Как найти точку касания графиков. Уравнение касательной

Уравнение касательной к графику функции. урок. Алгебра 10 Класс

Как найти точку касания графиков. Уравнение касательной

На уроке рассматривается тема «Уравнение касательной к графику функции». Выводится  уравнение касательной к графику функции. Затем, чтобы успешно решать задачи на касательную, будет рассмотрен смысл каждого его элемента.

Тема: Производная

Урок: Уравнение касательной к графику функции

На предыдущих занятиях были рассмотрены задачи на технику дифференцирования. Это очень важные задачи, и нахождение производных необходимо в разных задачах, в том числе и в составлении уравнения касательной.

 Построим кривую  (см. рис.1).

Рис. 1. График функции .

Зафиксируем точку . Если , то значение функции равно . Значит, имеем точку с координатами (.

Задача: составить уравнение касательной. Более строгая формулировка – написать уравнение касательной к функции  в точке с абсциссой , в которой  – существует.

Уравнение касательной – это прямая,  которая задается формулой  

Любая прямая, в том числе и касательная, определяется двумя числами: и . Исходя из геометрического смысла производной  (тангенс угла наклона касательной) – это есть угловой коэффициент .

Параметр  найдем из условия, что касательная проходит через точку (, то есть  . 

 .

Стало быть  .

Запишем уравнение касательной

.

Или, .

Получили уравнение касательной к кривой  в точке с абсциссой .

Смысл каждого элемента, который входит в уравнение касательной.

1) ( – точка касания касательной и графика функции.

2)  – угловой коэффициент касательной к графику функции.

3)  – произвольная точка на касательной.

Очень много задач, когда задана точка, которая не лежит на графике функции, и через нее надо провести касательную к данной функции. Надо четко понимать, что   – это произвольная точка на касательной.

Итак, получили уравнение касательной, проанализировали смысл каждого элемента этой касательной, и теперь приведем пример, и на нем изложим методику построения касательной.

Задача.

К кривой  в точке с абсциссой  провести касательную. Проиллюстрируем поиск касательной на рисунке (см. рис.2).

Рис. 2. Касательная к графику функции .

Зафиксируем точку . Значение функции в этой точке  равно 1.

Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции:

1)  Найти  и точку касания. 

 – дано.Точка касания: (;.

2) Найти производную в любой точке .

.

3) Найти значение производной в точке с абсциссой .

 .

4) Выписать и проанализировать уравнение касательной.

.

Упрощаем и получаем:  .

Ответ: .

Задача 1.

Пусть дано уравнение касательной .

Найдите точки пересечения касательной с осями координат.

Если , то .  – это первая точка.

Если , то  .  – вторая точка.

Итак, первая точка – это точка  с координатами . Вторая точка – точка пересечения с осью  , точка  с координатами  (см. рис.3).

Рис.3. Точки пересечения касательной к графику функции  с осями координат. Задача 2.

Найти длину отрезка касательной, которая отсекается осями координат, то есть надо найти длину отрезка .

Рассмотрим прямоугольный треугольник (Рис. 3). Длина катета  равна 1. Длина катета   . Длину отрезка  из прямоугольного треугольника найдем по теореме Пифагора:

Задача 3.

Найти площадь треугольника, образованного касательной и осями координат. Ясно, что это площадь треугольника (Рис. 3) – площадь треугольника, образованного касательной и осями координат.

Следующая задача для самостоятельного решения.

Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник . Радиус окружности, описанной около треугольника .

Рассмотрим пример.

Дана функция . Написать уравнение касательной к данной кривой в точке с данной абсциссой.

Рассмотрим графическую иллюстрацию (см. рис.4).

Рис. 4. Касательная к  графику функции .

Нахождение точки касания.

1.   Точка касания имеет координаты .

2. Найти .

3. Найти

И, последнее действие, – написать уравнение касательной.

4. .

 Упростим и получим  .

Заметим в точке  синусоида и касательная соприкасаются. В районе точки  синусоида и прямая почти не различаются.

Итак, мы вывели уравнение касательной. Рассмотрели все элементы этой касательной. Выяснили их смысл. Сформулировали одну из методик нахождения касательных в конкретных функциях, в конкретных точках и решили некоторые сопутствующие задачи.

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник). 

2. Портал Естественных Наук (Источник). 

3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).

Сделай дома

№ 43.22, 43.25 (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)

Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/10-klass/proizvodnaya/uravnenie-kasatelnoy-k-grafiku-funktsii

Конспект урока

Как найти точку касания графиков. Уравнение касательной

Уравнение касательной к графику функции

Тип урока: изучение нового материала.

Методы обучения: наглядный, частично поисковый, групповой.

Цель урока.

  1. Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его для конкретных функций.

  2. Развивать логическое мышление, математическую речь.

План урока

I. Организационный момент

Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы урока и целей.

II. Актуализация знаний.

(Вспомнить с учащимися геометрическое определение касательной к графику функции. Привести примеры, показывающие, что данное утверждение не полно.)

Вспомним, что же такое касательная?

“Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку”.

Обсуждение правильности данного определения. (После обсуждения, учащиеся приходят к выводу, что данное определение неверно.) Для наглядного доказательства их умозаключения приводим следующий пример.

Рассмотрим пример.

Пусть дана парабола y = x2 и две прямые x = 2,y = 4x – 4, имеющая с данной параболой одну общую точку A (2;4). Проводится обсуждение, почему первая прямая не является к данной параболе касательной (Рис. 1), а вторая является (Рис.2).

рис.1 рис.2

На данном уроке, мы с вами должны выяснить, что же такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной?

Рассмотреть основные задачи на составление уравнения касательной.

III. Определение

Пусть дана функция f, которая в некоторой точке x0 имеет конечную производную f(x0). Тогда прямая, проходящая через точку (x0; f (x0)), имеющая угловой коэффициент f’(x0), называется касательной.

А что будет, если производная в точке x0 не существует? Возможны два варианта:

  1. Касательная к графику тоже не существует. Классический пример — функция

y = =|x| в точке (0; 0).

  1. Касательная становится вертикальной. Это верно, к примеру, для функции

y = arcsin x в точке (1;).

IV. Уравнение касательной

Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b, где k — угловой коэффициент. Касательная — не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x0, достаточно знать значение функции и производной в этой точке.

V. Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f(x)

1. Обозначить буквой a абсциссу точки касания.
2. Найти f(x
0).
3. Найти f '(x) и f '(x
0).
4. Подставить найденные числа x
0, f(x0), f '(x0) в общее уравнение касательной

y = f(x0) + f '(x0)(x – x0).

В первом типе задач были выделены две ключевые задачи:

  • касательная проходит через точку, лежащую на кривой (задача 1);
  • касательная проходит через точку, не лежащую на кривой (задача 2).

Задача 1. Составьте уравнение касательной к графику функции y = x3 – 4x + 1в точке M(3; – 2).

Решение. Точка M(3; – 2) является точкой касания, так как

f(3) =

1. x0 = 3 – абсцисса точки касания.
2. f(3) = – 2.
3. f '(x) = x2 – 4, f '(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – уравнение касательной.

Задача 2. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x2 – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 6).

Решение. Точка M(– 3; 6) не является точкой касания, так как f(– 3) ≠ 6 (рис. 2).

1. x0 – абсцисса точки касания.
2. f(x0) = – a2 – 4a + 2.
3. f '(x) = – 2x – 4, f '(a) = – 2a – 4.
4. y = – a2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – уравнение касательной.

Касательная проходит через точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной.

6 = – x02 – 4x0 + 2 – 2(x0 + 2)(– 3 – x0),
x
02 + 6x0 + 8 = 0 .

x0= – 4, x0 = – 2.

Если x0 = – 4, то уравнение касательной имеет вид y = 4x + 18.

Если x0 = – 2, то уравнение касательной имеет вид y = 6.

Во втором типе ключевыми задачами будут следующие:

  • касательная параллельна некоторой прямой (задача 3);
  • касательная проходит под некоторым углом к данной прямой (задача 4).

Задача 3. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = x3 – 3×2 + 3, параллельных прямой y = 9x + 1.

Решение.

  1. x0 – абсциссаточкикасания.

  2.  f(x0) = x03 – 3x02 + 3.

  3. f '(x) = 3x2 – 6x, f '(x0) = 3x02 – 6x0.

Но, с другой стороны, f '(x0) = 9 (условие параллельности). Значит, надо решить уравнение 3x02 – 6x0 = 9. Его корни

x0 = – 1, x0 = 3 (рис. 3).

4. 1) x0 = – 1;2) f(– 1) = – 1;3) f '(– 1) = 9;

4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – уравнение касательной;

1) x0 = 3;2) f(3) = 3;3) f '(3) = 9;

4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – уравнение касательной.

Задача 4. Напишите уравнение касательной к графику функции y = 0,5×2 – 3x + 1, проходящей под углом 45° к прямой y = 0 (рис. 4).

Решение. Из условия f '(a) = tg 45° найдем a:  a – 3 = 1 a = 4.

1. x0= 4 – абсцисса точки касания.2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.3. f '(4) = 4 – 3 = 1.

4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – уравнение касательной.

Несложно показать, что решение любой другой задачи сводится к решению одной или нескольких ключевых задач.

Рассмотрим в качестве примера следующую задачу.

Напишите уравнения касательных к параболе

y = 2x2 – 5x – 2, если касательные пересекаются под прямым углом и одна из них касается параболы в точке с абсциссой 3 (рис. 5).

Решение. Поскольку дана абсцисса точки касания, то первая часть решения сводится к ключевой задаче 1.

1. x0= 3 – абсцисса точки касания одной из сторон прямого угла.2. f(3) = 1.3. f '(x) = 4x – 5, f '(3) = 7.

4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20

– уравнение первой касательной.

2.Пусть a – угол наклона первой касательной. Так как касательные перпендикулярны, то – угол наклона второй касательной. Из уравнения y = 7x – 20 первой касательной имеем tg a = 7.

