Доказательство формул сложения тригонометрических функций. Формулы тригонометрии

Формулы сложения: доказательство, примеры, формулы сложения синусов и косинусов, tg суммы и разности

Доказательство формул сложения тригонометрических функций. Формулы тригонометрии

Продолжаем наш разговор про наиболее употребляемые формулы в тригонометрии. Важнейшие из них – формулы сложения.

Определение 1

Формулы сложения позволяют выразить функции разности или суммы двух углов с помощью тригонометрических функций этих углов.

Для начала мы приведем полный список формул сложения, потом докажем их и разберем несколько наглядных примеров.

Основные формулы сложения в тригонометрии

Выделяют восемь основных формул: синус суммы и синус разности двух углов, косинусы суммы и разности, тангенсы и котангенсы суммы и разности соответственно. Ниже приведены их стандартные формулировки и вычисления.

1.Синус суммы двух углов можно получить следующим образом:

– вычисляем произведение синуса первого угла на косинус второго;

– умножаем косинус первого угла на синус первого;

– складываем получившиеся значения.

Графическое написание формулы выглядит так: sin (α+β)=sin α·cos β+cos α·sin β

2. Синус разности вычисляется почти так же, только полученные произведения нужно не сложить, а вычесть друг из друга. Таким образом, вычисляем произведения синуса первого угла на косинус второго и косинуса первого угла на синус второго и находим их разность. Формула пишется так: sin (α-β)=sin α·cos β+sin α·sin β

3. Косинус суммы. Для него находим произведения косинуса первого угла на косинус второго и синуса первого угла на синус второго соответственно и находим их разность: cos (α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β

4. Косинус разности: вычисляем произведения синусов и косинусов данных углов, как и ранее, и складываем их. Формула: cos (α-β)=cos α·cos β+sin α·sin β

5. Тангенс суммы. Эта формула выражается дробью, в числителе которой – сумма тангенсов искомых углов, а в знаменателе – единица, из которой вычитается произведение тангенсов искомых углов. Все понятно из ее графической записи: tg (α+β)=tg α+tg β1-tg α·tg β

6. Тангенс разности. Вычисляем значения разности и произведения тангенсов данных углов и поступаем с ними схожим образом. В знаменателе мы прибавляем к единице, а не наоборот:  tg (α-β)=tg α-tg β1+tg α·tg β

7. Котангенс суммы. Для вычислений по этой формуле нам понадобятся произведение и сумма котангенсов данных углов, с которыми мы поступаем следующим образом: ctg (α+β)=-1+ctg α·ctg βctg α+ctg β

8. Котангенс разности. Формула схожа с предыдущей, но в числителе и знаменателе – минус, а не плюс ctg (α-β)=-1-ctg α·ctg βctg α-ctg β.

Вы, наверное, заметили, что эти формулы попарно схожи. При помощи знаков ±(плюс-минус) и ∓(минус-плюс) мы можем сгруппировать их для удобства записи:

sin (α±β)=sin α·cos β±cos α·sin βcos (α±β)=cos α·cos β∓sin α·sin βtg (α±β)=tg α±tg β1∓tg α·tg βctg (α±β)=-1±ctg α·ctg βctg α±ctg β

Соответственно, мы имеем одну формулу записи для суммы и разности каждого значения, просто в одном случае мы обращаем внимание на верхний знак, в другом – на нижний.

Определение 2

Мы можем взять любые углы α и  β, и формулы сложения для косинуса и синуса подойдут для них. Если мы можем правильно определить значения тангенсов и котангенсов этих углов, то формулы сложения для тангенса и котангенса будут также для них справедливы.

Доказательства формул сложения

Как и большинство понятий в алгебре, формулы сложения могут быть доказаны. Первая формула, которую мы докажем, – формула косинуса разности. Из нее потом можно легко вывести остальные доказательства.

