Что такое треугольник. Какими они бывают. Виды треугольников. Углы треугольника

Виды треугольников. – математика, уроки

Что такое треугольник. Какими они бывают. Виды треугольников. Углы треугольника

Тема Виды треугольников по углам

Цель: Формирование представления учащихся о разных видах треугольников.

Задачи:

  • Научить классифицировать треугольники по видам углов;
  • Выявить названия треугольников;
  • Развивать логическое мышление, внимание,

Планируемые результаты: к концу урока дети должны узнать виды треугольников, знать их названия, умнеть их классифицировать по видам углов

Формы организации работы детей: групповая и фронтальная работа.

Оборудование.

– Карточки с примерами;

– Карточки с треугольниками (по сторонам, по углам);

– Карточки с видами углов;

Ход урока

Для ребят звенит звонок,

Начинается урок.

Он пойдет сегодня впрок.

Постарайтесь все понять,

Что-то новое узнать.

-Повернитесь к гостям и поздоровайтесь.

II. Актуализация знаний

– Начинаем урок математики.

– На протяжении всего урока вы должны быть внимательными. Обычно в начале урока мы решаем арифметический диктант, вы решаете примеры, а сегодня мы с вами решим геометрический диктант.

 – Возьмите необходимые инструменты для изображения фигур. Изобразите эти фигуры в тетради.

-К доске выходит 1 ученик (с обратной стороны доски чертит).

  • Что можно поставить на бумаге карандашом, ручкой, фломастером?

                   Точку.

  • Линия, ограниченная точками с двух сторон.

                   Отрезок.

  • Что за линия такая, которая выходит из одной точки и продолжается до бесконечности.

                   Луч.

  • Начертите ломаную из 3 звеньев.
  • Что это за линия: вправо и влево – бесконечность.

                   Прямая.

  • Что это за фигура: четыре стороны и все равны.

                    Квадрат. 

-Взаимопроверка с доской.

-Встаньте те у кого все правильно-это 5. У кого одна ошибка – это 4. У кого 2 ошибки – это 3. Оценки выставлю вам в журнал позже.

III. Самоопределение к деятельности.

– О каких фигурах пойдет речь на уроке, вы узнаете, если правильно выполните задание.

-Найдите значение выражений и узнаете ключевое слово, записывая ответы в соответствии с буквой.

-Работа в парах.

ОТУГЛК482 – 417 : 5=65:5=133 ∙ 26 – 18=78-18=60250 + 700=9504 + 96 : 2=4+48=52560 : 7 :2=80:2=40942 – 348=594ЕНРИЬА25 ∙ 4 ∙ 3=300649 – 40 – 19=59088 : 44 + 158=180482 – 60=422100 ∙ 9 – 200=70096 – 37=59
60180300950521340700590422594
треугольник

– Треугольник.

-Что вы знаете о треугольнике? ( Это геометрическая фигура, у которой 3 угла, 3 стороны, 3 вершины. Треугольники бывают равносторонними, равнобедренными, разносторонними.)

– На доске названия треугольников и примеры треугольников.

-Тема нашего урока треугольники, а точнее их виды.

IV. Работа по теме урока

– Вы их по какому признаку назвали? Почему они так называются? Что у них сравнивали? (стороны)

– А что еще есть у треугольника? (вершины, углы)

– Какие углы бывают? (прямой, тупой, острый)

-У меня на доске различные углы, распределите их по группам.

– Что вы можете сказать о прямом угле? (он 900) чертить или нет?

-Кто расскажет о тупом угле? (он больше 900)

-Какой угол называется острым? (он меньше 900)

-Как вы думаете на какие виды будут делиться треугольники в зависимости от углов?

– Посмотрите на треугольник, что вы можете сказать о его углах? Какие они? (2 острых, 1 прямой)

-Как вы думаете, как можно назвать треугольник, у которого есть прямой угол? (прямоугольный)

-Посмотрите на следующий треугольник. Какое название у этого? (тупоугольный)

– Какие углы у этого треугольника? (все острые).

