Иррациональных чисел больше чем рациональных. Что такое рациональные и иррациональные числа

math4school.ru

Иррациональных чисел больше чем рациональных. Что такое рациональные и иррациональные числа

Рациональное число – число, представляемое обыкновенной дробью m/n, где числитель m – целое число, а знаменатель n – натуральное число. Любое рациональное число представимо в виде периодической бесконечной десятичной дроби. Множество рациональных чисел обозначается Q.

Если действительное число не является рациональным, то оно иррациональное число. Десятичные дроби, выражающие иррациональные числа бесконечны и не периодичны. Множество иррациональных чисел обычно обозначается заглавной латинской буквой I.

Действительное число называется алгебраическим, если оно является корнем некоторого многочлена (ненулевой степени) с рациональными коэффициентами. Любое неалгебраическое число называется трансцендентным.

Некоторые свойства:

  • Множество рациональных чисел располагается на числовой оси всюду плотно: между любыми двумя различными рациональными числами расположено хотя бы одно рациональное число (а значит, и бесконечное множество рациональных чисел). Тем не менее, оказывается, что множество рациональных чисел Q и множество натуральных чисел N эквивалентны, то есть между ними можно установить взаимно однозначное соответствие (все элементы множества рациональных чисел можно перенумеровать).
  • Множество Q рациональных чисел является замкнутым относительно сложения, вычитания, умножения и деления, то есть сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел также являются рациональными числами.
  • Все рациональные числа являются алгебраическими (обратное утверждение – неверное).
  • Каждое вещественное трансцендентное число является иррациональным.
  • Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным.
  • Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя числами имеется иррациональное число (а значит, и бесконечное множество иррациональных чисел).
  • Множество иррациональных чисел несчётно.

При решении задач бывает удобно вместе с иррациональным числом a + b√c (где a, b – рациональные числа, с – целое, не являющееся квадратом натурального числа) рассмотреть «сопряжённое» с ним число a – b√c: его сумма и произведение с исходным – рациональные числа. Так что a + b√c и a – b√c являются корнями квадратного уравнения с целыми коэффициентами.

Задачи с решениями

1. Докажите, что

а) число √7;

б) число lg 80;

в) число √2 + 3√3;

является иррациональным.

Решение

а) Допустим, что число √7 рациональное. Тогда, существуют такие взаимно простые p и q, что √7 = p/q, откуда получаем p2 = 7q2. Так как p и q взаимно простые, то p2, а значит и p делится на 7. Тогда р = 7k, где k – некоторое натуральное число. Отсюда q2 = 7k2 = pk, что противоречит тому, что p и q взаимно просты.

Итак, предположение ложно, значит, число √7 иррациональное.

б) Допустим, что число lg 80 рациональное. Тогда существуют такие натуральные p и q, что lg 80 = p/q, или 10p = 80q, откуда получаем 2p–4q = 5q–p. Учитывая, что числа 2 и 5 взаимно простые, получаем, что последнее равенство возможно только при p–4q = 0 и q–p = 0. Откуда p = q = 0, что невозможно, так как p и q выбраны натуральными.

Итак, предположение ложно, значит, число lg 80 иррациональное.

в) Обозначим данное число через х.

Тогда (х – √2)3 = 3, или х3 + 6х – 3 = √2·(3х2 + 2). После возведения этого уравнения в квадрат получаем, что х должен удовлетворять уравнению

х6 – 6х4 – 6х3 + 12х2 – 36х + 1 = 0.

Его рациональными корнями могут быть только числа 1 и –1. Проверка же показывает, что 1 и –1 не являются корнями.

Итак, данное число √2 + 3√3 является иррациональным.

2. Известно, что числа a, b, √a–√b, – рациональные. Докажите, что √a и √b – тоже рациональные числа.

Решение

Рассмотрим произведение

(√a – √b)·(√a + √b) = a – b.

Число √a+√b, которое равно отношению чисел a – b и √a–√b, является рациональным, так как частное от деления двух рациональных чисел – число рациональное. Сумма двух рациональных чисел

½(√a + √b) + ½(√a – √b) = √a

– число рациональное, их разность, 

½(√a + √b) – ½(√a – √b) = √b,

тоже рациональное число, что и требовалось доказать.

3. Докажите, что существуют положительные иррациональные числа a и b, для которых число ab является натуральным.

