубы на цилиндр похожи. А я привёл пример такой – Калейдоскоп любимый мой, Глаз от него не оторвёшь,

И тоже на цилиндр похож.

– Задание. Домашняя работа составить график функции и вычислить объем .

2-я группа. КОНУС

(слайд).

Сказала мама: А сейчас Про конус будет мой рассказ. В высокой шапке звездочёт Считает звёзды круглый год. КОНУС – шляпа звездочёта. Вот какой он. Понял? То-то. Мама у стола стояла, В бутылки масло разливала. – Где воронка? Нет воронки. Поищи. Не стой в сторонке.

– Мама, с места я не тронусь, Расскажи ещё про конус. – Воронка и есть в виде конуса лейка. Ну-ка, найди мне её поскорей-ка. Воронку я найти не смог, Но мама сделала кулёк, Картон вкруг пальца обкрутила И ловко скрепкой закрепила.

Масло льётся, мама рада,

Конус вышел то, что надо.

Задание . Вычислить объем тела полученный вращением вокруг оси абсцисс

Дом. задание для 2-й группы. ПИРАМИДА (слайд).

Я видел картину. На этой картине Стоит ПИРАМИДА в песчаной пустыне. Всё в пирамиде необычайно, Какая-то есть в ней загадка и тайна. А Спасская башня на площади Красной И детям, и взрослым знакома прекрасно. Посмотришь на башню – обычная с виду,

А что на вершине у ней? Пирамида!

Задание. Домашняя работа составить график функции и вычислить объем пирамиды

Вывод.

– Объёмы различных тел мы вычисляли опираясь на основную формулу объёмов тел с помощью интеграла.

Это является ещё одним подтверждением того, что определённый интеграл есть некоторый фундамент для изучения математики.

– Ну а теперь давайте немного отдохнем.

Найди пару.

Математическое домино мелодия играет.

“Дорога та, что сам искал, вовек не позабудется…”

Исследовательская работа. Применение интеграла в экономике и технике.

Тесты для сильных учащихся и математический футбол.

Математический тренажер.

2. Совокупность всех первообразных от данной функции называется

А) неопределенным интегралом,

Б) функцией,

В) дифференциацией.

7. Найти объем тела, получаемого вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

Д/З. Вычислить объемы тел вращения.

Рефлексия.

Приём рефлексии в форме синквейна (пятистишия).

1-я строка – название темы (одно существительное).

2-я строка – описание темы в двух словах, два прилагательных.

3-я строка – описание действия в рамках этой темы тремя словами.

4-я строка – фраза их четырёх слов, показывает отношение к теме (целое предложение).

5-я строка – синоним, который повторяет суть темы.

  1. Объем.
  2. Определенный интеграл, интегрируемая функция.
  3. Строим, вращаем, вычисляем.
  4. Тело, полученное вращением криволинейной трапеции (вокруг ее основания).
  5. Тело вращения (объемное геометрическое тело).

Вывод(слайд).

  • Определенный интеграл – это некоторый фундамент для изучения математики, которая вносит незаменимый вклад в решение задач практического содержания.
  • Тема “Интеграл” ярко демонстрирует связь математики с физикой, биологией, экономикой и техникой.
  • Развитие современной науки немыслимо без использования интеграла. В связи с этим, начинать его изучение необходимо в рамках средне специального образования!

Выставление оценок .

(С комментированием.)

Великий Омар Хайям – математик, поэт, философ. Он призывает быть хозяевами своей судьбы. Слушаем отрывок из его произведения:

Ты скажешь, эта жизнь – одно мгновенье. Её цени, в ней черпай вдохновенье. Как проведёшь её, так и пройдёт.

Не забывай: она – твоё творенье.

Приложение 2.

9.01.2014

Источник: https://urok.1sept.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/641706/

Объем тела вращения вокруг оси Ox, Oy

Калькулятор объем тела вращения. Вычисление объема тела, образованного вращением

Объем тела V, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры , , где y1(x) и y2(x) – непрерывные неотъемлемые функции, равняется определенному интегралу от разницы квадратов функций yi(x) по переменной x

Объем тела V, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры , , где y(x) – однозначная непрерывная функция, равняется определенному интегралу, рассчитанному по формуле

Примеры выбраны из учебной программы для студентов механико-математического факультета Львовского национального университета имени Ивана Франко. 

