Как доказать совместимость системы линейных уравнений примеры. Примеры систем линейных уравнений: метод решения

Примеры систем линейных уравнений: метод решения

Как доказать совместимость системы линейных уравнений примеры. Примеры систем линейных уравнений: метод решения

Системы уравнений получили широкое применение в экономической отрасли при математическом моделировании различных процессов. Например, при решении задач управления и планирования производства, логистических маршрутов (транспортная задача) или размещения оборудования.

Системы уравнения используются не только в области математики, но и физики, химии и биологии, при решении задач по нахождению численности популяции.

Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными, для которых необходимо найти общее решение. Такую последовательность чисел, при которых все уравнения станут верными равенствами или доказать, что последовательности не существует.

Линейное уравнение

Уравнения вида ax+by=c называют линейными. Обозначения x, y – это неизвестные, значение которых надо найти, b, a – коэффициенты при переменных, c – свободный член уравнения.
Решение уравнение путем построение его графика будет иметь вид прямой, все точки которой являются решением многочлена.

Виды систем линейных уравнений

Наиболее простыми считаются примеры систем линейных уравнений с двумя переменными X и Y.

F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, где F1,2 – функции, а (x, y) – переменные функций.

Решить систему уравненийэто значит найти такие значения (x, y), при которых система превращается в верное равенство или установить, что подходящих значений x и y не существует.

Пара значений (x, y), записанная в виде координат точки, называется решением системы линейных уравнений.

Если системы имеют одно общее решение или решения не существует их называют равносильными.

Однородными системами линейных уравнений являются системы правая часть которых равна нулю. Если правая после знака “равенство” часть имеет значение или выражена функцией, такая система неоднородна.

Количество переменных может быть гораздо больше двух, тогда следует говорить о примере системы линейных уравнений с тремя переменными или более.

Сталкиваясь с системами школьники предполагают, что количество уравнений обязательно должно совпадать с количеством неизвестных, но это не так. Количество уравнений в системе не зависит от переменных, их может быть сколь угодно много.

Простые и сложные методы решения систем уравнений

Не существует общего аналитического способа решения подобных систем, все методы основаны на численных решениях. В школьном курсе математики подробно описаны такие методы как перестановка, алгебраическое сложение, подстановка, а так же графический и матричный способ, решение методом Гаусса.

Основная задача при обучении способам решения – это научить правильно анализировать систему и находить оптимальный алгоритм решения для каждого примера. Главное не вызубрить систему правил и действий для каждого способа, а понять принципы применения того или иного метода

Решение примеров систем линейных уравнений 7 класса программы общеобразовательной школы довольно простое и объяснено очень подробно. В любом учебнике математике этому разделу отводится достаточно внимания. Решение примеров систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера более подробно изучают на первых курсах высших учебных заведений.

Решение систем методом подстановки

Действия метода подстановки направлены на выражение значения одной переменной через вторую. Выражение подставляется в оставшееся уравнение, затем его приводят к виду с одной переменной. Действие повторяется в зависимости от количества неизвестных в системе

Приведем решение примера системы линейных уравнений 7 класса методом подстановки:

Как видно из примера, переменная x была выражена через F(X) = 7 + Y. Полученное выражение, подставленное во 2-е уравнение системы на место X, помогло получить одну переменную Y во 2-е уравнении. Решение данного примера не вызывает трудностей и позволяет получить значение Y. Последний шаг это проверка полученных значений.

Решить пример системы линейных уравнений подстановкой не всегда возможно. Уравнения могут быть сложными и выражение переменной через вторую неизвестную окажется слишком громоздким для дальнейших вычислений. Когда неизвестных в системе больше 3-х решение подстановкой также нецелесообразно.

Решение примера системы линейных неоднородных уравнений:

Решение с помощью алгебраического сложения

При поиске решении систем методом сложения производят почленное сложение и умножение уравнений на различные числа. Конечной целью математических действий является уравнение с одной переменной.

Для применений данного метода необходима практика и наблюдательность. Решить систему линейных уравнений методом сложения при количестве переменных 3 и более непросто. Алгебраическое сложение удобно применять когда в уравнениях присутствуют дроби и десятичные числа.

Алгоритм действий решения:

  1. Умножить обе части уравнения на некое число. В результате арифметического действия один из коэффициентов при переменной должен стать равным 1.
  2. Почленно сложить полученное выражение и найти одно из неизвестных.
  3. Подставить полученное значение во 2-е уравнение системы для поиска оставшейся переменной.

Способ решения введением новой переменной

Новую переменную можно вводить, если в системе требуется найти решение не более чем для двух уравнений, количество неизвестных тоже должно быть не больше двух.

Способ используется, чтобы упростить одно из уравнений, вводом новой переменной. Новое уравнение решается относительно введенной неизвестной, а полученное значение используется для определения первоначальной переменной.

Из примера видно, что введя новую переменную t удалось свести 1-е уравнение системы к стандартному квадратному трехчлену. Решить многочлен можно отыскав дискриминант.