Решение

4. Существуют ли рациональные числа a, b, c, d, удовлетворяющие равенству

(a + b√2)2n + (c + d√2)2n = 5 + 4√2,

где n – натуральное число?

Решение

Если выполнено равенство, данное в условии, а числа a, b, c, d – рациональные, то выполнено и равенство:

(a – b√2)2n + (c – d√2)2n = 5 – 4√2.

Но 5 – 4√2 < 0, а (a – b√2)2n + (c – d√2)2n > 0. Полученное противоречие доказывает то, что исходное равенство невозможно.

Ответ: не существуют.

5. Если отрезки с длинами a, b, c образуют треугольник, то для всех n = 2, 3, 4, . . . отрезки с длинами n√a, n√b, n√c так же образуют треугольник. Докажите это.

Решение

Если отрезки с длинами a, b, c образуют треугольник, то неравенство треугольника даёт

a + b > c.

Поэтому мы имеем

(n√a + n√b)n > a + b > c = (n√c)n,

откуда

n√a + n√b > n√c.

Остальные случаи проверки неравенства треугольника рассматриваются аналогично, откуда и следует заключение.

6. Докажите, что бесконечная десятичная дробь 0,1234567891011121314… (после запятой подряд выписаны все натуральные числа по порядку) представляет собой иррациональное число.

Решение

Как известно, рациональные числа выражаются десятичными дробями, которые имеют период начиная с некоторого знака. Поэтому достаточно доказать, что данная дробь не является периодической ни с какого знака.

Предположим, что это не так, и некоторая последовательность T, состоящая из n цифр, является периодом дроби, начиная с m-го знака после запятой. Ясно, что среди цифр после m-го знака встречаются ненулевые, поэтому в последовательности цифр T есть ненулевая цифра.

Это означает, что начиная с m-ой цифры после запятой, среди любых n цифр подряд есть ненулевая цифра. Однако в десятичной записи данной дроби должна присутствовать десятичная запись числа 100…0 = 10k, где k > m и k > n.

Понятно, что эта запись встретится правее m-ой цифры и содержит более n нулей подряд. Тем самым, получаем противоречие, завершающее доказательство.

7. Дана бесконечная десятичная дробь 0,a1a2… . Докажите, что цифры в ее десятичной записи можно переставить так, чтобы полученная дробь выражала рациональное число.

Решение

Напомним, что дробь выражает рациональное число в том и только том случае, когда она периодическая, начиная с некоторого знака.

Цифры от 0 до 9 разделим на два класса: в первый класс включим те цифры, которые встречаются в исходной дроби конечное число раз, во второй класс – те, которые встречаются в исходной дроби бесконечное число раз. Начнем выписывать периодическую дробь, которая может быть получена из исходной перестановкой цифр.

Вначале после нуля и запятой напишем в произвольном порядке все цифры из первого класса – каждую столько раз, сколько она встречается в записи исходной дроби. Записанные цифры первого класса будут предшествовать периоду в дробной части десятичной дроби.

Далее, запишем в некотором порядке по одному разу цифры из второго класса. Эту комбинацию объявим периодом и будем повторять ее бесконечное число раз. Таким образом, мы выписали искомую периодическую дробь, выражающую некоторое рациональное число.

8. Доказать, что в каждой бесконечной десятичной дроби существует последовательность десятичных знаков произвольной длины, которая в разложении дроби встречается бесконечно много раз.

Решение

Пусть m – произвольно заданное натуральное число. Разобьем данную бесконечную десятичную дробь на отрезки, по m цифр в каждом. Таких отрезков будет бесконечно много. С другой стороны, различных систем, состоящих из m цифр, существует только 10m, т. е. конечное число. Следовательно, хотя бы одна из этих систем должна повторяться здесь бесконечно много раз.

Замечание. Для иррациональных чисел √2, π или е мы даже не знаем, какая цифра повторяется бесконечно много раз в представляющих их бесконечных десятичных дробях, хотя каждое из этих чисел, как легко можно доказать, содержит по крайней мере две различные такие цифры.

9. Докажите элементарным путём, что положительный корень уравнения

х5 + х = 10

является иррациональным.

Решение

Для х > 0 левая часть уравнения возрастает с возрастанием х, и легко заметить, что при х = 1,5 она меньше 10, а при х = 1,6 – больше 10. Поэтому единственный положительный корень уравнения лежит внутри интервала (1,5; 1,6).