-Значит как он называется? (остроугольный)

– Давайте проверим, правильно ли мы дали им название или нет, откроем учебник и прочитаем информацию о треугольниках на странице 85.

-Все верно?(да)

V. Закрепление.

-Мы узнали какие виды треугольников бывают, теперь давайте проверим как вы усвоили этот материал, для этого выполним задание в учебнике на полях справа.

-Выпишите номера прямоугольных треугольников, тупоугольных и остроугольных.

– Что бы нам не ошибиться, чем будем пользоваться, как различать, измерять углы? (с помощью линейки, на глаз, с помощью треугольника)

-Если мы сомневаемся какой это угол, мы берем линейку, соединяем угол линейки с углом треугольника, выравниваем одну сторону линейки и сторону треугольника, что бы они совпадали и смотрим на другую сторону треугольника, либо она совпадает с линейкой, либо ее не видно, она под линейкой, либо мы ее видим, и тем самым угол у нас больше 900

-Так же углы измеряются градусами, при помощи специального инструмента.

-Кто то знает как он называется? (транспортир)

-Правила пользования транспортиром.

-Давайте начертим в тетради прямоугольный треугольник. С какого угла лучше начать? (с прямого)

– Тупоугольный, остроугольный.

-Измерьте стороны треугольника в миллиметрах и найдите периметр. 1 ряд у прямоугольного, 2 у тупоугольного, 3 у остроугольного.

-Переведите в сантиметры.

-Посмотрите на доску, на виды треугольников, они по какому признаку делятся? (по сторонам и углам)

-А давайте их объединим. И начертим в тетради прямоугольный равнобедренный треугольник. (один у доски)

-Тупоугольный разносторонний треугольник.

-А какой еще можно? (равносторонний остроугольный)

-если останется время решить задачу.

VI. Физкультминутка.

Приготовили руки. Постройте пожалуйста прямой угол, острый, тупой, объединитесь с соседом, постройте прямоугольный треугольник. Переходим на ноги, сгибая ноги в коленях покажите острый угол, тупой, прямой.

VII. Закрепление.

-Объединить в три группы по рядам.

-Я вам предлагаю оформить памятку по видам треугольников по углам.

-Какой ряд о каком треугольнике будет рассказывать мы определим с помощью жребия.

-На листочке вы должны будете нарисовать треугольник, написать название, обозначить буквами. Представить свою памятку и рассказать почему этот треугольник так называется.

VIII. Итог урока.

-Давайте вспомним с какими видами треугольников мы познакомились. (выступления групп).

IX. Рефлексия.

-Предлагаю вам оценить свою работу на уроке.

-У нас осталось еще 2 минутки, предлагаю вам начертить еще один треугольник девочки чертят треугольник у которого 2 прямых угла, мальчики-у которого 2 тупых угла.

X. Домашнее задание.

Стр. 86 №4,2.

Спасибо за урок!

Источник: //mega-talant.com/biblioteka/vidy-treugolnikov-83544.html

Треугольник. Формулы и свойства треугольников

Что такое треугольник. Какими они бывают. Виды треугольников. Углы треугольника

Определение. Треугольник – фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки – его сторонами.

По величине углов

  1. Остроугольный треугольник – все углы треугольника острые.
  2. Тупоугольный треугольник – один из углов треугольника тупой (больше 90°).
  3. Прямоугольный треугольник – один из углов треугольника прямой (равен 90°).

По числу равных сторон

  1. Разносторонний треугольник – все три стороны не равны.
  2. Равнобедренный треугольник – две стороны равны.
  3. Равносторонним треугольник или правильный треугольник – все три стороны равны.

