Египетская система нумерации. Математика в Древнем Египте: знаки, цифры, примеры

Египетские цифры от 1 до 1000. Математика в Древнем Египте: знаки, цифры, примеры

Египетская система нумерации. Математика в Древнем Египте: знаки, цифры, примеры
Официальный язык современного Египта – так называемый “высокий” арабский.

Арабское письмо, включая диалектное, пишется и читается справа налево.

Заглавных букв нет нигде – даже в именах собственных и географических названиях. Но будьте осторожны: цифры пишутся и читаются слева направо.

Если хотите разобраться в монетах и ценах, лучше выучите арабские числа, а не то, что мы привыкли называть арабскими цифрами.

При более детальном изучении вопроса оказывается, что наши “арабские” цифры частично, но далеко не полностью произошли от настоящих арабских цифр.

Как утверждают некоторые источники цифры 2, 3, 7 произошли от арабских путем поворота их на 90 градусов для большего удобства записи. Если сильно не придираться, то похоже на правду.

Цифры 1 и 9 также имеют арабское происхождение, и никакие повороты их написание не затронули. Действительно, тут сходство очевидно, чего не скажешь про 4, 5, 6, и 8.

Иногда кажется, что математические символы являются вненациональным научным инструментом, общим и единым для всех стран и народов.

Однако, наши “арабские” цифры отличаются как Вы уже поняли от “арабских” цифр в Египте. Европейская позиционная система записи цифр от старших разрядов к младшим, слева направо, также не единственная. На Востоке используется также система записи цифр справа – налево. В Египте цифры пишутся и читаются слева направо, так же как и у нас.

Автомобильные номера в Египте с настоящими арабскими цифрами.

На дорожных указателях и в названиях улиц часто используется и арабский и латинский шрифт.

Арабский алфавит – алфавит, используемый для записи арабского языка и (чаще всего в модифицированном виде) некоторых других языков, в частности персидского и некоторых тюркских языков.

Он состоит из 28 букв и используется для письма справа налево. Арабский алфавит произошёл от финикийского алфавита включив в себя все его буквы и добавив к ним буквы отражающие специфически арабские звуки.

Это буквы – са, ха, заль, дад, за, гайн.

Буквы имеют четыре графические позиции (начертания, написания):

  • самостоятельную (обособленную, изолированную от других букв), когда буква не имеет соединения ни справа от себя, ни слева;
  • начальную, то есть имеющую соединение только слева (кроме алиф, заль, даль, зейн, pa, вав);
  • срединную, то есть имеющую соединение и справа, и слева;
  • конечную (с соединением только с правой стороны).

Буква “алиф” в изолированном состоянии не передаёт звуков, то есть не обозначает самостоятельных звуков, не имеет произношения. Она имеет только правостороннее соединение, то есть не имеет левостороннего соединения. Только правостороннее соединение имеют также буквы “вав”, “даль”, “заль”, “pa”, “зейн”. Те же нормы действуют и в египетском диалекте.

Обозначение согласных

Каждая из 28 букв, кроме буквы алиф, обозначает один согласный. Начертание букв меняется в зависимости от расположения внутри слова. Все буквы одного слова пишутся слитно, за исключением шести букв (алиф, даль, заль, ра, зай, вав), которые не соединяются со следующей буквой.

“Алиф” – единственная буква арабского алфавита, не обозначающая никакой согласный звук. В зависимости от контекста, она может использоваться для обозначения долгого гласного а, либо как вспомогательный орфографический знак, не имеющий собственного звучания.

Обозначение гласных

Три долгих гласных звука арабского языка обозначаются буквами “алиф”, “вав”, “йа”. Краткие гласные на письме, как правило, не передаются. В случаях, когда необходимо передать точное звучание слова (например, в Коране и в словарях), для обозначения гласных звуков используются надстрочные и подстрочные огласовки (харакат).

28 букв, приведённых выше, называются хуруф. Кроме них, в арабском письме используется ещё три дополнительных знака, не являющихся самостоятельными буквами алфавита.

1. Хамза (гортанная смычка) может писаться как отдельная буква, либо на букве-“подставке” (“алиф”, “вав” или “йа”). Способ написания хамзы определяется её контекстом в соответствии с рядом орфографических правил. Вне зависимости от способа написания, хамза всегда обозначает одинаковый звук.

2. Та-марбута (“завязанная та”) является формой буквы та. Она пишется только в конце слова и только после огласовки фатха. Когда у буквы та-марбута нет огласовки (например, в конце фразы), она читается как буква ха. Обычная форма буквы та называется “открытая та”.

3. Алиф-максура (“укороченный алиф”) является формой буквы алиф. Она пишется только в конце слова, и сокращается до краткого звука а перед алиф-васла следующего слова (в частности, перед приставкой аль-). Обычная форма буквы алиф называется “удлинённый алиф”.

С непозиционной египетской системой счисления, которая употреблялась в Древнем Египте, нас наглядно знакомят немногие сохранившиеся папирусы. Примеры задач и их решения в них настолько интересны, что остается только сожалеть, что их так мало.