Запишем корень как несократимую дробь p/q, где p и q – некоторые взаимно простые натуральные числа. Тогда при х = p/q уравнение примет следующий вид:

p5 + pq4 = 10q5,

откуда следует, что р – делитель 10, следовательно, р равно одному из чисел 1, 2, 5, 10. Однако выписывая дроби с числителями 1, 2, 5, 10, сразу же замечаем, что ни одна из них не попадает внутрь интервала (1,5; 1,6).

Итак, положительный корень исходного уравнения не может быть представлен в виде обыкновенной дроби, а значит является иррациональным числом.

10. а) Существуют ли на плоскости три такие точки A, B и C, что для любой точки X длина хотя бы одного из отрезков XA, XB и XC иррациональна?

б) Координаты вершин треугольника рациональны. Докажите, что координаты центра его описанной окружности также рациональны.

в) Существует ли такая сфера, на которой имеется ровно одна рациональная точка? (Рациональная точка – точка, у которой все три декартовы координаты – рациональные числа.)

Решение

а) Да, существуют. Пусть C – середина отрезка AB. Тогда XC2 = (2XA2 + 2XB2 – AB2)/2. Если число AB2 иррационально, то числа XA, XB и XC не могут одновременно быть рациональными.

б) Пусть (a1; b1), (a2; b2) и (a3; b3) – координаты вершин треугольника. Координаты центра его описанной окружности задаются системой уравнений:

(x – a1)2 + (y – b1)2 = (x – a2)2 + (y – b2)2,

(x – a1)2 + (y – b1)2 = (x – a3)2 + (y – b3)2.

Легко проверить, что эти уравнения линейные, а значит, решение рассматриваемой системы уравнений рационально.

в) Такая сфера существует. Например, сфера с уравнением

(x – √2)2 + y2 + z2 = 2.

Точка O с координатами (0; 0; 0) – рациональная точка, лежащая на этой сфере. Остальные точки сферы иррациональные. Докажем это.

Допустим противное: пусть (x; y; z) – рациональная точка сферы, отличная от точки O. Понятно, что х отличен от 0, так как при x = 0 имеется единственное решение (0; 0; 0), которое нас сейчас не интересует. Раскроем скобки и выразим √2:

x2 – 2√2x + 2 + y2 + z2 = 2

√2 = (x2 + y2 + z2)/(2x),

чего не может быть при рациональных x, y, z и иррациональном √2. Итак, О(0; 0; 0) – единственная рациональная точка на рассматриваемой сфере.

Задачи без решений

1. Докажите, что число

\[ \sqrt{10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}} \]

является иррациональным.

2. При каких целых m и n выполняется равенство (5 + 3√2)m = (3 + 5√2)n ?

3. Существует ли такое число а, чтобы числа а – √3 и 1/а + √3 были целыми?

4. Могут ли числа 1, √2, 4 быть членами (не обязательно соседними) арифметической прогрессии?

5. Докажите, что при любом натуральном n уравнение (х + у√3)2n = 1 + √3 не имеет решений в рациональных числах (х; у).

Источник: http://math4school.ru/racionalnye_i_irracionalnye_chisla.html

Рациональные и иррациональные числа

Иррациональных чисел больше чем рациональных. Что такое рациональные и иррациональные числа
Важно! Узнайте, чем закончилась проверка учебного центра “Инфоурок”? ✖

.

Запустите файл

1. Сохраните файл

2. Кликните на скачанный файл

3. Нажмите Запустить

1. Кликните на значок ↓

2. Появится файл, дважды кликните на него

1. Нажмите Сохранить

2. Кликните на значок ↓

3. Появится файл, кликните на него

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайдОписание слайда:

Рациональные числа. Иррациональные числа.

2 слайдОписание слайда:

Повторение Числа 1, 2, 3 … – натуральные числа Натуральные числа – числа, возникающие естественным образом при счёте. Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при: перечислении (нумеровании) предметов  (первый, второй, третий, …); обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета, …). 1-й танк 2-й танк 3-й танк N

3 слайдОписание слайда:

Повторение Множество целых чисел = натуральные числа + противоположные им числа и нуль -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 Z

4 слайдОписание слайда:

Повторение Дробные числа

5 слайдОписание слайда:

Множество рациональных чисел = целые и дробные числа Q

6 слайдОписание слайда:

235 -7 19 -5,7 Устно -90 Q Z N

7 слайдОписание слайда:

Иррациональные числа Целые отрицательные 0 Натуральные Дробные отрицательные Дробные положительные Целые Дробные Рациональные Иррациональные Отрицательные Положительные Действительные

8 слайдОписание слайда:

Иррациональные числа Целые отрицательные 0 Натуральные Дробные отрицательные Дробные положительные Целые Дробные Рациональные Иррациональные Отрицательные Положительные Действительные Комплексные числа Мнимые Чисто мнимые

9 слайдОписание слайда:

История Математики Древней Греции более двадцати веков тому назад пришли к выводу, что нет ни целого, ни дробного числа, выражающего диагональ квадрата со стороной 1.

Это вызвало кризис в математической науке: диагональ у квадрата есть, а длины у неё нет! Математики нашли выход из этой ситуации: раз имеющегося запаса чисел – целых и дробных – не хватает для выражения длин отрезков, значит, нужны какие-то новые числа. Так появились иррациональные числа.

10 слайдОписание слайда:

Измерение длин отрезков на координатной прямой Работа с учебником стр.63 – 64 п. 11. Устно ответить на вопросы: Как можно измерить длину любого отрезка? Как можно получить более точный результат (с точностью до 0,1; 0,01 и 0,001? Какие числа окажутся в результате измерений? Иррациональные числа

11 слайдОписание слайда:

Среди рациональных чисел нет такого числа, квадрат которого равен 2.

12 слайд 13 слайд 14 слайдОписание слайда:

Множество рациональных + множество иррациональных чисел = множеству действительных чисел R=

15 слайдОписание слайда:

НАТУРАЛЬНЫЕ ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ Множество действительных чисел R Q Z N

16 слайдОписание слайда:

Множество рациональных чисел + множество иррациональных чисел называют множеством действительных чисел. …, 3,010010001…, … 0 …, – 5,020022000222…,…

17 слайдОписание слайда:

Каждому действительному числу соответствует единственная точка координатной прямой, и каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число. х 5 0 1 – 10 7,53…

18 слайдОписание слайда:

Между множеством действительных чисел и множеством точек координатной прямой существует взаимно однозначное соответствие.

19 слайдОписание слайда:

Сравнение иррациональных чисел Сравним числа 2,36366… и 2,37011… совпадают в разряде сотых у первой дроби число единиц меньше, чем у второй, поэтому 2,36366… < 2,37011…

20 слайд 21 слайдОписание слайда:

Кластер Иррациональные числа Натуральные числа Целые числа Рациональные числа 9 0 7 –6(3) 7,020020002… 345 π 1,24(53)

22 слайдОписание слайда:

№ 276, № 277, № 279 № 280, № 281 (а, в, д). № 285, № 286. Упражнения

23 слайдОписание слайда:

Задача на повторение В дивизионном полку за 20 секунд выпускают 120 ракет. Сколько ракет выпустят за 4 секунды.

24 слайдОписание слайда:

Вопросы – Какие числа называются рациональными? – Какие числа называются иррациональными? – Из каких чисел состоит множество действительных чисел?

25 слайдОписание слайда:

Задание на самоподготовку: № 278, № 281 (б, г, е), № 282

26 слайдОписание слайда:

Рефлексия № Вопрос Да Нет Обозначение Пример 1 Знаю ли я, какие числа натуральные?       2 Знаю ли, что такое множество целых чисел?       3 Знаю ли я, какие числа рациональные?       4 Знаю ли я, какие числа иррациональные? – 5 Знаю ли я, какие числа действительные?

.

Запустите файл

1. Сохраните файл

2. Кликните на скачанный файл

3. Нажмите Запустить

1. Кликните на значок ↓

2. Появится файл, дважды кликните на него

1. Нажмите Сохранить

2. Кликните на значок ↓

3. Появится файл, кликните на него

Общая информация

.

Запустите файл

1. Сохраните файл

2. Кликните на скачанный файл

3. Нажмите Запустить

1. Кликните на значок ↓

2. Появится файл, дважды кликните на него

1. Нажмите Сохранить

2. Кликните на значок ↓

3. Появится файл, кликните на него

Источник: https://infourok.ru/racionalnie-i-irracionalnie-chisla-1153222.html

Иррациональные числа. урок. Алгебра 8 Класс

Иррациональных чисел больше чем рациональных. Что такое рациональные и иррациональные числа

В повседневной жизни мы постоянно встречаемся с окружностью, кругом, квадратом. Но и длина окружности, и площадь круга, и диагональ единичного квадрата выражается иррациональными числами. Иррациональные числа и есть предмет этого урока.

