Фигуры не равны. Какие две фигуры называют равными

Подобие общих фигур. урок. Геометрия 8 Класс

Фигуры не равны. Какие две фигуры называют равными

Как мы уже знаем, фигурой в геометрии называется множество точек на плоскости. Прямая, отрезок, луч, треугольник, окружность, квадрат и так далее – всё это примеры геометрических фигур.

В повседневной жизни нас с вами окружают множество различных предметов. Часть из них имеют одинаковые размеры и одинаковую форму. Например, две одинаковые ручки или две одинаковых монеты и т.д. В геометрии фигуры, имеющие одинаковые размеры и форму, называются равными фигурами.

Из этого определения следует, например, что если прямоугольник и квадрат имеют равные площади, то это не значит, что они являются равными фигурами, так как это разные по форме фигуры.

Другой пример: любые две окружности имеют одну и ту же форму, но если их радиусы различны, то это тоже не равные фигуры, так как не совпадают их размеры.

Равными фигурами являются, например, два отрезка одинаковой длины, два круга с одинаковым радиусом, два прямоугольника с попарно равными сторонами.

Следует отметить, что не все фигуры можно сравнивать. Нельзя определить равенство прямых, т. к. любая прямая бесконечна и, следовательно, все прямые, можно сказать, равны между собой. То же самое касается лучей. Хотя у них есть начало, но нет конца.

Если же мы имеем дело с произвольными фигурами, то иногда даже сложно определить, имеют ли они одинаковую форму. Таким образом, нужно иметь надежный метод сравнения фигур. Он заключается в следующем: две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

Но как быть в том случае, когда, скажем, длина стороны треугольника равна  км? В данном случае можно воспользоваться признаками равенства треугольников, которые мы рассматривали на предыдущих уроках.

Смысл этих признаков в следующем: равенство трех элементов треугольников гарантирует равенство самих треугольников, а значит, и равенство остальных элементов, которые совместятся при наложении (биссектрис, высот, медиан).

А что если форму оставить без изменений, а все размеры пропорционально изменить (увеличить или уменьшить в одинаковое количество раз)?

Рассмотрим данную ситуацию на примере треугольника.

Пример 1

Пусть дан правильный треугольник  со стороной  (см. рис. 1).

Рис. 1. Правильный треугольник

Уменьшив стороны треугольника  в  раза, получим правильный треугольник  со стороной  (см. рис. 2). То есть форма треугольника осталась прежней, а все размеры изменились (уменьшились) в  раза. Докажем это.

Рис. 2. Правильный треугольник  с уменьшенными сторонами

Доказательство:

Такой треугольник мы уже встречали на предыдущих уроках. Это треугольник, вершины которого лежат на серединах сторон исходного треугольника (см. рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к доказательству

То есть из исходного правильного треугольника мы получили другой правильный треугольник, длина стороны которого уменьшилась в  раза.

Такие треугольники в геометрии называются подобными.

Обозначение:.

Коэффициент подобия – это число, равное отношению сходственных сторон в подобных фигурах. В нашем случае коэффициент подобия равен .

Обозначение:.

Пример 2

Дом на большом расстоянии имеет форму прямоугольника. Если постепенно приближаться к нему можно заметить, что его форма не меняется, но его размеры увеличиваются. Из этого можно сделать вывод, что его размеры изменяются в одинаковое число раз. Это ещё один пример подобных фигур.

Пример 3

Подобие фигур также используется при нанесении местности на карту. Возьмем, например, Крым и его изображение на карте с масштабом . Понятно, что форма Крыма на карте аналогична реальной форме, но размеры изменены в  раз.

Таковы при­ме­ры подобных фигур – фигур, ко­то­рые имеют оди­на­ко­вую форму, но раз­ные раз­ме­ры. При­чем раз­ме­ры из­ме­ня­ют­ся в одно и то же число раз.

Можно сформулировать признаки подобия треугольников. Эти признаки позволяют по некоторой информации об исходных треугольниках получить более подробную (дополнительную) информацию о них.