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

α + β + γ = 180°

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β, тогда a > b

если α = β, тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a = b = c = 2R
sin αsin βsin γ

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a2 = b2 + c2 – 2bc·cos α

b2 = a2 + c2 – 2ac·cos β

c2 = a2 + b2 – 2ab·cos γ

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Формулы сторон через медианы

a = 23√2(mb2 + mc2) – ma2

b = 23√2(ma2 + mc2) – mb2

c = 23√2(ma2 + mb2) – mc2

Определение. Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Свойства медиан треугольника:

  1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке. (Точка пересечения медиан называется центроидом)

  2. В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

    AOOD = BOOE = COOF = 21

  3. Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

    S∆ABD = S∆ACD

    S∆BEA = S∆BEC

    S∆CBF = S∆CAF

  4. Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

    S∆AOF = S∆AOE = S∆BOF = S∆BOD = S∆COD = S∆COE

  5. Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 12√2b2+2c2-a2

mb = 12√2a2+2c2-b2

mc = 12√2a2+2b2-c2

Определение. Биссектриса угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

Свойства биссектрис треугольника:

  1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от трех сторон треугольника, – центре вписанной окружности.

  2. Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

    AEAB = ECBC

  3. Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

    Угол между lc и lc' = 90°

  4. Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√bcp(p – a)b + c

lb = 2√acp(p – b)a + c

lc = 2√abp(p – c)a + b

где p = a + b + c2 – полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2bc cos α2b + c

lb = 2ac cos β2a + c

lc = 2ab cos γ2a + b

Определение. Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую содержащую противоположную сторону.

В зависимости от типа треугольника высота может содержаться

  • внутри треугольника – для остроугольного треугольника;
  • совпадать с его стороной – для катета прямоугольного треугольника;
  • проходить вне треугольника – для острых углов тупоугольного треугольника.

Свойства высот треугольника

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.

Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный.

ha:hb:hc = 1a:1b:1c = (bc):(ac):(ab)

Формулы высот треугольника

Формулы высот треугольника через сторону и угол:

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Формулы высот треугольника через сторону и площадь:

ha = 2Sa

hb = 2Sb

hc = 2Sc

Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности:

ha = bc2R

hb = ac2R

hc = ab2R

Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон.

Свойства окружности вписанной в треугольник

Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.

В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру:Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны:

r = (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)4(a + b + c)

Радиус вписанной в треугольник окружности через три высоты:

Определение. Окружность называется описанной вокруг треугольника, если она содержит все вершины треугльника.

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к уго сторонам.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну.

Свойства углов

Центр описанной окружности лежит внутри остроугольного треугольника, снаружи тупоугольнго треугольника, на середине гипотенузы прямоугольного треугольника.

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

Радиус описанной окружности через три стороны и площадь:Радиус описанной окружности через площадь и три угла:Радиус описанной окружности через сторону и противоположный угол (теорема синусов):

R = a2 sin α = b2 sin β = c2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Если d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, то.

rR = 4 sinα2 sinβ2 sinγ2 = cos α + cos β + cos γ – 1

Средняя линия треугольника

Определение. Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

Свойства средней линии треугольника

1. Любой треугольник имеет три средних линии

2. Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

MN = 12AC     KN = 12AB     KM = 12BC

MN || AC     KN || AB     KM || BC

3. Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, площадь которого равна четвёрти площади исходного треугольника

S∆MBN = 14 S∆ABC

S∆MAK = 14 S∆ABC

S∆NCK = 14 S∆ABC

4. При пересечении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.

∆MBN ∼ ∆ABC

∆AMK ∼ ∆ABC

∆KNC ∼ ∆ABC

∆NKM ∼ ∆ABC

Признаки. Если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то этот отрезок – средняя линия.

  1. Формула площади треугольника по стороне и высоте
    Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты

    S = 12a · ha
    S = 12b · hb
    S = 12c · hc

  2. Формула площади треугольника по трем сторонам

    S = √p(p – a)(p – b)(p – c)

    где p = a + b + c2 – полупериметр треугльника.

  3. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
    Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

    S = 12a · b · sin γ
    S = 12b · c · sin α
    S = 12a · c · sin β

  4. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
  5. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
    Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

Определение. Если два треугольника АВС и А1В1С1 можно совместить наложением, то они равны.

Свойства. У равных треугольников равны и их соответствующие элементы. (В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, против равных углов лежат равные стороны)

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема 2.