Конечно, и раньше мы встречались с числом π (через него выражается площадь круга и длина окружности), числом . Но вряд ли мы их представляли как элементы множества иррациональных чисел, это множество пока нам неизвестно. А какие множества нам известны? Давайте вспомним.

1. N – натуральные числа (числа для счета предметов окружающего мира)  

N =

2. Z – целые числа (натуральные числа, отрицательные, ноль) 

Z =

3. Q – рациональные числа (множество целых чисел + дроби)

Q =

Также не стоит забывать про свойство рациональных чисел, которое гласит, что важной особенностью множества Q рациональных чисел является их замкнутость относительно операций:

– сложения;

– вычитания;

– умножения;

– деления (не на ноль);

– возведения в натуральную степень.

В результате этих операций с рациональными числами мы снова получаем рациональное число.

Однако извлечение корня выводит нас за пределы множества рациональных чисел. Например,  = 4, и это рациональное число, так как 42 = 16. Другой пример –  =  є Q.

Но  – это другой случай, так как подобрать число, которое в квадрате дает 2, очень сложно. Это число не является рациональным.

Значит, множество рациональных чисел необходимо расширить, ввести нерациональные (т. е. иррациональные) числа.  является как раз именно таким числом.

Но для начала надо обосновать существование необходимости расширения множества рациональных чисел с помощью введения иррациональных чисел.

Рассмотрим функцию , где

График функции (рис. 1):

Рис. 1. График функции y = x2

Это часть параболы. С этой функцией связаны две основные задачи, как и с любой другой функцией, – прямая и обратная. В связи с этим решим 2-я способами несколько простейших уравнений:

Пример 1.

Найдем те значения аргумента, при которых

Первый способ – аналитический:

Произведение равно 0 тогда, когда один из множителей равен 0, а другой существует, поэтому:

, но по условию

Ответ: 2

Второй способ:        

1. Строим функцию  и

2. Находим точку пересечения по графику и проверяем её

Нашли, проверили и получили тот же ответ – .

Пример 2.

Ответ в первом случае будет  

При решении графически мы будем следовать инструкции, как и в примере 1. Ответом будет

Пример 2.

Первый способ:

Но число подобрать сложно. Проверим решение графическим способом.

Второй способ:

Парабола  рассекается прямой . При некотором значении аргумента, который обозначили . Значит, ответ есть. .

Рис. 2. Решение уравнения

 – это длина отрезка ОА. Этим же символом ( обозначают длину диагонали единичного квадрата.

При измерении отрезка ОА линейкой получили:

Таким образом, мы можем получить , если эталон измельчить в n раз и взять таких m частей. Но этого сделать нельзя, потому что  ≠ Еще Эвклид доказал, что  ≠ .

Доказать, что  ≠

Доказательство:

1. Предположим, что  =

2. Если  =, то n = m

3. При возведении в квадрат получаем:

2n2 = m2

4. Можно считать, что  – несократимая дробь, потому что если есть общие делители, то на них можно сократить. Итак, мы предположили, что  – это несократимая дробь . Общих делителей у чисел m и n нет.

2n2 = m2

Левая часть уравнения делится на 2, а правая на 4 (каждое из m должно делиться на 2). Соответственно, m2 делится на 4. Тогда и 2n2 делится на 4. Так как одна 2 есть, значит, n2 делится 2 или n делится на 2. m и n делятся на 2.

5. Мы предположили, что  = .  – это несократимая дробь, то есть m и n не имеют общих делителей, но выясняется, что при правильности предположения мы имеем противоречие.  – сократимая дробь, значит, среди множества рациональных чисел не найдется дроби, которая точно равняется . Таким образом,  ≠ , это иррациональное число.

То есть, мы доказали, что число  существует и оно иррациональное.

Мы можем записать множество рациональных чисел как множество несократимых дробей  либо как множество десятичных дробей, конечных или периодических. Например,  = 2,5;  = 0,333… = 0,(3).

Иррациональное число  может быть представлено бесконечной, непериодической десятичной дробью. Записывают же следующим образом:

Существуют различные способы нахождения каждой верной цифры в данном числе (например, вавилонский).                     