Необходимо найти значение дискриминанта по известной формуле: D = b2 – 4*a*c, где D – искомый дискриминант, b, a, c – множители многочлена. В заданном примере a=1, b=16, c=39, следовательно, D=100. Если дискриминант больше нуля, то решений два: t = -b±√D / 2*a, если дискриминант меньше нуля, то решение одно: x= -b / 2*a.

Решение для полученных в итоге системы находят методом сложения.

Наглядный метод решения систем

Подходит для систем с 3-мя уравнениями. Метод заключается в построении на координатной оси графиков каждого уравнения, входящего в систему. Координаты точек пересечения кривых и будут общим решением системы.

Графический способ имеет ряд нюансов. Рассмотрим несколько примеров решения систем линейных уравнений наглядным способом.

Как видно из примера, для каждой прямой было построено две точки, значения переменной x были выбраны произвольно: 0 и 3. Исходя из значений x, найдены значения для y: 3 и 0. Точки с координатами (0, 3) и (3, 0) были отмечены на графике и соединены линией.

Действия необходимо повторить для второго уравнения. Точка пересечения прямых является решением системы.

В следующем примере требуется найти графическое решение системы линейных уравнений: 0,5x-y+2=0 и 0,5x-y-1=0.

Как видно из примера, система не имеет решения, потому что графики параллельны и не пересекаются на всем своем протяжении.

Системы из примеров 2 и 3 похожи, но при построении становится очевидно, что их решения разные. Следует помнить, что не всегда можно сказать имеет ли система решение или нет, всегда необходимо построить график.

Матрица и ее разновидности

Матрицы используются для краткой записи системы линейных уравнений. Матрицей называют таблицу специального вида, заполненную числами. Матрица вида n*m имеет n – строк и m – столбцов.

Матрица является квадратной, когда количество столбцов и строк равно между собой. Матрицей – вектором называется матрица из одного столбца с бесконечно возможным количеством строк. Матрица с единицами по одной из диагоналей и прочими нулевыми элементами называется единичной.

Обратная матрица – это такая матрица при умножении на которую исходная превращается в единичную, такая матрица существует только для исходной квадратной.

Правила преобразования системы уравнений в матрицу

Применительно к системам уравнений в качестве чисел матрицы записывают коэффициенты и свободные члены уравнений, одно уравнение – одна строка матрицы.

Строка матрицы называется ненулевой, если хотя бы один элемент строки не равен нулю. Поэтому если в каком-либо из уравнений количество переменных разнится, то необходимо на месте отсутствующей неизвестной вписать нуль.

Столбцы матрицы должны строго соответствовать переменным. Это означает что коэффициенты переменной x могут быть записаны только в один столбец, например первый, коэффициент неизвестной y – только во второй.

При умножении матрицы все элементы матрицы последовательно умножаются на число.

Варианты нахождения обратной матрицы

Формула нахождения обратной матрицы довольно проста: K-1= 1 / |K|, где K-1 – обратная матрица, а |K| – определитель матрицы. |K| не должен быть равен нулю, тогда система имеет решение.

Определитель легко вычисляется для матрицы “два на два”, необходимо лишь помножить друг на друга элементы по диагонали.

Для варианта “три на три” существует формула |K|=a1b2c3 + a1b3c2 + a3b1c2 + a2b3c1 + a2b1c3 + a3b2c1.

Можно воспользоваться формулой, а можно запомнить что необходимо взять по одному элементу из каждой строки и каждого столбца так, чтобы в произведении не повторялись номера столбцов и строк элементов.

Решение примеров систем линейных уравнений матричным методом

Матричный способ поиска решения позволяет сократить громоздкие записи при решении систем с большим количеством переменных и уравнений.

В примере anm – коэффициенты уравнений, матрица – вектор xn – переменные, а bn – свободные члены.

Далее необходимо найти обратную матрицу и умножить на нее исходную. Найти значения переменных в полученной единичной матрицы легко выполнимая задача.

Решение систем методом Гаусса

В высшей математике способ Гаусса изучают совместно с методом Крамера, а процесс поиска решения систем так и называется метод решения Гаусса – Крамера. Данные способы используют при нахождении переменных систем с большим количеством линейных уравнений.

Метод Гаусса очень похож на решения с помощью подстановок и алгебраического сложения, но более систематичен. В школьном курсе решение способом Гаусса применяется для систем из 3 и 4 уравнений.

Цель метода состоит в приведении системы к виду перевернутой трапеции. Путем алгебраических преобразований и подстановок находится значение одной переменной в одном из уравнении системы.

Второе уравнение представляет собой выражение с 2-мя неизвестными, ну а 3 и 4 – соответственно с 3-мя и 4-мя переменными.

После приведения системы к описанному виду, дальнейшее решение сводится к последовательной подстановке известных переменных в уравнения системы.