Из них видно, что математика и египетская система счисления были тесно связаны с хозяйственными нуждами и практическим применением. Каждый год после разлива Нила приходилось восстанавливать строения, заново межевать земельные наделы, рассчитывая площадь и границы, вести учет урожая, календарь.

Что такое позиционная и непозиционная системы счислений?

Ответ таится в самом названии. Если позиция цифры влияет на результат вычислений, перед нами позиционная система чисел, если нет – непозиционная.

Если мы пишем 12 – это двенадцать, а с теми же цифрами 21 – это двадцать один. По египетской системе счисления: чтобы написать 12, понадобится использовать два раза символ единицы и один раз символ десятки, а 21 будет выглядеть как один знак единицы и два знака десятки, то есть всего надо написать три знака.

К непозиционным относятся: знакомая нам римская система, в которой цифры обозначались римскими буквами, славянская система, где также каждая буква обозначала какую-то цифру или число. Римская система справлялась со своими функциями в Западной Европе до 16 века.

Используемая нами система счисления в современной жизни – позиционная десятичная система.

Непозиционные системы хорошо подходили для выполнения простых арифметических действий, так как сложные вычисления предполагали громоздкие записи, что не мешало в Древнем Египте успешному развитию алгебры и геометрии.

Как считали египтяне?

Что это такое – египетская система счисления? Чтобы написать какое-либо число, использовали иероглифы, обозначавшие определенные числа, сумма которых равнялась нужному значению.

Специальные обозначения имелись для чисел 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000. При написании нужного числа каждое обозначение использовалось до 9 раз. Запись в египетской системе счисления шла по возрастанию: вначале единицы, потом десятки, сотни и так далее.

Причем писали, как правило, справа налево, но можно было и слева направо, сумма от этого не менялась. Использовалось и вертикальное написание, но тогда отсчет шел сверху вниз.

Использовалось два способа написания:

  1. Иероглифический, в котором употреблялись принятые иероглифы.
  2. Иератический, который являлся более схематичным и удобным на практике.

Экскурс в историю

История египетской системы счисления возникла в глубокой древности, первые рукописи с цифрами относятся ко второму тысячелетию до нашей эры. Денег тогда не было, поэтому система использовалась как для невероятных по сложности и величию математических задач, так и для решения ежедневных бытовых вопросов.

Ведь знание математики использовалось и при межевании земель, и при построении календарей, карт в астрономии, мореплавании, при строительстве дворцов, каналов и военных укреплений.

Египетская непозиционная система счисления применялась до 10 века нашей эры.

Она имела и мистическое значение, тайну которого унесли с собой жрецы, но частично приоткрыл миру Пифагор. У него есть труды, в которых он описывает символические значения, которые придаются цифровым иероглифам, написанные им после пребывания в Египте. Поэтому относят их описание к египетской системе счисления.

Сохранилось всего несколько папирусов тех времен, по которым можно понять, что уровень математики был высокий. Достоверно известно, что греки изучали древнеегипетскую математику. Одним из сокровенных знаний является египетская непозиционная система счисления.

Папирус Ахмеса

Папирус Ахмеса датируется 1650 г. до н.э., содержит 84 математические задачи. Он был найден в Фивах, хранится в Британском музее.

Все задачи в папирусе рассмотрены на конкретных примерах египетской системы счисления. В них показываются примеры расчетов с дробями, с целыми числами, делением и умножением.

Даны расчеты для нахождения площадей геометрических фигур: четырехугольника, круга, треугольника.

Сведения из папируса доказывают, что египетские математики умели извлекать корень, составлять арифметическую и геометрическую прогрессию, уравнения с неизвестными.

Аликвотные дроби

Интересно, что в расчетах использовались только аликвотные дроби, в которых числитель равнялся единице и обозначался таким знаком, а под ним писались значения знаменателя, а все другие дроби для расчетов вначале нужно было разложить до аликвотных. Но использовались и имели специальное обозначение дроби 2/3 и 3/4.

Для приведения обычных дробей в состояние аликвотных по египетской системе счисления нужно было потрудиться:

4/5 = 16/20 = 10/20 + 5/20 + 1/20 = 1/2+1/4 + 1/20

2/5 = 1/5 + 1/5, 2/7 = 1/4 + 1/28

Источник: https://buildinng.ru/cottage/egipetskie-cifry-ot-1-do-1000-matematika-v-drevnem-egipte-znaki-cifry.html

Математика в Древнем Египте: знаки, цифры, примеры

Египетская система нумерации. Математика в Древнем Египте: знаки, цифры, примеры

Зарождение математических знаний у древних египтян связано с развитием хозяйственных потребностей.

Без математических навыков древнеегипетские писцы не могли бы обеспечивать проведение землемерных работ, рассчитывать количество рабочих и их содержание или производить раскладку налоговых отчислений.

Так что появление математики можно приурочить к эпохе возникновения самых ранних государственных образований на территории Египта.

Египетские числовые обозначения

Десятичная система счета в Древнем Египте сложилась на основе использования для подсчета предметов количества пальцев на обеих руках. Числа от одного до девяти обозначались соответствующим количеством черточек, для десятков, сотен, тысяч и так далее существовали особые иероглифические знаки.