Найдем tg() = – ctg = –

Это значит, что угловой коэффициент второй касательной равен – .

Дальнейшее решение сводится к ключевой задаче 3.

Пусть B(c; f(c)) есть точка касания второй прямой, тогда

f´(c) = 4c – 5c = – => c =

  1. c = – абсцисса второй точки касания.
    2. f(  = –
    3.  f ´ (  = –
    4. y=  –

y =  уравнение второй касательной.

Примечание. Угловой коэффициент касательной может быть найден проще, если учащимся известно соотношение коэффициентов перпендикулярных прямых k1•k2 = – 1.

VI. Решение заданий в группах. (Приложение)

VII.Подведение итогов.

1. Ответьте на вопросы:

  • Что называется касательной к графику функции в точке?
  • В чем заключается геометрический смысл производной?
  • Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной?

2. В чем были трудности на уроке, какие моменты урока наиболее понравились?

3. Выставление отметок.

 Задачи для самостоятельного решения в группах (часть задач можно использовать для домашнего задания).

1. Напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции y = 2×2 – 4x + 3 в точках пересечения графика с прямой y = x + 3.

Ответ: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.

2. При каких значениях a касательная, проведенная к графику функции y = x2 – ax в точке графика с абсциссой x0 = 1, проходит через точку M(2; 3)?

Ответ: a = 0,5.

3. При каких значениях p прямая y = px – 5 касается кривой y = 3×2 – 4x – 2?

Ответ: p1 = – 10, p2 = 2.

4. Найдите все общие точки графика функции y = 3x – x3 и касательной, проведенной к этому графику через точку P(0; 16).

Ответ: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. Найдите кратчайшее расстояние между параболой y = x2 + 6x + 10 и прямой

Ответ:

6. На кривой y = x2 – x + 1 найдите точку, в которой касательная к графику параллельна прямой y – 3x + 1 = 0.

Ответ: M(2; 3).

7. Напишите уравнение касательной к графику функции y = x2 + 2x – | 4x |, которая касается его в двух точках. Сделайте чертеж.

Ответ: y = 2x – 4.

8. Докажите, что прямая y = 2x – 1 не пересекает кривую y = x4 + 3×2 + 2x. Найдите расстояние между их ближайшими точками.

Ответ:

9. На параболе y = x2 взяты две точки с абсциссами x1 = 1, x2 = 3. Через эти точки проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней будет параллельна проведенной секущей? Напишите уравнения секущей и касательной.

Ответ: y = 4x – 3 – уравнение секущей; y = 4x – 4 – уравнение касательной.

10. Найдите угол q между касательными к графику функции y = x3 – 4×2 + 3x + 1, проведенными в точках с абсциссами 0 и 1.

Ответ: q = 45°.

11. В каких точках касательная к графику функции образует с осью Ox угол в 135°?

Ответ: A(0; – 1), B(4; 3).

12. В точке A(1; 8) к кривой проведена касательная. Найдите длину отрезка касательной, заключенного между осями координат.

Ответ:

13. Напишите уравнение всех общих касательных к графикам функций y = x2 – x + 1 и y = 2×2 – x + 0,5.

Ответ: y = – 3x и y = x.

14. Найдите расстояние между касательными к графику функции параллельными оси абсцисс.

Ответ:

15. Определите, под какими углами парабола y = x2 + 2x – 8 пересекает ось абсцисс.

Ответ: q1 = arctg 6, q2 = arctg (– 6).

16. На графике функции найдите все точки, касательная в каждой из которых к этому графику пересекает положительные полуоси координат, отсекая от них равные отрезки.

Ответ: A(– 3; 11).

17. Прямая y = 2x + 7 и парабола y = x2 – 1 пересекаются в точках M и N. Найдите точку K пересечения прямых, касающихся параболы в точках M и N.

Ответ: K(1; – 9).

18. При каких значениях b прямая y = 9x + b является касательной к графику функции y = x3 – 3x + 15?

Ответ: – 1; 31.

19. При каких значениях k прямая y = kx – 10 имеет только одну общую точку с графиком функции y = 2×2 + 3x – 2? Для найденных значений k определите координаты точки.

Ответ: k1 = – 5, A(– 2; 0); k2 = 11, B(2; 12).

20. При каких значениях b касательная, проведенная к графику функции y = bx3 – 2×2 – 4 в точке с абсциссой x0 = 2, проходит через точку M(1; 8)?

Ответ: b = – 3.

21. Парабола с вершиной на оси Ox касается прямой, проходящей через точки A(1; 2) и B(2; 4), в точке B. Найдите уравнение параболы.

Ответ:

22. При каком значении коэффициента k парабола y = x2 + kx + 1 касается оси Ox?

Ответ: k = д 2.

23. Найдите углы между прямой y = x + 2 и кривой y = 2×2 + 4x – 3.

Ответ:

24. Определите, под какими углами пересекаются графики функций y = 2×2 + 3x – 3 и y = x2 + 2x + 3.