В школьных учебниках для 7 класса пример решения методом Гаусса описан следующим образом:

Как видно из примера, на шаге (3) было получено два уравнения 3×3-2×4=11 и 3×3+2×4=7. Решение любого из уравнений позволит узнать одну из переменных xn.

Теорема 5, о которой упоминается в тексте, гласит что если одно из уравнений системы заменить равносильным, то полученная система будет также равносильна исходной.

Метод Гаусса труден для восприятия учеников средней школы, но является одним из наиболее интересных способов для развития смекалки детей, обучающихся по программе углубленного изучения в математических и физических классах.

Для простоты записи вычислений принято делать следующим образом:

Коэффициенты уравнений и свободные члены записываются в виде матрицы, где каждая строка матрицы соотносится с одним из уравнений системы. Вертикальная черта отделяет левую часть уравнения от правой. Римскими цифрами обозначаются номера уравнений в системе.

Сначала записывают матрицу, с которой предстоит работать, затем все действия проводимые с одной из строк. Полученную матрицу записывают после знака “стрелка” и продолжают выполнять необходимые алгебраические действия до достижения результата.

В итоге должна получиться матрица в которой по одной из диагоналей стоят 1, а все другие коэффициенты равны нулю, то есть матрицу приводят к единичному виду. Нельзя забывать производить вычисления с цифрами обеих частей уравнения.

https://www.youtube.com/watch?v=sKa5xt7Y_Wk

Данный способ записи менее громоздкий и позволяет не отвлекаться на перечисление многочисленных неизвестных.

Свободное применение любого способа решения потребует внимательности и определенного опыта. Не все методы имеют прикладной характер. Какие-то способы поиска решений более предпочтительны в той иной области деятельности людей, а другие существуют в целях обучения.

Источник: https://FB.ru/article/341146/primeryi-sistem-lineynyih-uravneniy-metod-resheniya

Пример 1. Исследовать совместность системы уравнений

Как доказать совместимость системы линейных уравнений примеры. Примеры систем линейных уравнений: метод решения

Решение. A = . Найдем r(А). Так как матрица А имеет порядок 3х4, то наивысший порядок миноров равен 3. При этом все миноры третьего порядка равны нулю (проверить самостоятельно). Значит, r(А) < 3. Возьмем главный базисный минор = -5-4 = -9 ≠ 0. Следовательно r(А) =2.

РассмотримматрицуС = .

Минор третьегопорядка ≠ 0. Значит, r(C) = 3.

Так как r(А) ≠ r(C) , то система несовместна.

Пример 2. Определить совместность системы уравнений

Решить эту систему, если она окажется совместной.

Решение.

A = , C = . Oчевидно, что r(А) ≤ 3, r(C) ≤ 4. Так как detC = 0, то r(C) < 4. Рассмотримминортретьегопорядка, расположенный в левом верхнем углу матрицы А и С: = -23 ≠ 0. Значит, r(А) = r(C) = 3.

Числонеизвестныхв системе n=3. Значит, система имеет единственное решение. При этом четвертое уравнение представляет сумму первых трех и его можно не принимать во внимание.

По формулам Крамера получаем x1 = -98/23, x2 = -47/23, x3 = -123/23.

2.4. Mатричный метод. Mетод Гаусса

Систему n линейных уравнений с n неизвестными можно решать матричным методом по формуле X = A-1B (при Δ ≠ 0 ), которая получается из (2) умножением обоих частей на А-1.

Пример 1. Решить систему уравнений

матричным методом ( в параграфе 2.2 эта система была решена по формулам Крамера)

Решение. Δ = 10 ≠ 0 А = – невырожденная матрица.

= (убедитесь в этом самостоятельно, произведя необходимые вычисления).

A-1 = (1/Δ)х= .

Х = A-1В = х= .

Ответ: .

С практической точки зрения матричный метод и формулы Крамера связаны с большим объемом вычислений, поэтому предпочтение отдается методу Гаусса, который заключается в последовательном исключении неизвестных.

Для этого систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе с треугольной расширенной матрицей (все элементы ниже главной диагонали равны нулю). Эти действия называют прямым ходом.

Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход).

Пример 2. Методом Гаусса решить систему

(Выше эта система была решена по формуле Крамера и матричным методом).

Решение.

Прямой ход. Запишем расширенную матрицу и с помощью элементарных преобразований приведем ее к треугольному виду:

~ ~ ~ ~ .

Получимсистему

Обратный ход. Из последнего уравнения находим х3 = -6 и подставим это значение во второе уравнение:

х2 = – 11/2 – 1/4 х3 = – 11/2 – 1/4(-6) = – 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

Подставляядалее х2 = -4, х3 = -6 в первое уравнение системы, получим:

х1 = 2 – х2 + х3 = 2+4-6 = 0.

Ответ: .