Уточним основные понятия. Нам понадобится единичная окружность. Она получится, если мы возьмем некую точку A и повернем вокруг центра (точки O) углы α и β .

Тогда угол между векторами OA1→ и OA→2 будет равняться (α-β)+2π·z или 2π-(α-β)+2π·z (z – любое целое число).

Получившиеся вектора образуют угол, который равен α-β или 2π-(α-β), или он может отличаться от этих значений на целое число полных оборотов. Взгляните на рисунок:

Мы воспользовались формулами приведения и получили следующие результаты:

cos ((α-β)+2π·z)=cos (α-β)cos (2π-(α-β)+2π·z)=cos (α-β)

Итог: косинус угла между векторами OA1→ и OA2→ равняется косинусу угла α-β, следовательно, cos (OA1→ OA2→) = cos (α-β).

Далее мы переходим к самому доказательству формулы косинуса разности.

Вспомним определения синуса и косинуса: синус – функция угла, равная отношению катета противолежащего угла к гипотенузе, косинус – это синус дополнительного угла. Следовательно, точки A1 и A2 имеют координаты (cos α, sin α) и (cos β, sin β).

Получим следующее:

OA1→=(cos α, sin α) и OA2→=(cos β, sin β)

Если непонятно, взгляните на координаты точек, расположенных в начале и конце векторов.

Длины векторов равны 1, т.к. у нас единичная окружность.

Разберем теперь скалярное произведение векторов OA1→ и OA2→. В координатах оно выглядит так:

(OA1→,OA2)→ = cos α·cos β+sin α·sin β

Из этого мы можем вывести равенство:

cos (α-β) = cos α·cos β+sin α·sin β

Таким образом, формула косинуса разности доказана.

Теперь мы докажем следующую формулу – косинуса суммы. Это проще, поскольку мы можем воспользоваться предыдущими расчетами. Возьмем представление α+β=α-(-β). У нас есть:

 cos (α+β)=cos (α-(- β))==cos α·cos (-β)+sin α·sin (-β)==cos α·cos β+sin α·sin β

Это и есть доказательство формулы косинуса суммы. В последней строчке использовано свойство синуса и косинуса противоположных углов.

Формулу синуса суммы можно вывести из формулы косинуса разности. Возьмем для этого формулу приведения:

вида sin (α+β)=cos (π2(α+β)). Так
sin (α+β)=cos (π2(α+β))=cos ((π2-α)-β)==cos (π2-α)·cosβ+sin (π2-α)·sin β==sin α·cos β+cos α·sin β

А вот доказательство формулы синуса разности: 

sin (α-β)=sin (α+(-β))=sin α·cos (-β)+cos α·sin (-β)==sin α·cos β-cos α·sin β
Обратите внимание на использование свойств синуса и косинуса противоположных углов в последнем вычислении.

Далее нам нужны доказательства формул сложения для тангенса и котангенса. Вспомним основные определения (тангенс – отношение синуса к косинусу, а котангенс –наоборот) и возьмем уже выведенные заранее формулы. У нас получилось:

tg (α+β)=sin (α+β)cos (α+β)=sin α·cos β+cos α·sin βcos α·cos β-sin α·sin β

У нас получилась сложная дробь. Далее нам нужно разделить ее числитель и знаменатель на cos α·cos β, учитывая что cos α≠0 и cos β≠0, получаем:
sin α·cos β+cos α·sin βcos α·cos βcos α·cos β-sin α·sin βcos α·cos β=sin α·cos βcos α·cos β+cos α·sin βcos α·cos βcos α·cos βcos α·cos β-sin α·sin βcos α·cos β

Теперь сокращаем дроби и получаем формулу следующего вида: sin αcos α+sin βcos β1-sin αcos α·sin βcos β=tg α+tg β1-tg α·tg β.
У нас получилось tg (α+β) = tg α+tg β1-tg α·tg β. Это и есть доказательство формулы сложения тангенса.