Ответ:

25. При каком значении k угол между кривыми y = x2 + 2x + k и y = x2 + 4x + 4 будет равен 45°?

Ответ: k = – 3.

26. Найдите все значения x0, при каждом из которых касательные к графикам функции y = 5cos 3x + 2 и y = 3cos 5x в точках в абсциссой x0 параллельны.

Ответ:

27. Под каким углом видна окружность x2 + y2 = 16 из точки (8; 0)?

Ответ:

28. Найдите геометрическое место точек, из которых парабола y = x2 видна под прямым углом?

Ответ: прямая

29. Найдите расстояние между касательными к графику функции образующими с положительным направлением оси Ox угол 45°.

Ответ:

30. Найдите геометрическое место вершин всех парабол вида y = x2 + ax + b, касающихся прямой y = 4x – 1.

Ответ: прямая y = 4x + 3.

Источник: https://infourok.ru/konspekt-uroka-uravnenie-kasatelnoy-k-grafiku-funkcii-3101018.html

Уравнение касательной к графику функции

Как найти точку касания графиков. Уравнение касательной

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

 

Геометрический смысл производной

Ты уже знаешь что такое производная? Если нет, сперва прочти тему «Производная». Итак, ты говоришь, что знаешь производную. Сейчас проверим. Найди приращение функции   при приращении аргумента, равном  . Справился? Должно получиться  .

А теперь найди производную функции   в точке  . Ответ:  . Получилось? Если в каком-нибудь из этих примеров возникли сложности, настоятельно рекомендую вернуться к теме «Производная» и проштудировать ее еще раз. Знаю, тема очень большая, но иначе нет смысла идти дальше.

Рассмотрим график какой-то функции  :

Выберем на линии графика некую точку  . Пусть ее абсцисса  , тогда ордината равна  . Затем выберем близкую к точке   точку   с абсциссой  ; ее ордината – это  :

Проведем прямую через эти точки. Она называется секущей (прямо как в геометрии). Обозначим угол наклона прямой к оси   как  . Как и в тригонометрии, этот угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки.

Какие значения может принимать угол  ? Как ни наклоняй эту прямую, все равно одна половина будет торчать вверх. Поэтому максимально возможный угол –  , а минимально возможный –  . Значит,  . Угол   не включается, поскольку положение прямой в этом случае в точности совпадает с  , а логичнее выбирать меньший угол.

Возьмем на рисунке такую точку  , чтобы прямая   была параллельна оси абсцисс, а   – ординат:

По рисунку видно, что  , а  . Тогда отношение приращений:

(так как  , то   – прямоугольный).

Давай теперь уменьшать  . Тогда точка   будет приближаться к точке  . Когда   станет бесконечно малым  , отношение   станет равно производной функции в точке  . Что же при этом станет с секущей? Точка   будет бесконечно близка к точке  , так что их можно будет считать одной и той же точкой.

Но прямая, имеющая с кривой только одну общую точку – это ни что иное, как касательная (в данном случае это условие выполняется только на небольшом участке – вблизи точки  , но этого достаточно). Говорят, что при этом секущая занимает предельное положение.

Угол наклона секущей к оси   назовем  . Тогда получится, что производная

 ,

то есть производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке.

Поскольку касательная – это прямая, давай теперь вспомним уравнение прямой:

 .

За что отвечает коэффициент  ? За наклон прямой. Он так и называется: угловой коэффициент. Что это значит? А то, что равен он тангенсу угла между прямой и осью  ! То есть вот что получается:

 .

Но мы получили это правило, рассматривая возрастающую функцию. А что изменится, если функция будет убывающей? Посмотрим: Теперь углы   и   тупые. А приращение функции   – отрицательное. Снова рассмотрим  :  . С другой стороны,  . Получаем:  , то есть все, как и в прошлый раз.

Снова устремим точку   к точке  , и секущая   примет предельное положение, то есть превратится в касательную к графику функции в точке  .

Итак, сформулируем окончательно полученное правило:
Производная функции в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке, или (что то же самое) угловому коэффициенту этой касательной:

Это и есть геометрический смысл производной. Окей, все это интересно, но зачем оно нам? Вот пример:
На рисунке изображен график функции   и касательная к нему в точке с абсциссой  .

Найдите значение производной функции   в точке  .
Решение.


Как мы недавно выяснили, значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс:  .

Значит, для нахождения значения производной нам нужно найти тангенс угла наклона касательной. На рисунке у нас отмечено две точки, лежащие на касательной, координаты которых нам известны. Так давай достроим прямоугольный треугольник, проходящий через эти точки, и найдем тангенс угла наклона касательной!

Угол наклона касательной к оси   – это  . Найдем тангенс этого угла:  . Таким образом, производная функции   в точке   равна  .
Ответ:  . Теперь попробуй сам:

  1. На рисунке изображен график функции   и касательная к нему в точке с абсциссой  . Найдите значение производной функции   в точке  .
  2. На рисунке изображен график функции   и касательная к нему в точке с абсциссой  . Найдите значение производной функции   в точке  .