2.5. Общее решение системы линейных уравнений

Пусть дана система линейных уравнений = bi(i =). Пусть r(A) = r(C) = r, т.е. система совместна. Любой минор порядка r, отличный от нуля, является базисным минором. Не ограничивая общности, будем считать, что базисный минор располагается в первых r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) строках и столбцах матрицы А. Отбросив последние m-r уравнений системы, запишем укороченную систему:

которая эквивалентна исходной. Назовем неизвестные х1,….хr базисными, а хr+1,…, хr свободными и перенесем слагаемые, содержащие свободные неизвестные, в правую часть уравнений укороченной системы. Получаем систему относительно базисных неизвестных:

koтоторая для каждого набора значений свободных неизвестных хr+1 = С1,…, хn = Сn-r имеет единственное рeшение х1( С1,…, Сn-r),…, хr(С1,…, Сn-r), находимое по правилу Крамера.

Соответствующее решение укороченной, а следовательно, и исходной системы имеет вид:

Х(С1,…, Сn-r) = – общее решение системы.

Если в общем решении свободным неизвестным придать какие-нибудь числовые значения, то получим решение линейной системы, называемое частным.

Пример. Установить совместность и найти общее решение системы

Решение. А = , С = .

Таккакr(A) = r(C) = 2 (убедитесь в этом самостоятельно), то исходная система совместна и имеет бесчисленное множество решений (так как r < 4).

Выберемвкачествебазисногоминор . Тогда неизвестные х1 и х2 – базисные; х3 и х4 – свободные, а укороченная система имеет вид

Полагая х3 = С1, х4 = С2 и решая укороченную систему относительно базисных неизвестных, получаем:

х1 = 3/4- 1/4 С1 + 7/4 С2,

х2 = 1/2+ 3/2 С1 – 1/2 С2.

2.6. Системы однородных уравнений

Системаоднородныхуравнений = 0 (i =) всегда является совместной, так как r(A) = r(C).

Одним из решений системы однородных уравнений является тривиальное решение х1 = х2 = … = хn = 0.

Для однородной системы важно установить, имеет ли она ненулевые решения. Из теоремы Кронекера – Капелли следует, что система однородных уравнений имеет ненулевое (нетривиальное) решение тогда и только тогда, когда r(A) < n, где n – число неизвестных.

Пример 1. Определить, имеет ли система однородных уравнений

ненулевое решение. Найти это решение, если оно имеется.

Решение. detA = = 0, значит, r(A) < 3.

Минор = 6 ≠ 0 r(А) = 2. Значит, рассматриваемая система имеет ненулевые решения. Найдем их. Запишем второе и третье уравнения системы в виде х2 = 3 х1, х3 = – х1 – бесчисленное множество решений.

/17_142034_kramerovskie-sistemi.html

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: https://studopedia.ru/1_88960_primer--issledovat-sovmestnost-sistemi-uravneniy.html

Теорема Кронекера-Капелли. Исследование систем линейных уравнений на совместность. Первая часть

Как доказать совместимость системы линейных уравнений примеры. Примеры систем линейных уравнений: метод решения

Исследовать систему линейных агебраических уравнений (СЛАУ) на совместность означает выяснить, есть у этой системы решения, или же их нет. Ну и если решения есть, то указать сколько их.

Нам понадобятся сведения из темы “Система линейных алгебраических уравнений. Основные термины. Матричная форма записи”. В частности, нужны такие понятия, как матрица системы и расширенная матрица системы, поскольку именно на них опирается формулировка теоремы Кронекера-Капелли. Как обычно, матрицу системы будем обозначать буквой $A$, а расширенную матрицу системы – буквой $\widetilde{A}$.

Теорема Кронекера-Капелли

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. $\rang A=\rang\widetilde{A}$.

Напомню, что система называется совместной, если она имеет хоть одно решение.

Теорема Кронекера-Капелли говорит вот о чём: если $\rang A=\rang\widetilde{A}$, то решение есть; если $\rang Aeq\rang\widetilde{A}$, то данная СЛАУ не имеет решений (несовместна).

Ответ на вопрос о количестве этих решений даёт следствие из теоремы Кронекера-Капелли. В формулировке следствия использована буква $n$, которая равна количеству переменных заданной СЛАУ.

Следствие из теоремы Кронекера-Капелли

  1. Если $\rang Aeq\rang\widetilde{A}$, то СЛАУ несовместна (не имеет решений).
  2. Если $\rang A=\rang\widetilde{A} < n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
  3. Если $\rang A=\rang\widetilde{A} = n$, то СЛАУ является определённой (имеет ровно одно решение).

Заметьте, что сформулированная теорема и следствие из неё не указывают, как найти решение СЛАУ. С их помощью можно лишь выяснить, существуют эти решения или нет, а если существуют – то сколько.

Пример №1

Исследовать СЛАУ $ \left \{\begin{aligned} & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end{aligned}\right.$ на совместность. Если СЛАУ совместна, указать количество решений.