Вероятнее всего, цифровые египетские символы возникли как результат созвучия того или иного числительного и названия какого-либо предмета, ведь в эпоху становления письменности знаки-пиктограммы имели строго предметное значение. Так, например, сотни обозначались иероглифом, изображающим веревку, десятки тысяч – изображением пальца.

В эпоху Среднего царства (начало II тысячелетия до н. э.) появляется более упрощенная, удобная для письма на папирусе иератическая форма письменности, соответствующим образом меняется и написание цифровых знаков. Знаменитые математические папирусы написаны иератическим письмом. Иероглифика применялась в основном для настенных надписей.

Система древнеегипетской нумерации не менялась на протяжении тысяч лет. Позиционного способа записи чисел древние египтяне не знали, поскольку не подошли еще к понятию нуля не только как самостоятельной величины, но и просто как отсутствия количества в определенном разряде (этой начальной ступени достигла математика в Вавилоне).

Египтяне имели понятие о дробях и умели производить некоторые операции с дробными числами.

Египетские дроби представляют собой числа вида 1/n (так называемые аликвотные дроби), поскольку дробь представлялась египтянами как одна часть чего-либо. Исключением являются дроби 2/3 и 3/4.

Неотъемлемым элементом записи дробного числа был иероглиф, переводимый обычно как «один из (некоторого количества)». Для наиболее употребительных дробей существовали особые знаки.

Дробь, числитель которой отличен от единицы, египетский писец понимал буквально, как несколько частей какого-либо числа, и буквально же записывал. Например, дважды подряд 1/5, если требовалось изобразить число 2/5. Так что египетская система дробей была весьма громоздка.

Интересно, что один из священных символов египтян – так называемое «око Хора» – также имеет математический смысл.

Один из вариантов мифа о схватке между божеством ярости и разрушения Сетом и его племянником солнечным богом Хором гласит, что Сет выбил Хору левый глаз и разорвал или растоптал его. Боги восстановили глаз, но не полностью.

Око Хора олицетворяло разные аспекты божественного порядка в мироустройстве, такие как идея плодородия или власть фараона.

Изображение ока, почитавшегося как амулет, содержит элементы, обозначающие особый ряд чисел. Это дроби, каждая из которых вдвое меньше предыдущей: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 и 1/64. Символ божественного глаза, таким образом, представляет их сумму – 63/64.

Некоторые историки-математики полагают, что в этом символе отражено понятие египтян о геометрической прогрессии. Составные части изображения ока Хора использовались в практических расчетах, например при измерении объема сыпучих веществ, таких как зерно.

Метод, которым пользовались египтяне при выполнении простейших арифметических операций, состоял в подсчете итогового количества символов, обозначающих разряды чисел.

Единицы складывались с единицами, десятки с десятками и так далее, после чего производилась окончательная запись результата.

Если при суммировании получалось более десяти знаков в каком-либо разряде, «лишний» десяток переходил в высший разряд и записывался соответствующим иероглифом. Вычитание производилось таким же способом.

Без применения таблицы умножения, которой египтяне не знали, процесс вычисления произведения двух чисел, особенно многозначных, был чрезвычайно громоздким. Как правило, египтяне пользовались методом последовательного удвоения.

Один из множителей раскладывался на сумму чисел, которые мы сегодня назвали бы степенями двух. Для египтянина это означало количество последовательных удвоений второго множителя и итоговое суммирование результатов.

Например, умножая 53 на 46, египетский писец разложил бы 46 на сумму 32 + 8 + 4 + 2 и составил бы табличку, которую вы можете видеть ниже.

* 153
* 2106
* 4212
* 8424
* 16848
* 321696

Суммируя результаты в отмеченных строках, он получил бы 2438 – столько же, сколько и мы сегодня, но иным способом. Интересно, что такой двоичный метод умножения применяется в наше время в вычислительной технике.

Иногда, помимо удвоения, число могли умножать на десять (поскольку использовалась десятичная система) или на пять, как на половину десятки. Вот еще один пример на умножение с записью египетскими символами (косой черточкой помечались складываемые результаты).

Операция деления производилась также по принципу удвоения делителя. Искомое число при умножении на делитель должно было дать указанное в условии задачи делимое.

Математические знания и навыки египтян

Известно, что египтяне знали возведение в степень, а также применяли обратную операцию – извлечение квадратного корня. Кроме того, они имели представление о прогрессии и решали задачи, сводящиеся к уравнениям.

Правда, уравнения как таковые не составлялись, так как еще не сложилось понимание того, что математические отношения между величинами носят универсальный характер.

Задачи группировались по тематике: размежевание земель, распределение продуктов и так далее.

В условиях задач присутствует неизвестная величина, которую требуется найти. Она обозначается иероглифом «множество», «куча» и является аналогом величины «икс» в современной алгебре.

Условия часто излагаются в форме, которая, казалось бы, просто требует составления и решения простейшего алгебраического уравнения, например: «куча» складывается с 1/4, также содержащей «кучу», и получается 15.