Ответы:

  1. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс:  . Достроим треугольник со стороной  , лежащей на касательной.

    Угол наклона касательной – это угол, отмеченный зеленым на графике.

    Он тупой  , поэтому его тангенс не получится вычислить так же, как в предыдущем примере (ведь в прямоугольном треугольнике не может быть тупого угла). Применим знания из тригонометрии.

    Интересующий нас угол   является смежным с  . А значит:   Найдем  :  . Значит тангенс угла наклона касательной (а вместе с ним и значение производной в точке касания) равен  .

    Ответ:  .

  2. Здесь ответ равен  . В ЕГЭ такой ответ написать не получится, но мы ведь должны понимать, что математика не ограничена рамками ЕГЭ.

Зная геометрический смысл производной, можно очень просто объяснить правило, что производная в точке локального максимума или минимума равна нулю. Действительно, касательная к графику в этих точках «горизонтальна», то есть параллельна оси абсцисс:
А чему равен угол между параллельными прямыми? Конечно, нулю! А тангенс нуля тоже равен нулю. Вот и производная равна нулю:

 .

Более подробно об этом читай в теме «Монотонность функций. Точки экстремума».

Уравнение касательной

А сейчас сосредоточимся на произвольных касательных. Предположим, у нас есть какая-то функция, например,  . Мы нарисовали ее график и хотим провести касательную к нему в какой-нибудь точке  . Например, в точке  . Берем линейку, пристраиваем ее к графику и чертим:

Что мы знаем об этой прямой? Что самое важное нужно знать о прямой на координатной плоскости? Поскольку прямая – это изображение линейной функции, очень удобно было бы знать ее уравнение. То есть коэффициенты   и   в уравнении

 .

Но ведь   мы уже знаем! Это угловой коэффициент касательной, который равен производной функции в этой точке:

 .

В нашем примере будет так:

Теперь остается найти   . Это проще простого: ведь   – значение   при  . Графически   – это координата пересечения прямой с осью ординат (ведь   во всех точках оси  ):

Проведём   (так, что   – прямоугольный). Тогда  (тому самому углу между касательной и осью абсцисс). Чему равны   и  ? По рисунку явно видно, что  , а  . Тогда получаем:

 .

Соединяем все полученные формулы в уравнение прямой:

Это и есть уравнение касательной к графику функции   в точке  .

Пример:
Найди уравнение касательной к графику функции   в точке  .
Решение:
На этом примере выработаем простой алгоритм действий в подобных задачах:

АлгоритмПример:  ,  
1. Вычислим  
2. Найдём формулу производной функции  
3. Вычислим  
4. Подставим   и   в формулу уравнения касательной  

Теперь реши сам:

  1. Найди уравнение касательной к функции   в точке  .
  2. Касательная к параболе   пересекает ось   под углом  . Найди уравнение этой касательной.
  3. Прямая   параллельна касательной к графику функции  . Найдите абсциссу точки касания.
  4. Прямая   параллельна касательной к графику функции  . Найдите абсциссу точки касания.
  5. Прямая   параллельна касательной к графику функции  . Найдите абсциссу точки касания.

Решения и ответы:

  1. Всё по плану:
    •  .
    •  .
    •  .
    • Поскольку функция на этот раз называется буквой y, то чтобы не запутаться, для касательной введем другую букву:  .
  2. То, что нам известен угол наклона касательной, очень хорошо: ведь его тангенс равен производной функции, а также угловому коэффициенту   касательной. Но тут есть подвох: дело в том, что под углом   ось   могут пересекать две разные касательные: с наклоном «вправо» и «влево»:

    Прямая 2 (та, которая «наклонена влево») с положительным направлением оси   составляет угол   – это и есть угол наклона прямой к оси  . Дальше всё просто:  ,  .
    Прямая 1.  ,  .
    Касательная:  .
    Прямая 2.  ,  .
    Касательная:  .
    Ответ:  ;  .

  3. Абсцисса – это ось  , а значит, нам нужно найти значение   в точке пересечения касательной и графика функции. Из уравнения   мы знаем, что угловой коэффициент наклона касательной равен значению производной в точке касания. Поскольку прямая   параллельна касательной, это значит, что их угловые коэффициенты наклона одинаковые  .

    Согласно правилам вычисления производных, находим производную функции  :
     .
    Теперь приравниваем производную к коэффициенту наклона касательной и находим абсциссу   точки касания:
     
     
     .

    Ответ: .

  4. Ответ:  .
  5. Ответ:  .

Уравнение касательной к графику функции. краткое описание и основные формулы

Геометрический смысл производной

Производная функции в конкретной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке, или угловому коэффициенту этой касательной:

Уравнение касательной

Уравнение касательной к графику функции   в точке  :

 .

Алгоритм действий для нахождения уравнения касательной:

АлгоритмПример:  ,  
1. Вычислим  
2. Найдем формулу производной функции  
3. Вычислим  
4. Подставим   и   в формулу уравнения касательной  

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике, 

А также получить доступ к учебнику YouClever без ограничений…

можно кликнув по этой ссылке.