Решение

Чтобы выяснить наличие решений заданной СЛАУ, используем теорему Кронекера-Капелли. Нам понадобятся матрица системы $A$ и расширенная матрица системы $\widetilde{A}$, запишем их:

$$ A=\left( \begin{array} {ccc} -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end{array} \right);\; \widetilde{A}=\left( \begin{array} {ccc|c} -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end{array} \right). $$

Нужно найти $\rang A$ и $\rang\widetilde{A}$. Для этого есть много способов, некоторые из которых перечислены в разделе “Ранг матрицы”. Обычно для исследования таких систем применяют два метода: “Вычисление ранга матрицы по определению” или “Вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований”.

Способ №1. Вычисление рангов по определению

Согласно определению, ранг – это наивысший порядок миноров матрицы, среди которых есть хоть один, отличный от нуля. Обычно исследование начинают с миноров первого порядка, но здесь удобнее приступить сразу к вычислению минора третьего порядка матрицы $A$.

Элементы минора третьего порядка находятся на пересечении трёх строк и трёх столбцов рассматриваемой матрицы. Так как матрица $A$ содержит всего 3 строки и 3 столбца, то минор третьего порядка матрицы $A$ – это определитель матрицы $A$, т.е. $\Delta A$.

Для вычисления определителя применим формулу №2 из темы “Формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков”:

$$ \Delta A=\left| \begin{array} {ccc} -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end{array} \right|=-21. $$

Итак, есть минор третьего порядка матрицы $A$, который не равен нулю. Минор четвёртого порядка составить невозможно, так как для него требуется 4 строки и 4 столбца, а в матрице $A$ всего 3 строки и 3 столбца. Итак, наивысший порядок миноров матрицы $A$, среди которых есть хотя бы один не равный нулю, равен 3. Следовательно, $\rang A=3$.

Нам требуется найти также и $\rang\widetilde{A}$. Давайте посмотрим на структуру матрицы $\widetilde{A}$. До черты в матрице $\widetilde{A}$ находятся элементы матрицы $A$, причём мы выяснили, что $\Delta Aeq 0$.

Следовательно, у матрицы $\widetilde{A}$ есть минор третьего порядка, который не равен нулю. Миноров четвёртого порядка матрицы $\widetilde{A}$ составить мы не можем, поэтому делаем вывод: $\rang\widetilde{A}=3$.

Так как $\rang A=\rang\widetilde{A}$, то согласно теореме Кронекера-Капелли система совместна, т.е. имеет решение (хотя бы одно).

Чтобы указать количество решений, учтём, что наша СЛАУ содержит 3 неизвестных: $x_1$, $x_2$ и $x_3$.

Так как количество неизвестных $n=3$, то делаем вывод: $\rang A=\rang\widetilde{A}=n$, поэтому согласно пункту №3 следствия из теоремы Кронекера-Капелли, система является определённой, т.е. имеет единственное решение.

Задача решена. Какие недостатки и преимущества имеет данный способ? Для начала поговорим о плюсах. Во-первых, нам понадобилось найти всего один определитель. После этого мы сразу сделали вывод о количестве решений. Обычно в стандартных типовых расчётах даются системы уравнений, которые содержат три неизвестных и имеют единственное решение.

Для таких систем данный метод очень даже удобен, ибо мы заранее знаем, что решение есть (иначе примера не было бы в типовом расчёте). Т.е. нам остаётся только показать наличие решения наиболее быстрым способом. Во-вторых, вычисленное значение определителя матрицы системы (т.е.

$\Delta A$) пригодится после: когда станем решать заданную систему методом Крамера или с помощью обратной матрицы.

Однако метод вычисления ранга по определению нежелательно применять, если матрица системы $A$ является прямоугольной. В этом случае лучше применить второй метод, о котором пойдёт речь ниже.

Кроме того, если $\Delta A=0$, то мы ничего не сможем сказать о количестве решений заданной неоднородной СЛАУ. Может, СЛАУ имеет бесконечное количество решений, а может – ни одного.

Если $\Delta A=0$, то требуется дополнительное исследование, которое зачастую является громоздким.

Подводя итог сказанному, отмечу, что первый способ хорош для тех СЛАУ, у которых матрица системы квадратна. При этом сама СЛАУ содержит три или четыре неизвестных и взята из стандартных типовых расчетов или контрольных работ.

Способ №2. Вычисление ранга методом элементарных преобразований

Подробно это метод описан в соответствующей теме. Мы станем вычислять ранг матрицы $\widetilde{A}$. Почему именно матрицы $\widetilde{A}$, а не $A$? Дело в том, что матрица $A$ является частью матрицы $\widetilde{A}$, поэтому вычисляя ранг матрицы $\widetilde{A}$ мы одновременно найдем и ранг матрицы $A$.

\begin{aligned} &\widetilde{A} =\left( \begin{array} {ccc|c} -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end{array} \right) \rightarrow \left|\text{меняем местами первую и вторую строки}\right| \rightarrow \\ &\rightarrow \left( \begin{array} {ccc|c} -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ r_2-3r_1\\ r_3+4r_1 \end{array} \rightarrow \left( \begin{array} {ccc|c} -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ \phantom{0}\\ r_3-2r_2 \end{array}\rightarrow\\ &\rightarrow \left( \begin{array} {ccc|c} -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end{array} \right) \end{aligned}

Мы привели матрицу $\widetilde{A}$ к ступенчатому виду. Полученная ступенчатая матрица имеет три ненулевых строки, поэтому её ранг равен 3. Следовательно, и ранг матрицы $\widetilde{A}$ равен 3, т.е. $\rang\widetilde{A}=3$.