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема 3.

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Определение. Подобные треугольники – треугольники соответствующие углы которых равны, а сходственные стороны пропорциональны.

∆АВС ~ ∆MNK => α = α1, β = β1, γ = γ1 и ABMN = BCNK = ACMK = k,

где k – коэффициент подобия

Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. Свойства. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

S∆АВСS∆MNK = k2

Источник: //ru.onlinemschool.com/math/formula/triangle/

Геометрия. Урок 3. Треугольники

Что такое треугольник. Какими они бывают. Виды треугольников. Углы треугольника

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

-уроки на канале Ёжику Понятно.

страницы:

Определение треугольника

Треугольник – многоугольник с тремя сторонами и тремя углами.

Угол ∠ A – угол, образованный сторонами A B и A C и противолежащий стороне B C .

Угол ∠ B – угол, образованный сторонами B A и B C и противолежащий стороне A C .

Угол ∠ C – угол, образованный сторонами C B и C A и противолежащий стороне A B .

Виды треугольников

Треугольник остроугольный, если все три угла в треугольнике острые.

Треугольник прямоугольный, если у него один из углов прямой ( = 90 ° ) .

Треугольник тупоугольный, если у него один из углов тупой.

Примеры:

Основные свойства треугольника:

  • Против большей стороны лежит больший угол.
  • Против равных сторон лежат равные углы.
  • Сумма углов в треугольнике равна 180 ° .
  • Если продолжить одну из сторон треугольника, например, A C , и взять на продолжении стороны точку D , образуется внешний угол ∠ B C D к исходному углу ∠ A C B . Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. ∠ B C D = 180 ° − ∠ A C B ∠ B C D = ∠ A + ∠ B
  • Неравенство треугольника: любая из сторон треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности.

Отрезки в треугольнике

Биссектриса угла – луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам.

Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне.

Свойства биссектрис треугольника:

  • Биссектриса угла – геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.
  • Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: a b = m n
  • Биссектрисы пересекаются в одной точке. Точка пересечения биссектрис – центр вписанной в треугольник окружности.

Замечание: биссектриса угла – это луч, а биссектриса треугольника – отрезок.

Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Свойства медиан треугольника:

  • Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника (два треугольника, имеющих одинаковую площадь).
  • Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, считая от вершины.
  • Три медианы, проведенные в одном треугольнике, разбивают его на шесть равновеликих треугольников. S 1 = S 2 = S 3 = S 4 = S 5 = S 6

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины угла треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону этого треугольника.

Если треугольник остроугольный, то все три высоты будут лежать внутри треугольника. Если треугольник тупоугольный, то высоты, проведенные из вершин острых углов будут лежать вне треугольника, а высота, проведенная из вершины тупого угла будет лежать внутри треугольника.

Пример:

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Свойство средней линии треугольника: средняя линия параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

m = a 2

Всего в треугольнике можно провести три средние линии. Три средние линии разбивают исходный треугольник на четыре равных треугольника. Площадь каждого маленького треугольника будет равна четверти площади большого треугольника.

Площадь треугольника

Площадь произвольного треугольника можно найти следующими способами:

  • Полупроизведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне. S = 1 2 a ⋅ h a
  • Полупроизведение двух сторон на синус угла между ними. S = 1 2 a ⋅ b ⋅ sin α
  • По формуле Герона. S = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) p = a + b + c 2

Равнобедренный треугольник

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.

Равнобедренный треугольник может быть остроугольным, прямоугольным и тупоугольным.

Свойства равноберенного треугольника:

  • В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
  • В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса, проведенные к основанию совпадают.

Равносторонний треугольник

Равносторонним называется треугольник, у которого все стороны и все углы равны.

Площадь равностороннего треугольника находится по формуле S = a 2 3 4

Высота равностороннего треугольника находится по формуле h = a 3 2

Прямоугольный треугольник

Треугольник называется прямоугольным, если у него один из углов равен 90 ° .