Иррациональных чисел много, и их, в некотором смысле, даже больше, чем рациональных чисел. Поясним это так:

Предположим, что сумм этих чисел – рациональное число, тогда

 =

Но тогда  – это разность двух рациональных чисел, т. е. число рациональное.

Возникает противоречие, так как  – иррациональное число. Итак, единственному числу  соответствует много иррациональных чисел. Столько, сколько всех рациональных чисел.

Вспомним, что такое число π.

π =  ≈ 3,14 ⟹ l = 2 πR

Мы доказали существование множества иррациональных чисел

I =

Каждое иррациональное число представляется в виде бесконечной десятичной непериодической дроби. Но для каждого иррационального числа существует рациональное приближение. Приближение можно найти с любой, заранее заданной, точностью. Например,

 ≈ 1,4;  ≈ 1,7; π ≈ 3,14

Если мы будем складывать или перемножать иррациональные числа, то можем получать числа. Например,

Другой пример:

(7 + ) + (3 – ) = 10

Еще пример:

(7 + )(7 – ) = 49 – ()2 = 49 – 2 = 47

Подытожим сказанное: существуют числа, которые нельзя представить в виде обыкновенной дроби . Такие числа назвали иррациональными (нерациональными). Примерами таких чисел являются ; π. Множество иррациональных чисел I – бесконечно. Доказано, что между двумя иррациональными числами умещается бесконечно много рациональных чисел.

Говорят, что множество рациональных чисел всюду плотно. Любое иррациональное число представляется в виде бесконечной десятичной непериодической дроби. Существуют способы нахождения любой верной цифры такой дроби. Также существуют рациональные приближения иррациональных чисел.

Интересна иллюстрация рациональных и иррациональных чисел на координатной прямой (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация рациональных и иррациональных чисел на координатной прямой

Мы видели, что появление целых, рациональных и иррациональных чисел во многом связано с обратными операциями: вычитанием, делением, извлечения корня.

Список литературы

  1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
  2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5 издание. – М.: Просвещение, 2010.
  3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Домашнее задание

  1. № 11.5, 11.7, 11.9 стр. 62. Мордкович А.Г. Алгебра 8 класс. Задачник для учащихся общеобразовательных школ.– 12-е изд. – М.: Мнемозина, 2010. – 273 стр.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал Ru.wikipedia.org (Источник)
  2. Интернет-портал Math-prosto.ru (Источник)
  3. Интернет-портал Numbers.kalan.cc (Источник)

Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/8-klass/funktsiya-y-x-svoystva-kvadratnogo-kornya/irratsionalnye-chisla?konspekt

Рациональные числа: что это такое, свойства и примеры

Иррациональных чисел больше чем рациональных. Что такое рациональные и иррациональные числа

Рациональное число — это число, которое можно представить как дробь. Т.е. если число можно получить делением двух целых чисел (число без дробной части), то это число рациональное.

Это число, которое можно представить обыкновенной дробью , где числитель m – целое число, и знаменатель n – натуральное число.

Например:

  • 1,15 — рациональное число т. к. его можно представить как 115/100;
  • 0,5 — рациональное число т. к. это 1/2;
  • 0 — рациональное число т. к. это 0/1;
  • 3 — рациональное число т. к. это 3/1;
  • 1 — рациональное число т. к. это 1/1;
  • 0,33333… — рациональное число т. к. это 1/3;
  • –5,4 — рациональное число т. к. это –54/10 = –27/5.

Множество рациональных чисел обозначается буквой “Q”.

Слово “рациональный” произошло от латыни “ratio”, которое имеет несколько значений — число, расчёт, нумерация, рассуждение, разум и др.

Свойства рациональных чисел

Допустим а, b и c — любые рациональные числа.

Переместительные и сочетательные законы

а + b = b + а, например: 2 + 3 = 3 + 2;

а + (b + с) = (а + b) + с, например: 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4;

а + 0 = а, например: 2 + 0 = 2;

а + (– а) = 0, например: 2 + (– 2) = 0

Переместительные и сочетательные законы при умножении

a × b = b × a, например: 2 × 3 = 3 × 2

a × (b × c) = (a × b) × c, например: 2 × (3 × 4) = (2 × 3) × 4

а × 1 = а, например: 2 × 1 = 2

а × 1/a = 1, если а ≠ 0; например: 2 × 1/2 = 1

а × 0 = 0, например: 2 × 0 = 0

а × b = 0, значит: или а = 0, или b = 0, или оба равны нулю

Распределительный закон умножения

Для сложения:

+ b) × с = ас+ bс например: (2 + 3) × 4 = 2×4 + 3×4

Для вычитания:

b) × с = ас bс например: (3 – 2) × 4 = 3×4 – 2×4

Иррациональные числа

Иррациональные числа — противоположность рациональным числам, это те, которые НЕ могут быть записаны как простая дробь.