Следующая формула, которую мы будем доказывать – формула тангенса разности. Все наглядно показано в вычислениях:

tg (α-β)= tg (α+(-β))=tg α+tg (-β)1-tg α·tg (-β)=tg α-tg β1+tg α·tg β

Формулы для котангенса доказываются схожим образом:
ctg (α+β)=cos (α+β)sin (α+β)=cos α·cos β-sin α·sin βsin α·cos β+cos α·sin β==cos α·cos β-sin α·sin βsin α·sin βsin α·cos β+cos α·sin βsin α·sin β=cos α·cos βsin α·sin β-1sin α·cos βsin α·sin β+cos α·sin βsin α·sin β==-1+ctg α·ctg βctg α+ctg β Далее:

ctg (α-β)=ctg (α+(-β))=-1+ctg α·ctg (-β)ctg α+ctg (-β)=-1-ctg α·ctg βctg α-ctg β

Примеры сложения с помощью тригонометрических формул

В этом пункте мы рассмотрим, как применить эти сложные на вид вычисления на практике. Их можно использовать:

– при преобразовании тригонометрических выражений;

– для вычисления точных значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов, которые отличаются от основных (0, π6, π4, π3, π2);

– для доказательства других тригонометрических формул, например, формулы двойного угла.

Разберем задачи с использованием формул сложения.

Пример 1

Задача: Вычислите точное значение тангенса 15 градусов.

Решение 

Для наглядности мы 15 градусов можно представить в виде разности 45-30. В этом случае решение задачи можно получить с помощью формулы тангенса разности. Возьмем формулу, которую мы приводили выше, и укажем в ней имеющиеся нам известные значения: tg15°=tg(45°-30°)=tg45°-tg30°1+tg45°·tg30°

Вычисляем ответ: tg45°-tg30°1+tg45°·tg30°=1-331+1·33==3-13+1=(3-1)·(3-1)(3+1)·(3-1)=(3)2-23+1(3)2-1=2-3

Ответ: tg15°=2-3

Пример 2

Задача: Выберем формулу сложения для проверки формулы приведения следующего вида:sin (π2+α)=cos α

Нам подойдет формула синуса суммы. Итого: sin (π2+α)=sin π2·cos α+cos π2·sin α=1·cos α+0·sin α=cos α

Ответ: sin (π2+α)=cos α – наша формула доказана.

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/trigonometrija/formuly-slozhenija-dokazatelstvo-primery/

Тригонометрические формулы

Доказательство формул сложения тригонометрических функций. Формулы тригонометрии

Тригонометрические формулы — это самые необходимые в тригонометрии формулы, необходимые для выражения тригонометрических функций, которые выполняются при любых значениях аргумента.

Формулы сложения

sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α

sin (α – β) = sin α · cos β – sin β · cos α

cos (α + β) = cos α · cos β – sin α · sin β

cos (α – β) = cos α · cos β + sin α · sin β

tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 – tg α · tg β)

tg (α – β) = (tg α – tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)

ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β – ctg α)

ctg (α – β) = (ctg α · ctg β – 1) ÷ (ctg β + ctg α)

Формулы двойного угла

cos 2α = cos² α – sin² α

cos 2α = 2cos² α – 1

cos 2α = 1 – 2sin² α

sin 2α = 2sin α · cos α

tg 2α = (2tg α) ÷ (1 – tg² α)

ctg 2α = (ctg² α – 1) ÷ (2ctg α)

Формулы тройного угла

sin 3α = 3sin α – 4sin³ α

cos 3α = 4cos³ α – 3cos α

tg 3α = (3tg α – tg³ α) ÷ (1 – 3tg² α)

ctg 3α = (3ctg α – ctg³ α) ÷ (1 – 3ctg² α)

Формулы половинного угла

  1. Синус половинного угла. Примечание: Знак перед корнем выбирается в зависимости от квадранта, в который попадает угол α/2 в левой части. Данное правило справедливо также для других формул, приведенных ниже. 