Свойства прямоугольного треугольника:

  • Сумма двух острых углов треугольника равна 90 ° .
  • Катет, лежащий напротив угла в 30 ° , равен половине гипотенузы.
  • Если катет равен половине гипотенузы, он лежит напротив угла в 30 ° . a = c 2 c = 2 ⋅ a
  • Медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. m = c 2
  • Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике a = m ⋅ c b = n ⋅ c h = m ⋅ n

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

c 2 = a 2 + b 2

У прямоугольного треугольника катеты перпендикулярны друг другу, следовательно, площадь можно найти по формуле:

S = 1 2 a ⋅ b

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с треугольниками

Скачать домашнее задание к уроку 3.

Источник: //epmat.ru/modul-geometriya/urok-3-treugolniki/

Свойства треугольника. В том числе равенство и подобие, равные треугольники, стороны треугольника, углы треугольника, площадь треугольника – формулы вычисления, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, высота треугольника

Что такое треугольник. Какими они бывают. Виды треугольников. Углы треугольника
Навигация по справочнику TehTab.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Геометрические фигуры. Свойства, формулы: периметры, площади, объемы, длины. Треугольники, Прямоугольники и т.д. Градусы в радианы. / / Плоские фигуры.

Свойства, стороны, углы, признаки, периметры, равенства, подобия, хорды, секторы, площади и т.д. / / Свойства треугольника. В том числе равенство и подобие, равные треугольники, стороны треугольника, углы треугольника, площадь треугольника – формулы вычисления, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, высота треугольника.

Свойства треугольников.Меню
Треугольник -это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки – его сторонами.Для инженера это еще и единственная “жесткая” плоская фигура на свете.Раздел математики, посвященный изучению закономерностей треугольников — тригонометрия.Сумма всех углов в треугольнике равна 180°.

Обозначения в треугольнике.

Вершины треугольника обычно обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, C), величины углов при соответственных вершинах — греческими буквами (α, β, γ), а длины противоположных сторон — прописными латинскими буквами (a, b, c).

Виды треугольников:

(по величине углов)

Остроугольный треугольник – это треугольник, в котором все три угла острые, т.е. меньше 90°.
Прямоугольный треугольник – это треугольник, содержащий прямой угол.Две стороны, образующие прямой угол, называются катетами (АС и АВ), а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой (ВС).
Тупоугольный треугольник – это треугольник, содержащий тупой угол, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°.(по числу равных сторон)
(по соотношению сторон)
Равносторонний (правильный) треугольник – это треугольник, у которого все стороны и все углы равны (каждый угол равен 60°).
Равнобедренный тругольник – это треугольник, у которого два угла и две стороны равны.
Разносторонний треугольник – это треугольник, в котором все углы, а значит и все стороны попарно различны.(Разносторонний треугольник может быть остроугольным, прямоугольным и тупоугольным).
Рассмотрим рис. ниже.Углы α, β, γ нызываются внутренними углами треугольника.Угол Θ – называется внешним углом треугольника, он равен сумме двух противолежащих ему внутренних углов, т.е. Θ= β+γ(а+с+b) – периметр треугольника.Угол α, называется смежным по отношению к углу Θ. ( α+ Θ)=180° (развернутый угол)

Основные свойства треугольников. В любом треугольнике:

  1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
  2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. (В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.)
  3. Сумма углов треугольника равна 180 °  (Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60 °).
  4. Продолжая одну из сторон треугольника (AВ), получаем внешний угол Θ.
  5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности:
    •  a < b + c,
    •  a > b – c;
    •  b < a + c,
    •  b > a – c;
    •  c < a + b,
    •  c > a – b.
Два треугольника называются конгруэнтными (равными), если они равны по всем параметрам, т.е. три угла и три стороны одного треугольника равны трем углам и трем сторонам другого треугольника.

Признаки равенства треугольников:

1. Три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника (по трем сторонам). 2. Две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами также равны (по двум сторонам и углу между ними). 3. Три угла одного треугольника равны трем углам другого треугольника (по трем углам).4. Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, и любая сторона первого треугольника равна соответствующей стороне другого треугольника.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

Два прямоугольных треугольника равны, если у них соответственно равны: 1. Гипотенуза и острый угол. 2. Катет и противолежащий угол. 3. Катет и прилежащий угол. 4. Два катета.5. Гипотенуза и катет.