Но египтянин не решал уравнение x + x/4 = 15, а подбирал искомую величину, которая удовлетворяла бы условиям.

Значительных успехов математика Древнего Египта достигла в решении геометрических задач, связанных с потребностями строительства и землемерных работ. О круге задач, которые стояли перед писцами, и о способах их решения мы знаем благодаря тому, что сохранилось несколько письменных памятников на папирусе, содержащих примеры вычислений.

Древнеегипетский задачник

Один из наиболее полных источников по истории математики в Египте – так называемый математический папирус Ринда (по имени первого владельца). Он хранится в Британском музее в виде двух частей. Небольшие фрагменты также есть в музее Нью-Йоркского исторического общества. Его также называют папирусом Ахмеса – по имени писца, переписавшего этот документ около 1650 года до н. э.

Папирус представляет собой сборник задач с решениями. Всего он содержит более 80 математических примеров по арифметике и геометрии.

Например, задача на равное распределение между 10 работниками 9 хлебов решалась так: 7 хлебов делятся на 3 части каждый, и работникам выдается по 2/3 хлеба, при этом в остатке имеем 1/3.

Два хлеба делятся на 5 частей каждый, выдается по 1/5 на человека. Оставшуюся треть хлеба делят на 10 частей.

Есть задача и на неравное распределение 10 мер зерна между 10 людьми. В результате образуется арифметическая прогрессия с разностью 1/8 меры.

Задача на геометрическую прогрессию носит шуточный характер: в 7 домах живет по 7 кошек, каждая из которых съела по 7 мышей. Каждая мышь съела 7 колосков, каждый колос приносит 7 мер хлеба. Нужно вычислить общее количество домов, кошек, мышей, колосьев и хлебных мер. Оно составляет 19607.

Немалый интерес представляют математические примеры, демонстрирующие уровень знаний египтян в области геометрии. Это нахождение объема куба, площади трапеции, вычисление наклона пирамиды.

Наклон выражался не в градусах, а рассчитывался как отношение половины основания пирамиды к ее высоте. Эта величина, аналогичная современному котангенсу, называлась «секед».

Основными единицами длины служили локоть, составлявший 45 см («царский локоть» – 52,5 см) и хет – 100 локтей, основная единица площади – сешат, равный 100 квадратным локтям (около 0,28 Га).

Египтяне успешно справлялись с вычислением площадей треугольников, применяя способ, аналогичный современному.

Вот задача из папируса Ринда: чему равна площадь треугольника, имеющего высоту 10 хет (1000 локтей) и основание 4 хета? В качестве решения предлагается десять умножить на половину от четырех.

Мы видим, что метод решения абсолютно верный, подается в конкретном численном виде, а не в формализованном – умножить высоту на половину основания.

Весьма интересна задача на вычисление площади круга. Согласно приведенному решению, она равна величине 8/9 диаметра, возведенной в квадрат.

Если теперь из полученной площади вычислить число «пи» (как отношение учетверенной площади к квадрату диаметра), то оно составит около 3,16, то есть довольно близко к истинной величине «пи».

Таким образом, египетский способ решения площади круга был достаточно точным.

Московский папирус

Еще один важный источник наших знаний об уровне математики у древних египтян – Московский математический папирус (он же папирус Голенищева), хранящийся в Музее изобразительных искусств им. А. С. Пушкина. Это тоже задачник с решениями.

Он не так обширен, содержит 25 задач, но имеет более древний возраст – примерно на 200 лет старше папируса Ринда.

Большинство примеров в папирусе – геометрические, в том числе задача на вычисление площади корзины (то есть криволинейной поверхности).

В одной из задач приведен способ нахождения объема усеченной пирамиды, совершенно аналогичный современной формуле. Но поскольку все решения в египетских задачниках имеют «рецептурный» характер и приводятся без промежуточных логических этапов, без всякого объяснения, остается неизвестным, каким образом египтяне нашли эту формулу.

Астрономия, математика и календарь

Древнеегипетская математика связана и с календарными вычислениями, основанными на повторяемости некоторых астрономических явлений. Прежде всего, это предсказание ежегодного подъема Нила.

Египетские жрецы заметили, что начало разлива реки на широте Мемфиса обычно совпадает с днем, когда на юге перед восходом Солнца становится виден Сириус (большую часть года эта звезда на данной широте не наблюдается).

Первоначально простейший сельскохозяйственный календарь не был привязан к астрономическим событиям и основывался на простом наблюдении сезонных изменений.

Затем он получил точную привязку к восходу Сириуса, а вместе с ней появилась возможность уточнения и дальнейшего усложнения.

Без математических навыков жрецы не могли бы уточнять календарь (впрочем, окончательно устранить недостатки календаря египтянам так и не удалось).

Не менее важным было умение выбрать благоприятные моменты для проведения тех или иных религиозных празднеств, также приуроченных к различным астрономическим феноменам. Так что развитие математики и астрономии в Древнем Египте, безусловно, связано с ведением календарных расчетов.