Пример 4

Пусть есть  подобных треугольника  с коэффициентом подобия . Тогда можно утверждать, что соотношение длин соответствующих сторон треугольников пропорционально . То есть: . Как и в случае признаков равенства, гарантируется пропорциональность соответствующих элементов треугольников (медиан, биссектрис, высот и т.д.).

Рассмотрим еще один подобный пример.

Пример 5

Предположим, что коэффициент подобия треугольников  и  равен . Тогда для них можно записать следующее соотношение: . Из этого следует, что . Как мы уже знаем, по третьему признаку эти треугольники будут равными (Второй и третий признаки равенства треугольников). Отсюда можно сделать вывод, что равенство фигур является частным случаем подобия фигур с коэффициентом .

Признаки подобия фигур, в частности признаки подобия треугольников, являются полезными приемами в математике, они применяются для упрощения и решения множества задач. Однако для изучения этих признаков необходимо перевести некоторые понятия на строгий математический язык. 

Пропорциональные отрезки

Понятия «отношение» и «пропорциональность» играют важную роль в изучении признаков подобия фигур.

Для начала рассмотрим понятие отношения отрезков на примере отрезков  и  (см. рис. 4).

Рис. 4. Отрезки  и

Определение

Отношение длин отрезков  и  называется отношением отрезков  и .

Рассмотрим задачу на данное определение.

Задача 1

Дано

Два отрезка  и

Найти

Отношение отрезков  и

Решение

Поскольку отношение отрезков – это отношение длин соответствующих отрезков, то имеем:

Ответ:.

Отметим, что отношение отрезков – это безразмерная величина.

Теперь предположим, что отношение пары отрезков   и   равно отношению пары других отрезков  и . Это записывается следующим образом:

В таком случае говорят о пропорциональности отрезков. А именно: отрезки  и   пропорциональны отрезкам  и  соответственно.

По свойству пропорции  и  можно поменять местами: . От этого смысл выражения не поменяется.

Пропорциональные отрезки встречаются в формулировке обобщенной теоремы Фалеса (Задачи на параллелограмм).

Теорема Фалеса

Стороны угла рассекаются параллельными прямыми на пропорциональные части (см. рис.5). То есть:

Аналогичное соотношение можно записать и для суммы длин отрезков:

Рис. 5. Иллюстрация к теореме Фалеса

Рассмотрим два треугольника  и , у которых соответствующие углы равны (см. рис. 6):

Рис. 6. Треугольники с равными углами

Стороны, которые лежат против равных углов треугольников, называются сходственными.

Перечислим сходственные стороны:  и  (лежат против равных углов  ),  и  (лежат против равных углов  ),  и  (лежат против равных углов  ).

Определение

Два треугольника  и  называются подобными, если соответствующие углы равны, а сходственные стороны – пропорциональны:

Причем  , где  – это коэффициент подобия треугольников.

Оказывается, можно ограничиться лишь некоторыми из этих равенств чтобы гарантировать факт подобия. В этом заключается суть признаков подобия треугольников, которые подробно будут рассмотрены на следующих уроках.

Можно заметить, что пропорциональные отрезки играют важную роль в определении подобных треугольников. Рассмотрим задачу на пропорциональность отрезков.

Задача на пропорциональность отрезков

Теорема

Биссектриса угла треугольника рассекает противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Докажем эту теорему.

Дано

Произвольный треугольник ,  – биссектриса угла .

Доказать

Доказательство

Запишем выражения для площадей образовавшихся треугольников   и . Для этого опустим высоту из вершины .Выполним рисунок к задаче (см. рис. 1).

Рис. Иллюстрация к доказательству теоремы

Поскольку площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту получаем: , . Теперь найдем отношение этих площадей:

С другой стороны, биссектриса – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла. Этим свойством обладают все точки, принадлежащие биссектрисе, в том числе точка . Поэтому расстояние от точки  до сторон одинаковое, обозначим его . Тогда высоты треугольников   и , опущенные к соответствующим основаниям  и , равны . Можно переписать отношение площадей этих треугольников:

Левые части этих двух равенств равна, значит и правые часть также равны:

Теорема доказана.