Источник: https://youclever.org/book/uravnenie-kasatelnoj-k-grafiku-funktsii-1

Касательная. Задачи на касательную

Как найти точку касания графиков. Уравнение касательной

Чтобы правильно и рационально решать задачи, связанные с уравнением касательной, нужно четко понимать, что такое касательная, владеть техникой составления уравнения касательной к графику функции и представлять себе, для решения каких задач (в том числе и задач с параметрами) можно использовать метод касательной.

Опр. 1. Касательной к графику функции у = f(x) называется предельное положение секущей MN при (рис. 1).

Рис. 1

Касательная к кривой может иметь с ней несколько общих точек или пересекать ее. Можно дать и другое определение касательной к кривой.

Опр. 2. Касательной к графику функции у = f(x) в точке A0(x0; f(x0)) называется прямая, проходящая через точку A0, угловой коэффициент которой равен значению производной функции у =f(x) в точке с абсциссой x0.

Уравнение касательной к кривой у = f(x) в точке с абсциссой х0 имеет вид: .

Между понятием касательной и понятие производной имеется тесная связь.

Геометрический смысл производной можно выразить так: если функция у = f(x) в точке х0 имеет производную, то в точке с этой абсциссой определена касательная к графику функции , причем ее угловой коэффициент равен .

Вывод: если в точке х0есть производная функции , то в точке с этой абсциссой есть касательная к графику функции и наоборот; если в точке х0нет производной функции , то в точке с этой абсциссой нет касательной к графику функции и наоборот.

Укажем случаи, когда функция не имеет в точке касательной, и, следовательно, не имеет и производной. Таких случаев три: угловая точка, точка возврата, узловая точка
(рис. 2 а, б, в). Особо отметим случай, когда в точке функция имеет бесконечную производную (рис. 2 г).

угловая точка точка возврата узловая точка

а) б) в) г)

Рис. 2

Рассмотрим решение некоторых задач.

Задачи, связанные с определением того, является ли прямая у = kx+ bкасательной к графику функцииу = f(x). Можно указать два способа решения таких задач.

  1. Находим общие точки графиков, т. е.

    решаем уравнение f(x) = kx + b, а затем для каждого из его решений вычисляем . В тех случаях, когда = k, имеет место касание, в других — пересечение.

  2. Находим корни уравнения =k и для каждого из них проверяем, выполняется ли равенство f(x) =kx + b. При его выполнении получаем абсциссы точек касания.

Обобщая оба способа, заметим, что для того чтобы прямая у = kx + bбыла касательной к графику функции у = f(x), необходимо и достаточно существование хотя бы одного числа х0, для которого выполняется система

  1. При каких значениях bпрямая у = 3х +bявляется касательной к графику функции у =?

Решение.

Записав условие касания получим

Ответ:.

  1. При каких значениях а прямая у=ах+2 является касательной к графику функции

Указание.

Ответ: а = e-3

  1. При каких значениях а прямая является касательной к графику функции

Указание.

Ответ: а = 7 или а = -1.

  1. Является ли прямая касательной к графику функции ? Если является, то найти координаты точки касания.

Решение.

Пусть . Из условия следует, что должны выполняться равенство , где – возможная абсцисса точки касания. Имеем:

Если теперь составить уравнение касательной к графику заданной функции в каждой из двух найденных точек, то окажется, что в точке как раз и получится . Значит, точка касания имеет координаты (1;-1).

  1. К графику функции проведена касательная, параллельная прямой . Найти ординату точки касания.

Решение.

. Абсцисса интересующей нас точки касания удовлетворяет уравнению . Имеем:

Таким образом, . Значит, – абсцисса точки касания. Чтобы найти ординату точки касания преобразуем выражение, задающее функцию:

Ответ: 1.

  1. Написать уравнение всех касательных к графику функции , параллельных прямой .

Решение.

Так как касательная должна быть параллельна прямой , то ее угловой коэффициент, равный у'(х0), где х0— абсцисса точки касания, совпадает с угловым коэффициентом данной прямой, т. е. . Отсюда или . Далее составляем уравнение касательной для каждой точки.

Ответ:,.

  1. Найти все значения , при каждом из которых касательная к графикам функций и в точках с абсциссой параллельны.

Решение.

Известно, что тангенс угла наклона касательной к графику функций в точке с абсциссой равен . Следовательно, все искомые значения будут корнями уравнения , откуда . Используя формулу разности синусов углов, будем иметь . Решая полученное уравнение, получаем

  1. Найти расстояние между касательными к графику функции , расположенными параллельно оси .

Решение.

Найдем критические точки заданной функции:

Так как, производная в точках и равна нулю, то касательные, проведенные к кривой в точках с этими абсциссами, параллельны оси . Найдем значения функций в этих точках.

Итак, расстояние d между касательными, параллельными оси , равно

С составлением уравнения касательной, параллельной данной прямой, связана задача о нахождении кратчайшего расстояния между графиком некоторой функции f(x) и прямой .