Например:

  • число Пи = 3,14159…, его можно записать как 22/7, но это будет лишь приблизительно и далеко не точно ( 22/7 = 3,142857..);
  • √2 и √99 — иррациональные, т. к. их невозможно записать дробью (корни часто иррациональные, но не всегда);
  • e (число) = 2,72 — иррациональное, т. к. его невозможно записать дробью;
  • золотое сечение φ=1,618… — иррациональное, т. к. его невозможно записать дробью.

Множество иррациональных чисел обозначается буквой “I”.

Какая разница между целыми, натуральными и рациональными числами

Целые числа — это натуральные числа, противоположные им числа (ниже нуля) и нуль.

Например:

Все целые числа являются рациональными числами (натуральные в том числе), т. к. их можно представить в виде обыкновенной дроби.

Множество целых чисел в математике обозначается буквой Z.

Натуральные числа

Натуральные числа — это только целые числа, начиная с 1.

Например:

Этот счёт появился натуральным способом, когда люди ещё считали на пальцах и не знали цифр (“у меня столько коз, сколько пальцев на обеих руках”), поэтому нуль не входит в натуральные числа.

Множество натуральных чисел в математике обозначается буквой N.

Все десятичные дроби рациональные числа?

Десятичные дроби выглядят таким образом:

Это обычные дроби, у которых знаменатель равен 10, 100, 1000 и т. д. Наши примеры мы можем записать в таком виде:

0,561 =

Это означает, что любая конечная десятичная дробь является рациональным числом.

Любую периодическую дробь тоже можно представить в виде обыкновенной дроби:

(3 повторяется)

Следовательно, любая периодическая дробь является рациональным числом.

Но БЕСКОНЕЧНЫЕ и НЕПЕРИОДИЧЕСКИЕ десятичные дроби не считаются рациональными числами, т. к. их нельзя показать в виде обыкновенной дроби.

Можно запомнить, как шпаргалку, что число Пи (3,14159…) иррациональное. У него очень много неповторяющихся знаков после запятой и его невозможно представить в виде обыкновенной дроби.

Корни — рациональные числа или иррациональные?

Подавляющая часть квадратных и кубических корней — иррациональные числа. Но бывают исключения: если его можно представить как дробь (по определению рационального числа). Например:

  • √2 = 1,414214… — иррациональное;
  • √3 = 1,732050… — иррациональное;
  • ∛7 = 1,912931… — иррациональное;
  • √4 = 2 — рациональное (2 = 2/1);
  • √9 = 3 — рациональное (3 = 3/1).

История рациональных чисел и дробей

Самое раннее известное упоминание иррациональных чисел было между 800 и 500 г. до н. э. в индийской Сулба-Сутре.

Первое доказательство существования иррациональных чисел принадлежит древнегреческому философу-пифагорейцу Гиппасу из Метапонта. Он доказал (вероятнее всего геометрически) иррациональность квадратного корня из 2.

Легенда гласит, что Гиппас из Метапонта открыл иррациональные числа когда попытался представить квадратный корень из 2 в виде дроби. Однако Пифагор верил в абсолютность чисел и не смог принять существование иррациональных чисел.

Считается, что из-за этого между ними получился конфликт, который породил множество легенд. Многие говорят о том, что как раз это открытие убило Гиппаса.

В вавилонских записях по математике часто можно увидеть шестидесятеричную систему счисления, в которой уже использовались дроби. Эти записи были сделаны более 4000 лет назад, система была немного не такой, как у нас, но смысл тот же.

У египтян, которые жили в более поздний период, также был свой способ записи дробей, что-то похожее на: 3⁻¹ или 5⁻¹.

Узнайте больше про Число Пи, Числа Фибоначчи и Экспоненту.

Источник: https://www.uznaychtotakoe.ru/racionalnye-chisla/

Мед-Центр Здоровье
Добавить комментарий