Кроме того, математические знания требуются для хронометрии при наблюдении звездного неба. Известно, что такими наблюдениями занималась особая группа жрецов – «распорядители часов».

Неотъемлемая часть ранней истории науки

При рассмотрении особенностей и уровня развития математики в Древнем Египте видна существенная незрелость, так и не преодоленная за три тысячи лет существования древнеегипетской цивилизации.

До нас не дошли сколько-нибудь информативные источники эпохи становления математики, и мы не знаем, как оно происходило.

Но ясно, что после некоторого развития уровень знаний и навыков застыл в «рецептурной», предметной форме без признаков прогресса на многие сотни лет.

По-видимому, устойчивый и однообразный круг вопросов, решаемых при помощи уже сложившихся методов, не создавал «спроса» на новые идеи в математике, которая и так справлялась с решением задач строительства, сельского хозяйства, налогообложения и распределения, примитивной торговли и обслуживания календаря и ранней астрономии. Кроме того, архаическое мышление не требует формирования строгой логической, доказательной базы – оно следует рецептуре как ритуалу, и это также сказалось на застойном характере древнеегипетской математики.

Вместе с тем необходимо заметить, что научное знание вообще и математика в частности делали еще первые шаги, а они всегда самые трудные.

В примерах, которые демонстрируют нам папирусы с задачами, уже видны начальные ступени обобщения знаний – пока без попыток формализации.

Можно сказать, что математика Древнего Египта в том виде, как мы ее знаем (из-за недостаточности источниковой базы по позднему периоду древнеегипетской истории) – это еще не наука в современном понимании, но самое начало пути к ней.

Источник: https://FB.ru/article/381369/matematika-v-drevnem-egipte-znaki-tsifryi-primeryi

Математика в Древнем Египте – Энциклопедия Древнего Египта

Египетская система нумерации. Математика в Древнем Египте: знаки, цифры, примеры

анная статья посвящена состоянию и развитию математики в Древнем Египте в период примерно с XXX по III век до н. э. Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II тысячелетия до н. э.

Математика тогда использовалась в астрономии, мореплавании, землемерии, при строительстве зданий, плотин, каналов и военных укреплений. Денежных расчётов, как и самих денег, в Египте не было. Египтяне писали на папирусе, который сохраняется плохо, и поэтому наши знания о математике Египта существенно меньше, чем о математике Вавилона или Греции.

Вероятно, она была развита лучше, чем можно представить, исходя из дошедших до нас документов — известно, что греческие математики учились у египтян.

Нам ничего не известно о развитии математических знаний в Египте как в более древние, так и в более поздние времена. После воцарения Птолемеев начинается чрезвычайно плодотворный синтез египетской и греческой культур.

1. Источники

Часть папируса Ахмеса. Задачи с 49 по 55.

Основные сохранившиеся источники относятся к периоду Среднего царства, времени расцвета древнеегипетской культуры:

  • Папирус Ахмеса или папирус Ринда — наиболее объёмный манускрипт, содержащий 84 математические задачи. Написан около 1650 г. до н. э.
  • Московский математический папирус (25 задач), около 1850 г. до н. э., 544 × 8 см.
  • Так называемый «кожаный свиток», 25 × 43 см.
  • Папирусы из Лахуна (Кахуна), содержащие ряд фрагментов на математические темы.
  • Берлинский папирус, около 1300 года до н. э.
  • Каирские деревянные таблички (таблички Ахмима).
  • Папирус Рейснера, примерно XIX век до н. э.

От Нового царства до нас дошли несколько фрагментов вычислительного характера.

Авторы всех этих текстов нам неизвестны. Дошедшие до нас экземпляры — это в основном копии, переписанные в период гиксосов. Носители научных знаний тогда именовались писцами и фактически были государственными или храмовыми чиновниками.

Все задачи из папируса Ахмеса (записан ок. 1650 года до н. э.) имеют прикладной характер и связаны с практикой строительства, размежеванием земельных наделов и т. п. Задачи сгруппированы не по методам, а по тематике.

По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и аликвотными дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений, возведение в разные степени, определение среднего арифметического, арифметические прогрессии, решение уравнений первой и второй степени с одним неизвестным.

Полностью отсутствуют какие бы то ни было объяснения или доказательства. Искомый результат либо даётся прямо, либо приводится краткий алгоритм его вычисления.

Такой способ изложения, типичный для науки стран древнего Востока, наводит на мысль о том, что математика там развивалась путём индуктивных обобщений и гениальных догадок, не образующих никакой общей теории.

Тем не менее, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что математика в Древнем Египте тех лет имела или, по крайней мере, начинала приобретать теоретический характер.

Так, египетские математики умели извлекать корни и возводить в степень, решать уравнения, были знакомы с арифметической и геометрической прогрессией и даже владели зачатками алгебры: при решении уравнений специальный иероглиф «куча» обозначал неизвестное.

2. Нумерация (запись чисел)

Иероглифическая запись числа 35736

Древнеегипетская нумерация, то есть запись чисел, была похожа на римскую: поначалу были отдельные значки для 1, 10, 100, … 10 000 000, сочетавшиеся аддитивно (складываясь).