Во многих случаях удается найти касательную к графику , параллельную данной прямой и делящую плоскость на две части, в одной из которых расположен график функции, а в другой — заданная прямая.

Тогда кратчайшим расстоянием между графиком функции и прямой является расстояние от точки М(х0; у0), в которой проведена параллельная касательная, до заданной прямой у = kx + b; это расстояние можно вычислить по формуле

  1. Найти кратчайшее расстояние между параболой и прямой

Решение.

Убедившись, что графики не имеют общих точек (уравнение не имеет решений), запишем уравнение такой касательной к графику функции ,которая параллельна прямой Уравнение касательной имеет вид касание происходит в точке Прямая у = х – 2 и парабола у = х2расположены по разные стороны от касательной. Таким образом, кратчайшее расстояние между параболой и прямой равно расстоянию от точки М до прямой .

Ответ:

Довольно сложной является задача составления уравнения всех касательных к графику функции у = f(x), проходящих через заданную точку М(х0; у0), вообще говоря, не лежащую на графике. Приведем алгоритм решения этой задачи.

1. Составляем уравнение касательной к графику функции у = f(x) в произвольной точке графика с абсциссой t:

2. Решаем относительно tуравнение и для каждого его решения tзаписываем соответствующую касательную в виде .

  1. Написать уравнение всех касательных к графику функции , проходящих через точку М(2; -2).

Указание. Уравнение касательной в точке с абсциссой tимеет вид . Так как эта касательная проходит через точку (2; -2), то
, откуда .

Ответ:.

  1. Найти площадь треугольника, образованного касательными, проведенными к графику функции через точку и секущей, проходящей через точки касания.

Указание. Уравнение дает два решения: t1 = 1, t2 = 4. Таким образом, точки K1 (1;1) и K2(4;2) являются точками касания.

Ответ:0,25.

Говорят, что прямая является общей касательной графиков функции
и , если она касается как одного, так и другого графиков (но совершенно не обязательно в одной и той же точке).

Например, прямая является общей касательной графиков функций (в точке М(2; 5) и (в точке K(0,5; -1)).

Заметим, что графики функций и имеют в точке их пересечения М(х0; у0) общую невертикальную касательную тогда и только тогда, когда .

  1. Доказать, что параболы и имеют в их общей точке общую касательную.

    Найти уравнение этой общей касательной. Решение. Уравнение имеет единственный корень х=2, т. е. параболы имеют единственную общую точку М(2;0). Убедимся, что значения производных для обеих функций в точке х = 2 равны; действительно, и . Далее составляем уравнение касательной.

Ответ:.

В завершении рассмотрим решение еще нескольких задач на касательную с параметром.

  1. При каких значениях параметра касательная к графику функции в точке проходит через точку (2;3)?

Решение.

Составим уравнение касательной к графику заданной функции в точке : Так как эта прямая проходит через точку (2;3), то имеет место равенство , откуда находим: .

  1. Может ли касательная к кривой в какой-либо ее точке составлять острый угол с положительным направлением оси ?

Решение.

Найдем производную функции . В любой точке, в которой функция определена, производная отрицательна. Но производная есть тангенс угла наклона касательной, а так как он отрицателен, то угол тупой.

Ответ: Не может.

  1. Найти значение параметра , при котором касательная к графику функции в точке проходит через точку М(1;7).

Решение.

Пусть тогда . Составим уравнение касательной:

По условию эта касательная проходит через точку М(1;7), значит, , откуда получаем:

  1. При каких значениях параметра прямая является касательной к графику функции ?

Решение.

Из условия следует, что должно выполнятся равенство где абсцисса точки касания. Значит, и связаны между собой равенством (1). Составим уравнение касательной к графику заданной функции в точке

Из условия следует, что должно выполняться равенство . Решив это уравнение, получим . Тогда из (1) получаем, что .

  1. При каком значении прямая является касательной у графику ?

Решение.

Так как прямая является касательной к графику функции , то в точке касания угловой коэффициент касательной равен 3. Но угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в этой точке, то есть , откуда , следовательно, – абсцисса точки касания. Найдем теперь из условия равенства значений функций и при . Имеем , откуда .

  1. При каких значениях параметра а касательные к графику функции , проведенные в точках его пересечения с осью оx, образуют между собой угол 60о?

Решение.

В этой задаче, как и в предыдущих, речь идет о касательных к графику функции. Составлять уравнение касательной не надо, достаточно использовать геометрический смысл производной, то есть угловые коэффициенты касательных.

Графиком данной функции является парабола с ветвями, направленными вверх, пересекающая ось оx в двух точках (случай а=0 нас не устраивает): и учитываем, что х2>0 (рис. 3)

Рис. 3

Касательные АМ и ВМ пересекаются под углом 60о в точке М, лежащей на оси параболы, причем возможны два случая: либо , либо смежный угол равен 60о.

в первом случае угол между касательной АО и осью х равен 120о, следовательно, угол коэффициента касательной равен tg120o, то есть равен Далее имеем: . Таким образом, получаем, что , то .