Подобные треугольники.

Два треугольника являются подобными, если углы одного треугольника равны, углам тругого треугольника, а стороны подобны, т.е.(р/а)=(q/b)=(r/c).

Признаки подобия треугольников:

  1. Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
  2. Две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами, равны.
  3. Три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

Свойства подобных треугольников.

  1. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия [(р/а)=(q/b)=(r/c)=коэффициент подобия].
  2. Отношение периметров и длин либо биссектрис, либо медиан, либо высот, либо серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. т.е. в подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Подобие в прямоугольных треугольниках.

Треугольники, на которые высота, опущенная из прямого угла, делит прямоугольный треугольник, подобны всему треугольнику по первому признаку, а значит:1. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому (Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось.) проекций катетов на гипотенузу.2. Катет равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. , т.е. BC2=AB2+AC2 см. рис. выше.

Теорема синусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, причем коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной около треугольника окружности:

Теорема косинусов.

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

Медиана – это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника AD, CF, BE пересекаются в одной точке O, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
  1. Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
  2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
  3. Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
  4. Из двух медиан треугольника большая медиана проведена к его меньшей стороне.

Биссектриса

Биссектриса угла треугольника— это луч, который исходит из вершины треугольника, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Три биссектрисы треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

  1. Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам например, на  рис. выше  AE:CE = AB:BC
  2. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.
  3. Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.

Высота треугольника

Высота треугольника – это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону (или её продолжение). Эта сторона называется основанием треугольника. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.Ортоцентр остроугольного треугольника (точка O на рис. выше) расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

  1. Прямые, содержащие высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентре треугольника).
  2. Отрезок, соединяющий основания высот остроугольного треугольника, отсекает от данного треугольника подобный ему с коэффициентом подобия, равным косинусу общего угла этих треугольников.
  3. Из двух высот треугольника большая высота проведена к его меньшей стороне.
  4. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
  5. В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны.

Срединный перпендикуляр

Срединный перпендикуляр – это перпендикуляр, проведенный из средней точки отрезка(стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника АВС(KO, MO, NO, рис.выше) пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанного круга( точки K, M, N – середины сторон треугольника ABC).В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном – снаружи; в прямоугольном в середине гипотенузы. Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного круга совпадают только в равностороннем треугольнике.

1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.2. Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Средняя линия

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

1.Произвольный треугольник – формулы площади

a, b, c — стороны; α — угол между сторонами a и b; p=(a+b+c) / 2— полупериметр; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; S — площадь; ha — высота, проведенная к стороне a.

  1. S=(1/2)*(a* ha) – по стороне и высоте.
  2. S=(1/2) *(a*b*sinα) по двум сторонам и синусу угла между ними
  3. – по длинам сторон – формула площади Герона
  4. S=p*r – через периметр и радиус вписанной окружности
  5. S=(a*b*c) / (4R) – через длины сторон и радиус описанной оружности
a, b — катеты; c — гипотенуза; hc — высота, проведенная к стороне c.1. S=(1/2)*a*b2. S=(1/2)*c*hc
S=(a2*√3)/4
– Синус α – это отношение AB/OB (отношение противолежащего катета к гипотенузе)- Косинус α – это отношение ОА/OB (отношение прилежащего катета к гипотенузе)- Тангенс α – это отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему)- Котангенс α – это отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему)

Источник: //tehtab.ru/guide/guidemathematics/perimsqvolgradrad/squaresofplainfigures/trianglesproporties/

Виды треугольников (по сторонам). урок. Математика 3 Класс

Что такое треугольник. Какими они бывают. Виды треугольников. Углы треугольника

Сегодня мы отправляемся в страну Геометрия, где познакомимся с различными видами треугольников.