Египтяне писали справа налево, и младшие разряды числа записывались первыми, так что в конечном счёте порядок цифр соответствовал нашему.

В иератическом письме уже есть отдельные обозначения для цифр 1-9 и сокращённые значки для разных десятков, сотен и тысяч.

Любое число в Древнем Египте можно было записать двумя способами: словами и цифрами. Например, чтобы написать число 30, можно было использовать обычные иероглифы:

или то же самое написать цифрами (три символа десятки):

Иероглифы для изображения чисел

1101001,00010,000100,0001,000,000

Умножение египтяне производили с помощью сочетания удвоений и сложений. Деление заключалось в подборе делителя, то есть как действие, обратное умножению.

Особые значки обозначали дроби вида  1/n и 2/3. Однако общего понятия дроби m/n у них не было, и все неканонические дроби представлялись как сумма аликвотных дробей. Типовые разложения были сведены в громоздкие таблицы.

Примеры изображения часто встречающихся дробей

 1/2 1/3 2/3 1/4 1/5

Пример записи дробей из Папируса Ринда

Плита с гробницы принцессы Неферетиабет (2590—2565 до н. э., Гиза). Лувр

5 + 1⁄2 + 1⁄7 + 1⁄14 (= 5 5⁄7)

3.1. Знаки сложения и вычитания

Чтобы показать знаки сложения или вычитания использовался иероглиф

или

Если направление ног у этого иероглифа совпадало с направлением письма, тогда он означал «сложение», в других случаях он означал «вычитание».

3.2. Сложение

Если при сложении получается число большее десяти, тогда десяток записывается повышающим иероглифом.

Например: 2343 + 1671

+

Собираем все однотипные иероглифы вместе и получаем:

Преобразуем:

Окончательный результат выглядит вот так:

3.3. Умножение

Древнеегипетское умножение является последовательным методом умножения двух чисел. Чтобы умножать числа, им не нужно было знать таблицы умножения, а достаточно было только уметь раскладывать числа на кратные основания, умножать эти кратные числа и складывать.

Египетский метод предполагает раскладывание наименьшего из двух множителей на кратные числа и последующее их последовательное переумножение на второй множитель.

Этот метод можно и сегодня встретить в очень отдаленных регионах.

3.4. Разложение

Египтяне использовали систему разложения наименьшего множителя на кратные числа, сумма которых составляла бы исходное число.

Чтобы правильно подобрать кратное число, нужно было знать следующую таблицу значений:

1 x 2 = 2

2 x 2 = 4

4 x 2 = 8

8 x 2 = 16

16 x 2 = 32

Пример разложения числа 25:

Иероглифическая запись уравнения x(2/3 + 1/2 + 1/7 + 1) = 37

  • Кратный множитель для числа «25» — это 16.
  • 25 — 16 = 9,
  • Кратный множитель для числа «9» — это 8,
  • 9 — 8 = 1,
  • Кратный множитель для числа «1» — это 1,
  • 1 — 1 = 0

Таким образом «25» — это сумма трех слагаемых: 16, 8 и 1.

Пример: умножим «13» на «238»:

✔    1 х 238    = 238

✔    4 х 238    = 952

✔    8 х 238    = 1904

Итог: 13 х 238 = 3094

Известно, что 13 = 8 + 4 + 1. Каждое из этих слагаемых нужно умножить на 238. Получаем: 13 × 238 = (8 + 4 + 1) × 238 = 8 x 238 + 4 × 238 + 1 × 238 = 3094.

3.5. Уравнения

Пример задачи из папируса Ахмеса:

Найти число, если известно, что от прибавления к нему 2/3 его и вычитания из результата его трети получается 10.

4. Геометрия

Египетский треугольник

В области геометрии египтяне знали точные формулы для площади прямоугольника, треугольника, трапеции и сферы, могли высчитывать объемы параллелепипеда, цилиндра, конуса и пирамид. Площадь произвольного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d вычислялась приближённо как

S = ((a + c)/2) x ((b + d)/2);

эта грубая формула даёт приемлемую точность, если фигура близка к прямоугольнику.

Египтяне предполагали, что площадь круга S диаметром d равна площади квадрата, сторона которого составляет 8/9 диаметра:

S = (d – d/9)2 = ((8/9)d)2

Это правило соответствует значению ∏ = 4(8/9)2 ≈ 3,1605, (погрешность менее 1 %).

Ещё одна ошибка содержится в Акмимском папирусе: автор считает, что если радиус круга A есть среднее арифметическое радиусов двух других кругов B и C, то и площадь круга A есть среднее арифметическое площадей кругов B и C.

Вычисление объёма усечённой пирамиды: пусть мы имеем правильную усечённую пирамиду со стороной нижнего основания a, верхнего b и высотой h; тогда объём вычислялся по оригинальной, но точной формуле:

V = (a2 + ab + b2) x (h/3).

Реконструкция водяных часов по чертежам из Оксиринха

4.1. Египетский треугольник

Египетским треугольником называется прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5.