На данном уроке мы рас­смот­ре­ли по­до­бие фигур, вспомнили признаки равенства треугольников, дали опре­де­ле­ние по­доб­ным тре­уголь­ни­кам. Вспом­ни­ли о про­пор­ци­о­наль­но­сти от­рез­ков, тео­ре­му Фа­ле­са и их роль в ре­ше­нии дан­ных задач.

Спи­сок ре­ко­мен­до­ван­ной ли­те­ра­ту­ры

  1. Алек­сан­дров А.Д. и др. Гео­мет­рия, 8 класс. – М.: Про­све­ще­ние, 2006.
  2. Бу­ту­зов В.Ф., Ка­дом­цев С.Б., Пра­со­лов В.В. Гео­мет­рия, 8 класс. – М.: Про­све­ще­ние, 2011.
  3. Мерз­ляк А.Г., По­лон­ский В.Б., Якир С.М. Гео­мет­рия, 8 класс. – М.: ВЕН­ТА­НА-ГРАФ, 2009.

Ре­ко­мен­до­ван­ные ссыл­ки на ре­сур­сы сети Ин­тер­нет:

  1. Интернет-портал «egemaximum.ru» (Источник)
  2. Интернет-портал «ru.solverbook.com» (Источник)
  3. Интернет-портал «math10.com» (Источник)

До­маш­нее за­да­ние

  1. Могут ли быть по­доб­ны­ми: а) пря­мо­уголь­ный и рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ни­ки; б) рав­но­бед­рен­ный и рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ни­ки; в) тре­уголь­ник с углом  и тре­уголь­ник с углом ?
  2. Из от­рез­ков дли­ной , , , ,  и  см со­ста­ви­ли два по­доб­ных между собой тре­уголь­ни­ка. Най­ди­те ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия этих тре­уголь­ни­ков.

Источник: https://interneturok.ru/lesson/geometry/8-klass/podobnye-treugolniki/podobie-obschih-figur

Равные фигуры

Фигуры не равны. Какие две фигуры называют равными

Цель: формирование понятия “равные фигуры”.

Задачи:

  • сформировать способность к фиксированию понятия “равные фигуры”, к фиксированию умения нахождения равных фигур;
  • развивать математическую речь, геометрическое мышление; тренировать мыслительные операции;
  • совершенствовать навыка счета в пределах 9;
  • воспитывать в учащихся дисциплинированность, умение совместной деятельности.
  • Ход урока

    1. Организационный момент

    Вступительное слово учителя.

    Пираты – это морские разбойники, главной их цель всегда была поиск клада. Мы будем добрыми пиратами и отправимся в морское путешествие на поиски нашего клада. Мне в руки попала старинная пиратская карта.

    Она очень запутанная, на ней отмечено множество островов, чтобы запутать искателей, но нужно попасть на остров, на котором спрятаны сокровища. Чтобы его найти, нам нужно будет преодолеть множество препятствий. Вы готовы? Тогда в путь.

    Путешествовать мы будем на корабле.

    Отправляемся на первый остров.

    2. Устные счет

    Итак, следуя нашей карте, мы оказались на острове под названием “Устный счет”. И чтобы двинуться дальше, нам необходимо выполнить задания:

    – назови соседей чисел: 3, 6, 8;

    – заполни пропуски:

    7,….,….,….,…, 12

    10,…,…., 7,….,…,….,…., 2

    реши пример по числовому отрезку.

    3. Актуализация знаний

    Следующий остров, встретившийся нам на пути, это “Геометрический остров”. Он таит в себе свои тайны и загадки, которые нам необходимо раскрыть!

    Задания.

    – Ребята нужно вспомнить и нарисовать все известные нам геометрические фигуры. (Круг, квадрат, ромб, овал, прямоугольник)

    – Посмотрите на рисунок, какие фигуры изображены?

    – По каким признакам можно разбить все фигуры на группы? (Цвет, форма, размер). Назови эти группы.

    4. Ознакомление с новым материалом

    Мы удачно справились с заданием и можем отправиться на следующий остров. На третьем острове я нашла тайные послания для нас с вами. У каждого на парте есть конверт.