Во втором случае , поэтому угол между касательной АО и остью ох равен 150о. Значит, угловой коэффициент касательной равен tg150o , то есть он равен . Таким образом, получаем, что , то есть

Ответ: .

Литература:

  1. Далингер, В.А. Начала математического анализа в задачах [Текст]: учебное пособие / В.А. Далингер. – Омск: Изд-во ГОУ ОМГПУ, 2009. – 312 с.

  2. Звавич, Л.И. Алгебра и начала анализа. 8-11 кл. [Текст]: пособие для школ и классов с углубл. изучением математики / Л. И. Звавич, Л.Я. Шляпочник, М.В. Чинкина.– М.: Дрофа, 1999. – 352 с.

Источник: https://moluch.ru/archive/40/4868/

Уравнение касательной

Как найти точку касания графиков. Уравнение касательной

Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим. 2014-02-16

» СТАТЬИ » ПРОИЗВОДНАЯ » Уравнение касательной

В этой статье мы разберем все типы задач на нахождение уравнения касательной.

Вспомним геометрический смысл производной: если к графику функции в точке проведена касательная, то коэффициент наклона касательной (равный тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси ) равен производной функции в точке .

Возьмем на касательной произвольную точку  с координатами :

И рассмотрим прямоугольный треугольник :

В этом треугольнике

Отсюда

Или

Это и есть уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке .

Чтобы написать уравнение касательной, нам достаточно знать уравнение функции и точку, в которой проведена касательная. Тогда мы сможем найти и .

Есть три основных типа задач на составление уравнения касательной.

1. Дана точка касания 

2. Дан коэффициент наклона касательной, то есть значение производной функции в точке .

3. Даны координаты точки, через которую проведена касательная, но которая не является точкой касания.

Рассмотрим каждый тип задач.

1. Написать уравнение касательной к графику функции   в точке .

а) Найдем значение функции в точке .

.

б) Найдем значение производной в точке . Сначала найдем производную функции

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

Раскроем скобки в правой части уравнения. Получим:

Ответ: .

2. Найти абсциссы точек, в которых касательные к графику функциипараллельны оси абсцисс.

Если касательная параллельна оси абсцисс, следовательно угол между касательной и положительным направлением оси равен нулю, следовательно тангенс угла наклона касательной равен нулю. Значит, значение производной функции в точках касания равно нулю.

а) Найдем производную функции .

б) Приравняем производную к нулю и найдем значения , в которых касательная параллельна оси :

Приравняем каждый множитель к нулю, получим:

Ответ: 0;3;5

3. Написать уравнения касательных к графику функции , параллельных  прямой .

Касательная параллельна прямой . Коэффициент наклона этой прямой равен -1. Так как касательная параллельна этой прямой, следовательно, коэффициент наклона касательной тоже равен -1. То есть мы знаем коэффициент наклона касательной, а, тем самым, значение производной в точке касания.

Это второй тип задач на нахождение уравнения касательной.

Итак, у нас дана функция и значение производной в точке касания.

а) Найдем точки, в которых производная функции равна -1.

Сначала найдем уравнение производной.

Нам нужно найти производную дроби.

Приравняем производную к числу -1.

или

или

б) Найдем уравнение касательной к графику функции в точке .

Найдем значение функции в точке .

(по условию)

Подставим эти значения в уравнение касательной:

.

б) Найдем уравнение касательной к графику функции в точке .

Найдем значение функции в точке .

(по условию).

Подставим эти значения в уравнение касательной:

.

Ответ:

4. Написать уравнение касательной к кривой , проходящей через точку

Сначала проверим, не является ли точка точкой касания. Если точка является точкой касания, то она принадлежит графику функции, и её координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим координаты  точки   в уравнение функции.

. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и не является точкой касания.

Это последний тип задач на нахождение уравнения касательной. Первым делом нам нужно найти абсциссу точки касания.

Найдем значение .

Пусть – точка касания. Точка  принадлежит касательной к графику функции . Если мы подставим координаты этой точки в уравнение касательной, то получим верное равенство:

.

Значение функции в точке равно .

Найдем значение производной функции в точке .

Сначала найдем производную функции . Это сложная функция.

Производная в точке равна .

Подставим выражения для и в уравнение касательной. Получим уравнение относительно :

Решим это уравнение.

Сократим числитель и знаменатель дроби на 2:

Приведем правую часть уравнения к общему знаменателю. Получим:

Упростим числитель дроби и умножим обе части на – это выражение строго больше нуля.

Получим уравнение

Это иррациональное уравнение.

Решим его. Для этого возведем обе части в квадрат и перейдем к системе.

Решим первое уравнение.

Решим квадратное уравнение, получим

или

Второй корень не удовлетворяет условию , следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .

Напишем уравнение касательной к кривой в точке . Для этого подставим значение в уравнение   – мы его уже записывали.

Получим:

Ответ:
И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Источник: https://ege-ok.ru/2014/02/16/uravnenie-kasatelnoy

Мед-Центр Здоровье
Добавить комментарий