Делая преобразования с элементами матрицы $\widetilde{A}$ мы одновременно преобразовывали и элементы матрицы $A$, расположенные до черты. Матрица $A$ также приведена к ступенчатому виду: $\left( \begin{array} {ccc} -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end{array} \right)$.

Вывод: ранг матрицы $A$ также равен 3, т.е. $\rang A=3$.

Так как $\rang A=\rang\widetilde{A}$, то согласно теореме Кронекера-Капелли система совместна, т.е. имеет решение.

Чтобы указать количество решений, учтём, что наша СЛАУ содержит 3 неизвестных: $x_1$, $x_2$ и $x_3$.

Так как количество неизвестных $n=3$, то делаем вывод: $\rang A=\rang\widetilde{A}=n$, поэтому согласно пункту №3 следствия из теоремы Кронекера-Капелли, система определена, т.е. имеет единственное решение.

Какие преимущества второго способа? Главное преимущество – это его универсальность. Нам совершенно неважно, является ли матрица системы квадратной или нет. Кроме того, мы фактически провели преобразования прямого хода метода Гаусса. Осталось лишь пару действий, и мы смогли бы получить решение данной СЛАУ. Честно говоря, второй способ нравится мне более первого, но выбор – это дело вкуса.

Ответ: Заданная СЛАУ совместна и определена.

Пример №2

Исследовать СЛАУ $ \left\{ \begin{aligned} & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1-2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4. \end{aligned} \right.$ на совместность.

Решение

Находить ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы будем методом элементарных преобразований. Расширенная матрица системы: $\widetilde{A}=\left( \begin{array} {ccc|c} 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end{array} \right)$. Найдём требуемые ранги, преобразовывая расширенную матрицу системы:

$$ \left( \begin{array} {ccc|c} 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\r_2+r_1\\r_3-2r_1\\ r_4-3r_1\\r_5-2r_1\end{array}\rightarrow \left( \begin{array} {ccc|c} 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\\phantom{0}\\r_3-r_2\\ r_4-r_2\\r_5+r_2\end{array}\rightarrow\\ $$ $$ \rightarrow\left( \begin{array} {ccc|c} 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\\phantom{0}\\\phantom{0}\\ r_4-r_3\\\phantom{0}\end{array}\rightarrow \left( \begin{array} {ccc|c} 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$

Расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её ненулевых строк, поэтому $\rang\widetilde{A}=3$. Матрица $A$ (до черты) тоже приведена к ступенчатому виду, и ранг её равен 2, $\rang{A}=2$.

Так как $\rang Aeq\rang\widetilde{A}$, то согласно теореме Кронекера-Капелли система несовместна (т.е. не имеет решений).

Ответ: система несовместна.

Пример №3

Исследовать СЛАУ $ \left\{ \begin{aligned} & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-64;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. \end{aligned} \right.$ на совместность.

Решение

Приводим расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

$$ \left( \begin{array}{ccccc|c} 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end{array} \right) \overset{r_1\leftrightarrow{r_3}}{\rightarrow} $$ $$ \rightarrow\left( \begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64\\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ r_2-2r_1 \\r_3+3r_1 \\ r_4+5r_1 \\ r_5-7r_1 \end{array} \rightarrow \left( \begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 3 & -2 & 0 & -1 & -13\\ 0 & 7 & -1 & -5 & 6 & -5 \\ 0 & -3 & 2 & 0 & 1 & 13 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\4r_3+3r_2 \\ 4r_4-7r_2 \\ 4r_5+3r_2 \end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left( \begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \\ 0 & 0 & 11 & -15 & 25 & 76 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\\phantom{0} \\ r_4-r_3 \\ r_5+r_2 \end{array} \rightarrow \left( \begin{array}{ccccc|c} 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$

Мы привели расширенную матрицу системы и саму матрицу системы к ступенчатому виду. Ранг расширенной матрицы системы равен трём, ранг матрицы системы также равен трём.

Так как система содержит $n=5$ неизвестных, т.е. $\rang\widetilde{A}=\rang{A}\lt{n}$, то согласно пункту №2 следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е.

имеет бесконечное количество решений.

Ответ: система является неопределённой.

Во второй части мы разберём примеры, которые нередко включают в типовые расчёты или контрольные работы по высшей математике: исследование на совместность и решение СЛАУ в зависимости от значений параметров, входящих в неё.