  2. Косинус половинного угла:

  3. Тангенс половинного угла:

  4. Котангенс половинного угла:  

  5. Выражение синуса через тангенс половинного угла:  

  6. Выражение косинуса через тангенс половинного угла:  

  7. Выражение тангенса через тангенс половинного угла:  
     

  8. Выражение котангенса через тангенс половинного угла: 

Формулы приведения

Таблица всех формул приведения.Функция / угол в рад.π/2 – απ/2 + απ – απ + α3π/2 – α3π/2 + α2π – α2π + α
sincos αcos αsin α– sin α– cos α– cos α– sin αsin α
cossin α– sin α– cos α– cos α– sin αsin αcos αcos α
tgctg α– ctg α– tg αtg αctg α– ctg α– tg αtg α
ctgtg α– tg α– ctg αctg αtg α– tg α– ctg αctg α
Функция / угол в °90° – α90° + α180° – α180° + α270° – α270° + α360° – α360° + α

Подробное описание формул приведения.

Основное тригонометрическое тождество:

sin2α+cos2α=1 

Данное тождество − результат применения теоремы Пифагора к треугольнику в единичном тригонометрическом круге.

Соотношение между косинусом и тангенсом:

1/cos2α−tan2α=1 или sec2α−tan2α=1. 

Данная формула является следствием основного тригонометрического тождества и получается из него делением левой и правой части на cos2α. Предполагается, что α≠π/2+πn,n∈Z.

Соотношение между синусом и котангенсом:

1/sin2α−cot2α=1 или csc2α−cot2α=1. 

Эта формула также следует из основного тригонометрического тождества (получается из него делением левой и правой части на sin2α. Здесь предполагается, что α≠πn,n∈Z.

Определение тангенса:

tanα=sinα/cosα, 

где α≠π/2+πn,n∈Z.

Тригонометрические неравенства

Простейшие тригонометрические неравенства:

sinx > a, sinx ≥ a, sinx < a, sinx ≤ a, 

cosx > a, cosx ≥ a, cosx < a, cosx ≤ a, 

tanx > a, tanx ≥ a, tanx < a, tanx ≤ a, 

cotx > a, cotx ≥ a, cotx < a, cotx ≤ a. 

Формулы кубов тригонометрических функций

Источник: https://www.calc.ru/Trigonometricheskiye-Formuly.html

Формулы сложения, доказательство, примеры

Доказательство формул сложения тригонометрических функций. Формулы тригонометрии
Тригонометрия, тригонометрические формулы

Продолжением темы тригонометрические формулы служит данная статья про формулы сложения.

Формулы сложения выражают синус, косинус, тангенс и котангенс суммы и разности двух углов поворота и через тригонометрические функции этих углов.

Сначала мы перечислим все формулы сложения, дальше приведем их доказательство, а в заключение покажем несколько примеров использования формул сложения.

Список формул сложения

Для начала перечислим все формулы сложения, и дадим их формулировки. Для удобства представим их в виде списка:

  • Формула синуса суммы – синус суммы двух углов равен сумме произведений синуса первого угла на косинус второго и косинуса первого угла на синус второго.
  • Синус разности двух углов – синус разности двух углов равен разности произведений синуса первого угла на косинус второго и косинуса первого угла на синус второго.
  • Формула косинуса суммы – косинус суммы двух углов равен разности произведений косинусов этих углов и синусов этих углов.
  • Косинус разности – косинус разности двух углов равен сумме произведений косинусов этих углов и синусов этих углов.
  • Тангенс суммы .
  • Тангенс разности .
  • Котангенс суммы .
  • Котангенс разности .

Отдавая дань краткости, формулы сложения обычно группируют две в одну, используя знаки плюс минус вида и минус плюс . В таком виде они выглядят так:

Каждая из записанных формул сложения соответствует двум формулам, перечисленным вначале этого пункта. Например, формула отвечает двум формулам: синусу суммы (когда берется верхний знак из ) и синусу разности (когда берется нижний знак из ).