    Давайте откроем их и посмотрим, какое на этот раз испытание нас ждёт.

    (В каждом конверте находятся большой и маленький зеленый квадрат, большой и маленький синий треугольник, большой и маленький желтый прямоугольник, два красных круга одинакового размера)

    – Ребята, вспомним, по каким признакам делятся все фигуры? (Цвет, форма, размер)

    Задание: разбейте по парам фигуры, находящиеся в конверте, так, чтобы менялся только один признак – размер.

    – Смогли ли вы разбить все предметы по парам? (Нет)

    – Почему? (Потому что два круга одинаковы по размеру, цвету и форме)

    – Докажите, что эти фигуры одинаковы. (Наложением)

    – Давайте подумаем, как можно такие фигуры назвать? (Из предложенных вариантов учитель выбирает понятие “равные фигуры”)

    – Итак, ребята, тема нашего урока “Равные фигуры”. (Тема фиксируется на доске)

    Давайте поближе познакомимся с ними. Для этого нам нужно отправиться на следующий остров, который так и называется: “Равные фигуры”.

    Прибыв на остров, я сразу заметила на песке различные фигуры, зарисовала их, так как волна могла в любой момент их смыть.

    – Посмотрите на доску, вот эти фигуры:

    – Если среди них равные? (Дети сначала определяют визуально равные фигуры, затем к доске вызывается ученик)

    – Как мы узнаем, действительно эти фигуры равны или нет? (Путем наложения одной фигуры на другую). Выполняется практическое действие.

    – Итак, какие же фигуры мы можем назвать равными? (Равными фигурами являются те, которые совпадают при наложении).

    – Определим, какие признаки у равных фигур должны совпадать.

    Под темой урока на доске фиксируется краткая запись рассуждений детей.

    ФФ

    РР

    ЦилиЦ

    (Равные фигуры всегда одинаковой формы и одинакового размера, а цвет может различаться)

    Далее к доске приглашаются три ученика, каждому учитель выдаёт большую модель фигуры. Весь класс участвует в обсуждении.

    – Как вы считаете, 1 и 2 фигуры – равные?

    – Как мы это проверим? (Ученики совмещают фигуры и убеждаются, что они равны)

    – А как вы думаете, 2 и 3 фигуры равны? (Выполняется аналогичная работа)

    – Ребята, а 1 и 3 фигура равны?

    – Почему? (Они обе равны фигуре 2, значит, равны друг другу)

    – Давайте проверим наложением.

    Ребята делают вывод, учитель кратко фиксирует на доске 1=2 и 2=3, то 1=3 (Если первая фигура равна второй, а вторая третьей, то первая фигура равна третьей)

    – У меня возникла проблема, а если я не могу наложить фигуры, например, они нарисованы в тетради, как проверить, равны они или нет? (Можно посчитать по клеткам)

    Отправляемся на следующий остров.

    5. Первичное закрепление

    Работа с учебником.

    1) Стр. 36 №1. Найди равные фигуры и раскрась их одинаковым цветом. Работа выполняется по вариантам:

    1 вариант – №1 а)

    2 вариант – №1 б)

    – Ребята, и с этим заданием вы справились, но продолжить наше путешествие мы не можем, корабль наткнулся на риф, нам необходимо его снова собрать. Потому что по карте последний остров именно тот, который нам нужен!

    2) Стр. 36 №2.

    6. Повторение пройденного

    Вы сегодня были храбры и не боялись сложных испытаний, которые встречались нам на островах. И в награду за это вы можете стать учителями-капитанами корабля. Но быть капитаном не просто, вам нужно многое знать и уметь, поэтому постарайтесь справиться со следующими заданиями:

    1) Учащимся предлагается стать учителем: придумать задание к рисунку, проконтролировать выполнение, оценить.

    2) Раздаются карточки. Нужно найти все ошибки. Взаимопроверка по парам.

    8=8     4+3=8     8-2>8-3

    7>4     3+1

    Источник: https://urok.1sept.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/600047/

    Мед-Центр Здоровье
    Добавить комментарий