4.2. Объём усечённого конуса

Древний свиток папируса, найденный в Оксиринхе, свидетельствует, что египтяне могли вычислять объём усечённого конуса. Эти знания ими использовались для сооружения водяных часов. Так, например, известно, что при Аменхотепе III были построены водяные часы в Карнаке.

  • Сайт “Wikipedia – Свободная Энциклопедия”

Источник: https://www.egyptopedia.info/m/738-matematika

Египетская нумерация. Математические знания египтян

Египетская система нумерации. Математика в Древнем Египте: знаки, цифры, примеры

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Египетская нумерация. Математические знания египтян

f1. Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II тысячелетия до н. э. Математика тогда использовалась в астрономии, мореплавании, землемерии, при строительстве зданий, плотин, каналов и военных укреплений. Денежных расчётов, как и самих денег, в Египте не было.

Египтяне писали на папирусе, который сохраняется плохо, и поэтому наши знания о математике Египта существенно меньше, чем о математике Вавилона или Греции.

Вероятно, она была развита лучше, чем можно представить, исходя из дошедших до нас документов – известно, что греческие математики учились у египтян.

Нам ничего не известно о развитии математических знаний в Египте как в более древние, так и в более поздние времена. После воцарения Птолемеев начинается чрезвычайно плодотворный синтез египетской и греческой культур.

2. Основные сохранившиеся источники относятся к периоду Среднего царства, времени расцвета древнеегипетской культуры:

· Папирус Ахмеса или папирус Ринда – наиболее объёмный манускрипт, содержащий 84 математические задачи. Написан около 1650 г. до н. э.

· Московский математический папирус (25 задач), около 1850 г. до н. э., 544 Ч 8 см.

· Так называемый “кожаный свиток”, 25 Ч 43 см.

· Папирусы из Лахуна (Кахуна), содержащие ряд фрагментов на математические темы.

· Берлинский папирус, около 1300 года до н. э.

· Каирские деревянные таблички (таблички Ахмима).

· Папирус Рейснера, примерно XIX век до н. э.

3. От Нового царства до нас дошли несколько фрагментов вычислительного характера.

Авторы всех этих текстов нам неизвестны. Дошедшие до нас экземпляры – это в основном копии, переписанные в период гиксосов. Носители научных знаний тогда именовались писцами и фактически были государственными или храмовыми чиновниками.

4. Все задачи из папируса Ахмеса (записан ок. 1650 года до н. э.) имеют прикладной характер и связаны с практикой строительства, размежеванием земельных наделов и т. п. Задачи сгруппированы не по методам, а по тематике.

По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и аликвотными дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений, возведение в разные степени, определение среднего арифметического, арифметические прогрессии, решение уравнений первой и второй степени с одним неизвестным.

Полностью отсутствуют какие бы то ни было объяснения или доказательства. Искомый результат либо даётся прямо, либо приводится краткий алгоритм его вычисления.

5. Такой способ изложения, типичный для науки стран древнего Востока, наводит на мысль о том, что математика там развивалась путём индуктивных обобщений и гениальных догадок, не образующих никакой общей теории.

Тем не менее, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что математика в Древнем Египте тех лет имела или, по крайней мере, начинала приобретать теоретический характер.

Так, египетские математики умели извлекать корни (целочисленные) и возводить в степень, решать уравнения, были знакомы с арифметической и геометрической прогрессией и даже владели зачатками алгебры: при решении уравнений специальный иероглиф “куча” обозначал неизвестное.

6. Древнеегипетская нумерация, то есть запись чисел, была похожа на римскую: поначалу были отдельные значки для 1, 10, 100, … 10 000 000, сочетавшиеся аддитивно (складываясь).

Египтяне писали справа налево, и младшие разряды числа записывались первыми, так что в конечном счёте порядок цифр соответствовал нашему.

В иератическом письме уже есть отдельные обозначения для цифр 1-9 и сокращённые значки для разных десятков, сотен и тысяч.

7. Любое число в Древнем Египте можно было записать двумя способами: словами и цифрами. Например, чтобы написать число 30, можно было использовать обычные иероглифы:

8. или то же самое написать цифрами (три символа десятки):

9. Умножение египтяне производили с помощью сочетания удвоений и сложений. Деление заключалось в подборе делителя, то есть как действие, обратное умножению. древнеегипетский математический нумерация

Особые значки обозначали дроби вида и . Однако общего понятия дроби у них не было, и все неканонические дроби представлялись как сумма аликвотных дробей. Типовые разложения были сведены в громоздкие таблицы.

Сложение

Чтобы показать знаки сложения или вычитания использовался иероглиф

или

Если направление ног у этого иероглифа совпадало с направлением письма, тогда он означал “сложение”, в других случаях он означал “вычитание”.

Если при сложении получается число большее десяти, тогда десяток записывается повышающим иероглифом.