Формулы сложения из таблицы называют соответственно формулами сложения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

В заключение этого пункта отметим, что формулы сложения для синуса и косинуса справедливы для любых углов и . А формулы сложения для тангенса и котангенса справедливы для всех и , для которых определены входящие в них тангенсы и котангенсы.

К началу страницы

Начнем с доказательства формулы косинуса разности . Она нам поможет доказать другие формулы сложения.

Перед доказательством стоит озвучить один не очень очевидный факт, который мы используем. Он заключается в следующем. Возьмем единичную окружность.

Пусть точки A1 и A2 получены в результате поворота начальной точки A(1, 0) вокруг точки O на углы и соответственно. Тогда угол между векторами и равен либо , либо , где z – любое целое число.

Другими словами, угол между указанными векторами равен либо , либо , либо отличается от этих значений на целое число полных оборотов. Приведем графическую иллюстрацию для наглядности.

Более того, формулы приведения позволяют нам записать следующие результаты и . Таким образом, косинус угла между векторами и равен косинусу угла , то есть, . Теперь можно переходить непосредственно к доказательству формулы косинуса разности.

В силу определений синуса и косинуса, точки A1 и A2 имеют координаты и соответственно. Тогда и (при необходимости смотрите координаты векторов через координаты точек их начала и конца). Длины этих векторов равны единице, так как они равны радиусу единичной окружности.

Теперь запишем скалярное произведение векторов и . С одной стороны имеем , а это же скалярное произведение в координатах имеет вид . Отсюда получаем равенство . Этим доказана формула косинуса разности.

Переходим к доказательству следующей формулы сложения. Формулу косинуса суммы легко доказать, используя уже доказанную формулу и представление вида . Имеем

последний переход возможен в силу свойств синуса и косинуса противоположных углов.

Из формулы косинуса разности легко получить формулу синуса суммы, достаточно лишь обратиться к формуле приведения вида . Так

в последнем переходе мы использовали формулы приведения.

А вот доказательство формулы синуса разности:

в последнем переходе использовалось свойство синуса и косинуса противоположных углов.

Переходим к доказательству формул сложения для тангенса и котангенса. Для этого достаточно вспомнить, что тангенс – это отношение синуса к косинуса, а котангенс – отношение косинуса к синусу, а также применить доказанные выше формулы.

Так . Теперь разделим числитель и знаменатель полученной дроби на , учитывая что и , имеем

после сокращения дробей получаем .
В итоге имеем .

Теперь докажем формулу тангенса разности:

Формулы сложения для котангенса доказываются аналогично формулам сложения для тангенса:
и

К началу страницы

Спектр применения формул сложения достаточно широк. Мы не ставим целью перечислить все возможные варианты применения формул сложения, здесь мы лишь посмотрим, как применяются эти формулы на практике.

Для начала с помощью одной из формул сложения проверим формулу приведения вида . Воспользуемся формулой синуса суммы. Имеем . Так доказана формула .

Формулы сложения позволяют вычислять точные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса некоторых углов, отличных от основных (). Рассмотрим решение примера.

Вычислите точное значение тангенса 15 градусов.

Легко заметить, что угол 15 градусов можно представить как разность 45−30. Тогда формула тангенса разности позволит нам вычислить требуемое значение. По указанной формуле получаем . Теперь подставляем известные значения тангенса, после чего завершаем вычисления:

.

Формулы сложения широко применяются при преобразовании тригонометрических выражений. Формулы сложения также можно использовать при доказательстве других формул тригонометрии, например, формул двойного угла.

  • Алгебра:

Источник: http://www.cleverstudents.ru/trigonometry/angle_addition_formulas.html

Мед-Центр Здоровье
Добавить комментарий