Первый номер в примерах отвечает номеру основного задания из сборника М. В. Заболоцький, Фединяк С.И., Филевич П.В.“Практикум из математического анализа” (рядом стоит номер из сборника Б. П. Демидовича).
Для изучения основных моментов схема интегрирования и формулы вычисления объема тела вращения будут повторяться из примера в пример.

ІV. Найти объемы тел, ограниченными поверхностями, полученными при вращении отрезков следующих линий

Пример 2.139 (2472) Найти объем тела, образованного вращением кривой (нейлоїд) xє[0;a] вокруг оси Ox.
Решение: Складываем подинтегральную функцию:

Пределы интегрирования известны за условием: [0;a]. Найдем объем тела интегрированием:
Всегда помните, что объем измеряется в кубических единицах.

Пример 2.140 (2473) Найти объем тела, образованного вращением кривой y=2x-x2, y=0 
а) вокруг оси Ox; б) вокруг оси Oy.


Решение: Запишем подинтегральные функции:
а)
б) Из приведенных формул Вы можете видеть разницу, в каких случаях применять каждую из формул объема.

Найдем пределы интегрирования: И заключительным шагом вычисляем объемы интегрированием.

а) Найдем объем тела вращения вокруг оси Ox:

б) Вычислим объем тела вращения вокруг оси Oy:

В этом примере интегралы легко берутся и нет потребности объяснять детали операций.

Пример 2.141 (2474) Вычислить объем тела, образованного вращением кривой y=sin(x)

а) вокруг оси Ox; б) вокруг оси Oy.
Решение: Выпишем подинтегральные функции:
а)
б) Пределы интегрирования берем из начального условия: Осталось вычислить определенные интегралы:

а) Найдем объем тела вращения вокруг оси Ox:

б) Выполняем вычисление объема тела при вращении вокруг оси Oy:

Замена переменных помогает найти последний интеграл.

Пример 2.142 (2475) Найти объем тела, образованного вращением кривой
а) вокруг оси Ox; б) вокруг оси Oy.


Решение: Чтобы записать подинтегральную функцию найдем разницу квадратов заданных функций:
а)
б) для тела, образованного вращением вокруг оси Oy подинтегральная функция имеет вид

Из условия равенства функций y1(x)=y2(x) определяем пределы интегрирования

x1=0, |x|=a поэтому Пределы интегрирования :

а)  

б)
При :
поэтому принимая во внимание симметрию имеем неравенство .

а) Вычисляем объем тела вращения вокруг оси Ox:

б) Через следующий интеграл определяем объем тела вращения вокруг оси Oy:

Здесь нет сложных моментов при вычислении интеграла.

Пример 2.143 (2476) Найти объем тела, образованного вращением кривойy=e- x, y=0,
а) вокруг оси Ox; б) вокруг оси Oy
.
Решение: Уравнение подинтегральных функций :
а) y2=e-2x;
б) x*y (x) =xe-x. Запишем пределы интегрирования (известно за условием):
а) Находим объем тела вращения вокруг оси Ox:

б) Найдем объем тела вращения вокруг оси Oy:
Здесь, чтобы вычислить интегралы придется находить границу при переменной направляющейся к безграничности.

Во втором интеграле выполняем интегрирование частями.

Пример 2.144 (2477) Вычислить объем тела, образованного вращением кривой x2+(y-b)2=a2, , вокруг оси Ox.
Решение: Фигурой вращения является круг с центром в точке (0;b) и радиусом a.

При выражении самой функции получим две ветки корневых функций: При поднесении к квадрату разница слагаемых сложит такое выражение подинтегральной функции:
Запишем пределы интегрирования: для круга они равны xє[-a;a] или два полукруга из на промежутке xє[0;a].

Через интеграл находим объем тела вращения вокруг оси Ox:

Внимательно разберите приведенный пример.

Пример 2.145 (2478) Найти объем тела, образованного вращением кривойx2-xy+y2=a2, вокруг оси Ox.
Решение: Сведем кривую к каноническому виду (методами из аналитической геометрии) устанавливаем, что заданная линия является эллипсом
– уравнение в канонической системы координат.

В приведенной системе координат уравнения эллипса имеет вид:
Прямая y=x/2 является осью симметрии этой фигуры.

Запишем подинтегральную функцию:
Найдем пределы интегрирования из условия равности функций y2(x)=y1(x):

или двукратный объем на интервале Но тогда еще нужно отнять объем тела в пределах(которая не принадлежит эллипсу) и ограничена первой кривой
и результат умножить на 2 (симметрия).