Например: 2343 + 1671

Собираем все однотипные иероглифы вместе и получаем:

Преобразуем:

Размещено на Allbest.ru

  • Примеры изучение дробных и многозначных чисел путем ребусов и головоломок. Основные принципы получения трехзначных чисел, путем шестикратного сложения. Математические задачи, направленные на развитие логического мышления и быстрого усваивания материала.презентация [195,1 K], добавлен 04.02.2011

Источник: https://revolution.allbest.ru/mathematics/00797302_0.html

Нумерация в Древнем Египте

Египетская система нумерации. Математика в Древнем Египте: знаки, цифры, примеры

Древнеегипетская цивилизация – одна из самых длительных в истории человечества – насчитывает около 3 тысячелетий. Первые иероглифы в Египте появились примерно 5 тысяч лет назад. Египетская система употреблялась в Древнем Египте вплоть до начала X века н.э. В этой системе цифрами являлись иероглифические символы; они обозначали числа 1, 10, 100 и т.д. до миллиона.

Древнеегипетская нумерация, то есть запись чисел, была похожа на римскую: поначалу были отдельные значки для 1, 10, 100, … 10 000 000, сочетавшиеся аддитивно (складываясь).

Египтяне писали справа налево, и младшие разряды числа записывались первыми, так что в конечном счёте порядок цифр соответствовал нашему.

В иератическом письме уже есть отдельные обозначения для цифр 1-9 и сокращённые значки для разных десятков, сотен и тысяч.

Любое число в Древнем Египте можно было записать двумя способами: словами и цифрами. Например, чтобы написать число 30, можно было использовать обычные иероглифы:

или то же самое написать цифрами (три символа десятки):

Иероглифы для изображения чисел

Таблица 1

1

10

100

1,000

10,000

100,000

1,000,000

Среди множества иероглифических систем счисления одна из них используется и по сей день. Речь идет о римских цифрах.

В письменной нумерации древних римлян первые три числа изображаются черточками или палочками: 1 –I; 2 — II; 3 — III. При чтении этих записей в уме производят сложение или подсчет числа поставленных палочек: один и один — два, один, один и один — это три.

Значки I, V, X исходно были обозначениями пальца, ладони и двух ладоней. Цифра 5 обозначалась как знак V, числа 6, 7 и 8, используя тот же прием сложения, что и при изображении чисел 2 и 3; III–это 1 + 1 + 1, а 6–это 5 + 1,то есть VI, 7 — это 5+2, или VII, 8 = 5 + 1 + 1 + 1, или VIII.

Но чтобы ускорить запись чисел 4 и 9, потребовалось ввести новый прием — вычитание; 4=5-1, а 9 = 10 – 1. А чтобы показать, что от пяти надо вычесть единицу, ее записывали не справа, а слева от пяти. Четыре в римской нумерации записывают так: IV.

Для десяти древние римляне также ввели новый знак — две пятерки, но для удобства записи они изображали их одну под другой в перевернутом виде, как две пересекающиеся черточки. X — это 10.IX-конечно, это 9, так как 10- 1=9.

Изменились и правила использования символов: например, древний римлянин вполне мог бы написать для 4 знак IIII.

В Средние века была придумана черта над символом, увеличивающая его значение в 1000 раз: например, Х – 10, а – 10 000.

Рис.2

Наряду с иероглифическими в древности широко применялись системы, в которых числа изображались буквами алфавита. Славянская глаголическая система записи чисел тоже является алфавитной системой счисления.

1

10

100

1000

2

20

200

3

30

300

4

40

400

5

50

500

6

60

600

7

70

700

8

80

800

9

90

Page 3

Индийский народ Майя в начале новой эры представлял числа примерно та, как и древние шумеры. Майя изобрели похожую числовую систему, но с другим основаниями – пятерично-двадцатеричную. Простейшими цифрами у них были черточки и точки, которыми назывались числа от 1 до 19. Точками они обозначали единицы от 1 до 4, черточкой-5 .

Основную роль в системе Майя играла “искаженная” двадцатеричная система счисления. Единицами разрядов, кроме 1 и 20, служили не степени 20, а числа 18 • 20n.

Рис.3

Заключение

В моей работе рассмотрены условные знаки – цифры разных народов. Я постаралась подобрать иллюстративный материал, позволяющий обеспечить наглядность рассматриваемых систем записи чисел. Показано сходство и различие в нумерациях, сделан вывод о том, почему арабская система счисления стала преобладающей в мире.

Эта тема очень интересна для изучения, я думаю, каждый человек должен знать историю возникновения цифр, выявить схожесть и различия между нумерациями древних людей и цифрами, которые мы используем в настоящее время.

Список используемой литературы

  • 1. Акимова С. Занимательная математика.-Тригон.-Санкт-Петербург, 1997
  • 2. 2.Башмакова И.Г. Числа /Детская энциклопедия.-М.:Педагогика,1972.
  • 3. Г. И. Глейзер. История математики в школе. М.: Просвещение, 1964 г.
  • 4. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. М: Аванта, 2003
  • 5. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика/ Сост. А.П.Савин,В.В. Станцо, А.Ю. Котова, М.: ООО “Фирма “Издательстово АСТ”,199-480с.

Источник: https://studwood.ru/942452/istoriya/numeratsiya_drevnem_egipte

Мед-Центр Здоровье
Добавить комментарий