Онлайн-занятия по высшей математике

Источник: https://math1.ru/education/sys_lin_eq/kapelli.html

Условие совместности системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли

Как доказать совместимость системы линейных уравнений примеры. Примеры систем линейных уравнений: метод решения

Установить, совместна ли система линейных уравнений, с помощью теоремы Кронекера-Капелли часто можно быстрее, чем с помощью метода Гаусса, когда требуется последовательно исключать неизвестные. Основана эта теорема на использовании ранга матрицы.

Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы этой системы равен рангу её расширенной матрицы, то есть чтобы .

Здесь матрица A (матрица системы) – это матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных:

В свою очередь матрица В (расширенная матрица) – это матрица, полученная присоединением к матрице системы столбца из свободных членов:

Ранги этих матриц связаны неравенством , при этом ранг матрицы В может быть лишь на одну единицу больше ранга матрицы A.

Следствие из теоремы Кронекера-Капелли о числе решений. Пусть для системы m линейных уравнений с n неизвестными выполнено условие совместности, то есть ранг матрицы из коэффициентов системы равен рангу её расширенной матрицы. Тогда верно следующее.

  • Если ранг матрицы равен числу неизвестных (), то система имеет единственное решение.
  • Если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных (), то система имеет бесконечно много решений, а именно: некоторым n – r неизвестным можно придавать произвольные значения, тогда оставшиеся r неизвестных определятся уже единственным образом.

Если ранг матрицы системы линейных уравнений равен числу уравнений, то есть , то система совместна при любых свободных членах. В этом случае ранг расширенной матрицы также равен m, так как ранг матрицы не может быть больше числа её строчек.

В ходе доказательства теоремы Кронекера-Капелли были получены явные формулы для решений системы (в случае её совместности). Если уже известно, что система совместна, то, чтобы найти её решения, необходимо:

1) отыскать в матрице системы A ранга отличный от нуля минор порядка, равного рангу матрицы системы, то есть ранга r;

2) отбросить те уравнения, которые соответствуют строкам матрицы A, не входящим в минор ;

3) члены с коэффициентами, не входящими в , перенести в правую часть, а затем, придавая неизвестным, находящимся в правой части, произвольные значения, определить по формулам Крамера оставшиеся r неизвестных из системы r уравнений с отличным от нуля определителем .

Пример 1. Следуя теореме Кронекера-Капелли, установить, совместна ли система уравнений

Если система совместна, то решить её.

Решение. Вычисляем ранг матрицы этой системы и ранг расширенной матрицы. В обоих случаях он равен 3. Следовательно, система линейных уравнений совместна. Так как ранг матрицы системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечно много решений: одно неизвестное может быть взято произвольно. Минор

отличен от нуля, поэтому последнее уравнение отбрасываем и неизвестному придаём произвольное значение .

Оставшиеся неизвестные определяются из системы

Решая последнюю систему по формулам Крамера или иным способом, находим

,

,

.

Присоединяя сюда , получаем все решения данной системы линейных уравнений.

Пример 2. Следуя теореме Кронекера-Капелли, установить, совместна ли система уравнений

Если система совместна, то решить её.

Решение. Вычисляем ранг матрицы этой системы:

.

Следовательно, ранг системы равен 3. Определим ранг расширенной матрицы:

.

Это означает, что ранг расширенной матрицы также равен 3. Следовательно, система совместна, а так как число неизвестных равно рангу матрицы системы, то она имеет единственное решение. Для решения можем использовать первые три уравнения:

Решая последнюю систему по формулам Крамера, находим

,

,

.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу! Пройти тест по теме Системы линейных уравнений

Всё по теме “Системы уравнений и неравенств”

Решение систем линейных уравнений методом подстановки и методом сложения Решение систем линейных уравнений методом Крамера Решение систем линейных уравнений методом Гаусса Решение систем линейных уравнений матричным методом (обратной матрицы) Системы линейных неравенств и выпуклые множества точек

Начало темы “Линейная алгебра”

с друзьями

Источник: https://function-x.ru/systems_kroneker_kapelli.html

3. Как исследовать систему линейных уравнений на совместность?

Как доказать совместимость системы линейных уравнений примеры. Примеры систем линейных уравнений: метод решения

Нередко помимо решения системы линейныхуравнений по условию предварительнотребуется исследовать её на совместность,то есть доказать, что какое-либо решениевообще существует. Ключевую роль в такойпроверке играет теорема Кронекера-Капелли,которую я сформулирую в необходимомвиде:

Если ранг матрицы системы равенрангу расширенной матрицы системы,то система совместна, причём, если данноечисло совпадает с количеством неизвестных,то решение единственно.

Таким образом, для исследования системына совместность нужно проверить равенство,где – матрица системы (вспоминаемтерминологию из урока Метод Гаусса),а – расширенная матрица системы (т.е.матрица с коэффициентами при переменных+ столбец свободных членов).