Последним шагом вычисляем объем тела вращения вокруг оси Ox:

Формула интеграла вышла достаточно длинным, однако его удобно читать пользователям, которые заходят на сайт из мобильных устройств.

Пример 2.146 (2479) Найти объем тела, образованного вращением кривой вокруг оси Ox.
Решение: Запишем подинтегральную функцию:
y2(x)=e-2x*sin (x).

Установим пределы интегрирования: при , где k=0,1,2. Таким образом имеем бесконечный ряд промежутков интегрирования.

При нахождении объема тела вращения вокруг оси Ox получим бесконечный ряд интегралов, который совпадает:

Здесь вычислили интеграл дважды выполнив замену переменных:
тому
– это числовой ряд.
В данном случае бесконечно нисходящая геометрическая прогрессия, у которой b1=1, b2=e-4Pi, поэтому q=e- 4Pi, а сумма прогрессии равна

Пример 2480 Найти объем тела, образованного вращением кривой x=a (t – sin (t)), y=a (1 – cos (t)), , y=0.
а) вокруг оси Ox; б) вокруг оси Oy;
в) вокруг прямой y=2a.


Решение: Вычислим подинтегральную функцию и дифференциал по аргументу:
y2=a2(1-cos (t))2, dx=a(1-cos(t)) dt.
Пределы интегрирования известны из начального условия: tє[0;2pi].

Переходим к применению формул объемов:

а) Первым вычислим объем тела вращения вокруг оси Ox:

Здесь применили замену переменных и условие

б) Следующим найдем объем тела вращения вокруг оси Oy:

Его попробуйте расписать самостоятельно.

в) Последним вычислим объем тела вращения вокруг прямой y=2a:

Перейдем к новой системе координат по формулам y1=y-2a, x1=x.
Тогда искомый объем V=V1-V2, где V1 – объем колового цилиндра с высотой H=2pi*a и радиусом основы R=2a, поэтому объем цилиндра равен
куб. од. Второй объем находим интегрированием Как и в предыдущих задачах здесь использовали замену переменных под интегралом. Напоследок находим разницу объемов

куб. од.

Объем тела, образованного вращением вокруг полярной оси плоской фигуры

Чтобы найти объем тела V, образованного в результате вращением вокруг полярной оси плоской фигуры r(phi)
необходимо вычислить определенный интеграл по формуле

Пример 2483 Найти объем тела, образованного вращением кривой r=a (1+cos (phi)), , y=0 а) вокруг полярной оси;

б) вокруг прямой

Решение: Чтобы достать подинтегральную функцию подносим к кубу заданную функцию:
Пределы интегрирования записываем из начального условия: а) Сначала найдем объем тела вращения вокруг полярной оси: Для упрощения вычислений переходим к новой переменной под интегралом.

б) Перейдем к новым координатам с помощью формул: x1=y, y1=-x-a/4.

Определяем пределы интегрирования:

при росте угла от 0 к Pi/2 координата x1 растет от 0 к , при росте от Pi/2 к Pi переменная x1 спадает от к 0, поэтому пределы ограничены интервалом

Запишем подинтегральную функцию: Уравнения перехода между системами координат имеют вид Подстановкой в уравнение получим:

,

Найдем объем тела вращения вокруг прямой :

откроем скобки, возведем подобные слагаемые и, приняв во внимание, что интеграл равен нулю получим

Здесь последние интегралы выражаются через факториалы

(смотри пример 2.59, часть І). Парные факториалы вычисляем по правилу

Пример 2484.1 Найти объем тела, образованного вращением кривойr=a*phi(a>0)вокруг полярной оси.


Решение: Запишем подинтегральную функцию:
С пределами интегрирования проблем нет: Чтобы найти объем тела вращения вокруг полярной оси выполняем ряд манипуляций с интегралами:
Внимательно проанализируйте, как находится этот “тригонометрический” интеграл.

Пример 2484.2 Найти объем тела, образованного вращением кривой phi=Pi*r3, phi=Pi, вокруг полярной оси.

Решение: Запишем подинтегральную функцию:
Пределы интегрирования: Вычисляем объем тела вращения вокруг полярной оси: Здесь синус вносим под дифференциал и выполняем интегрирование частями.

На данное время это все примеры, которые мы смогли подготовить для Вас по данной теме.

Источник: https://yukhym.com/ru/integrirovanie-funktsii/ob-em-tela-vrashcheniya-vokrug-osi-ox-oy.html

Мед-Центр Здоровье
Добавить комментарий