Рассмотрите геометрические фигуры и найдите среди них «лишнюю» (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к примеру

Мы видим, что фигуры № 1, 2, 3, 5 – четырехугольники. Каждая из них имеет свое название (рис. 2).

Рис. 2. Четырехугольники

Значит, «лишней» фигурой является треугольник (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к примеру

Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Точки называются вершинами треугольника, отрезки – его сторонами. Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла.

Основными признаками треугольника являются три стороны и три угла. По величине угла треугольники бывают остроугольные, прямоугольные и тупоугольные.

Треугольник называется остроугольным, если все три угла его острые, то есть меньше 90° (рис. 4).

Рис. 4. Остроугольный треугольник

Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов равен 90° (рис. 5).   

Рис. 5. Прямоугольный треугольник

Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов тупой, то есть больше 90° (рис. 6).

Рис. 6. Тупоугольный треугольник

По числу равных сторон треугольники бывают равносторонние, равнобедренные, разносторонние.

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны (рис. 7). 

Рис. 7. Равнобедренный треугольник

Эти стороны называются боковыми, третья сторона – основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Равнобедренные треугольники бывают остроугольными и тупоугольными (рис. 8).

Рис. 8. Остроугольный и тупоугольный равнобедренные треугольники 

Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны (рис. 9). 

Рис. 9. Равносторонний треугольник

В равностороннем треугольнике все углы равны. Равносторонние треугольники всегда остроугольные.

Разносторонним называется треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину (рис. 10). 

Рис. 10. Разносторонний треугольник

Выполните задание. Распределите данные треугольники на три группы (рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация к заданию

Сначала распределим по величине углов.

Остроугольные треугольники: № 1, № 3.

Прямоугольные треугольники: № 2, № 6.

Тупоугольные треугольники: № 4, № 5.

Эти же треугольники распределим на группы по числу равных сторон.

Разносторонние треугольники: № 4, № 6.

Равнобедренные треугольники: № 2, № 3, № 5.

Равносторонний треугольник: № 1.

Рассмотрите рисунки.

Подумайте, из какого куска проволоки сделали каждый треугольник (рис. 12).

Рис. 12. Иллюстрация к заданию

Можно рассуждать так.

Первый кусок проволоки разделен на три равные части, поэтому из него можно сделать равносторонний треугольник. На рисунке он изображен третьим.

Второй кусок проволоки разделен на три разные части, поэтому из него можно сделать разносторонний треугольник. На рисунке он изображен первым.

Третий кусок проволоки разделен на три части, где две части имеют одинаковую длину, значит, из него можно сделать равнобедренный треугольник. На рисунке он изображен вторым.

Сегодня на уроке мы познакомились  с различными видами треугольников.

Список литературы

  1. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. – М.: «Просвещение», 2012.
  2. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. – М.: «Просвещение», 2012.
  3. М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. – М.: Просвещение, 2012.
  4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. – М.: «Просвещение», 2011.
  5. «Школа России»: Программы для начальной школы. – М.: «Просвещение», 2011.
  6. С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. – М.: Просвещение, 2012.
  7. В.Н. Рудницкая. Тесты. – М.: «Экзамен», 2012.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Nsportal.ru (Источник).
  2. Prosv.ru (Источник).
  3. Do.gendocs.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Закончите фразы.

а) Треугольником называется фигура, которая состоит из …, не лежащих на одной прямой, и …, попарно соединяющих эти точки.

б) Точки называются , отрезки – его . Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника ….

в) По величине угла треугольники бывают … , … , … .

г) По числу равных сторон треугольники бывают … , … , … .

2. Начертите

а) прямоугольный треугольник;

б) остроугольный треугольник;

в) тупоугольный треугольник;

г) равносторонний треугольник;

д) разносторонний треугольник;

е) равнобедренный треугольник.

3. Составьте задание по теме урока для своих товарищей.

Источник: //interneturok.ru/lesson/matematika/3-klass/undefined-0/vidy-treugolnikov-po-storonam

Мед-Центр Здоровье
Добавить комментарий