Всё просто: обратный матрицаалгебраический уравнение

Пример 7

Исследовать систему на совместность инайти её решение, если система совместна

А когда системы уже прорешаны – простовдвойне… нет – втройне =)

Решение: тем не менее, обратимвнимание на строгую верхнюю строчку –по условию,

в первую очередь, требуется проверитьсистему на совместность. Как начатьрешение?

В любом случае записываем расширеннуюматрицу системы и с помощью элементарныхпреобразований приводим её к ступенчатомувиду:

а) Пример №1 статьи о методе исключениянеизвестных:

Элементарные преобразования не меняютранга матриц, поэтому в результатевыполненных действий полученыэквивалентные исходным матрица системы

и расширенная матрица системы

.

Максимальный порядок ненулевого минораматрицы системы равен трём. Здесьтаковой минор в единственном экземпляреи совпадает он, понятно, с определителемсамой матрицы:

(см. урок о методах вычисленияопределителя)

Следовательно, .

Максимальный порядок ненулевого минорарасширенной матрицы системы такжеравен трём:

(взяты первые два столбца + столбецсвободных членов).

Таким образом, .

Вывод: ,значит, по теореме Кронекера-Капеллисистема совместна; и поскольку количествопеременных (– 3 шт.) совпадает с рангом, то системаимеет единственное решение.

Что дальше? Дальше следует непосредственнорешить систему. Если по условию непредложен способ, то, конечно же,раскручиваем обратный ход методаГаусса. Если требуется решить системуметодом Крамера или с помощьюобратной матрицы, ну что поделать….

б) Пример №1 статьи о несовместныхсистемах и системах с общим решением:

В результате элементарных преобразованийполучена эквивалентная матрица системы

и расширенная матрица системы

.

Максимальный порядок ненулевого минораматрицы системы равен двум, например:

,

поэтому

Заметьте, что здесь есть возможностьвыбрать и другой минор 2-го порядка, нопроще всего в качестве примера взятьступенчатый определитель.

Максимальный порядок ненулевого минорарасширенной матрицы системы равентрём, например:

(первые два столбца + столбец свободныхчленов).

Таким образом,

.

Вывод:

,

значит, по теореме Кронекера-Капеллисистема несовместна.

Однако помните – если по условию нетребуется исследовать систему насовместность, то вполне достаточноограничиться стандартным ответом (см.решение вышеуказанного урока).

в) Пример №3 той же статьи:

В результате элементарных преобразованийполучена эквивалентная матрица системыи расширенная матрица системы .

Максимальный порядок ненулевого минораматрицы системы равен двум, например:

,

следовательно, .

Максимальный порядок ненулевого минорарасширенной матрицы системы такжеравен двум, например:

,

Поэтому

Второй абзац можно полностью заменитьхитрой лаконичной фразой: “по этойже причине

“.

Вывод:

,

значит, по теореме Кронекера-Капеллисистема совместна. Поскольку ранг меньшеколичества переменных (– 4 шт.), то система имеет бесконечномного решений.

Далее находим общее решение по стандартнойсхеме.

Готово.

Образец исследования системы насовместность также можно посмотреть вначале

Примера №1 урока о нахождении различныхбазисных решений системы.

…Всё-таки иногда удивительно обманываютсяожидания – порой думаешь, что статьяполучится огромной, а она оказываетсявесьма компактной, а иногда, как сейчас– наоборот. Посмотрел статистику ижутко удивился добрым 20-ти тысячамсимволов. Поэтому всем высокого рангаи до скорых встреч!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: посколькув матрице есть ненулевые элементы, тоеё ранг не меньше единицы.

,

значит, ранг матрицы не менее двух.

Рассмотрим миноры 3-го порядка, приэтом в них обязательно должен содержатьсяненулевой минор

. Таких миноров два:

Максимальный порядок ненулевогоминора равен двум.

Ответ:

Пример 4: Решение: с помощьюэлементарных преобразований приведемматрицу к ступенчатому виду:

(1) Первую и вторую строки поменялиместами. К 4-й строке прибавили 3-ю строку,умноженную на –2.

(2) Вторая и 4-я строки одинаковы, 4-юстроку удалили. К третьей строке прибавиливторую строку, умноженную на –1.

(3) Первую и третью строки поменялиместами.

(4) Ко второй строке прибавили первуюстроку, умноженную на –2. К 3-й строкеприбавили первую строку, умноженную на–1.

(5) К третьей строке прибавили вторуюстроку, умноженную на 3.

В результате получены 3 строки, значит,ранг матрицы равен 3.

Ответ:

Пример 6: Решение: рангматрицы не превосходит минимальнойразмерности, то есть, трёх.

В матрице есть ненулевые элементы,значит, ранг не менее единицы.

Максимальный порядок ненулевогоминора равен трём

Ответ:

Источник: https://studfile.net/preview/8120711/page:3/

Мед-Центр Здоровье
Добавить комментарий