1 функция способы задания функции. Функция. Способы задания функций

2. Определение, способы задания и свойства функции

1 функция способы задания функции. Функция. Способы задания функций

Определение:Если каждому элементухмножестваХпо какому-либозаконуf(или поопределенному правилуf)ставится в соответствие единственный элементуиз множестваУ, тоговорят, что заданафункциональнаязависимостьуотх позаконуy=f(x)илифункцияy=f(x).

При этом х называетсянезависимойпеременной(илиаргументом),у – зависимой переменной(илизначением функции).

МножествоХназываетсяобластьюопределения( илиобластьюсуществования) функции и обозначаетсяD(f), множествоУназываетсяобластьюзначений функции и обозначаетсяЕ(f).

Если множество Хне оговорено,то под областью определения функцииподразумевается область допустимыхзначений независимой переменнойх,при котом формула имеет смысл. Например,для.

Задать функцию– значит,указать законfилиправило, позволяющее, знаях.находитьсоответствующее значениеу.

Способы задания функции:

1. Аналитический– если функциязадана с помощью формулы. Наиболееудобный способ для математическогоанализа, позволяющий исследоватьфункцию.

2. Табличный– если задана таблицазначений функции, соответствующихопределенным значением аргумента. Этотспособ имеет широкое применение вэкономике: экспериментальные измерения,таблицах бухгалтерской отчетности,банковской деятельности, статистическихданных и т.п.

3. Графический– если заданграфик. Этот способ обычно используетсяс употреблением самопишущих приборов(осциллографы, сейсмографы и т.п.). Вэкономике используются графики,характеризующие динамику экономическихпараметров: объема ВВП, выручки, курсывалют, курса акций и т.п.

4. Словесный– если функцияописывается правилом, составления,например, функция Дирихле:f(x)=1, еслиx–рационально иf(x)=0,еслиx– иррационально.

5

Основные свойства функций

1. Четность и нечетность

Функция y=f(x)называетсячетной, еслихD(f)выполняются условия:–хD(f)иf(-х) =f(х);нечетной, еслихD(f)выполняются условия: хD(f)иf(-х)= f(х).

При этом D(f)называетсясимметричнойотносительноО(0;0). График четной функции симметриченотносительно Оу, а график нечетной –относительно О(0;0).

2. Монотонность

Функция называется возрастающейна промежуткеID(f),есливыполняется условие:инеубывающей, если.Функция называетсяубывающейна промежуткеID(f),есливыполняется условие:иневозрастающей, если.

Например,fубываетприх(a;b), не убывает прих(b;с)и возрастает прих(с;d)

Возрастающие, неубывающие, убывающиеи невозрастающие функции на промежутке ID(f)называютсямонотонныминаэтом промежутке, а возрастающие иубывающие –строго монотонными.

3. Ограниченность

Функция называется ограниченнойна множествеD(f), если существуеттакое число М>0, чтохD(f)выполняется неравенство.Или коротко:

если .

Графики таких функций ограничены прямыми.Например,у=sinxограничена прямыми.

6

4. Периодичность

Функция называется периодическойна множествеD(f), если существуеттакое числоT>0, чтохD(f)значение(х+Т)D(f)иf(x+T)=f(x).

Число Т называется периодомфункции. Если Т – период, тоnTтакже является периодом, гдеn=±1;±2;…

Например, функция у=sinxявляетсяпериодической, т.к.xD(f)sin(x+2π)=sinx. Аналогичноможно доказать, что ±2π; ±4π; ±6π;… такжеявляются периодами. Период 2π являетсянаименьшим положительныминазываетсяосновным.

Применение функций в экономике

Функции находятширокое применение в экономическойтеории и практике. Наиболее частоиспользуются следующие функции:

1.Функцияполезности (функция предпочтений)– зависимость полезности, т.е. результата,эффекта некоторого действия от уровня(интенсивности) этого действия.

2.Производственнаяфункциязависимость результата производственнойдеятельности от обусловивших егофакторов.

3.Функциявыпуска(частный вид производственной функции)– зависимость объёма производства отналичия или потребления ресурсов.

4.Функцияиздержек(частный вид производственной функции)–зависимость издержек производстваот объёма продукции.

5.Функцияспроса, потребления и предложения– зависимость объёма спроса, потребленияили предложения на отдельные товарыили услуги от различных факторов(например, цены, дохода и т.п.).

Например,исследуя зависимости спроса на различныетовары от дохода можно установить уровнидоходов ,при которых начинается приобретениетех или иных товаров и уровни (точки)насыщениядля групп товаров первой и второйнеобходимости. (см. рис.1)

Рассматриваяв одной системе координат кривые спросаи предложения, можно установитьравновесную (рыночную) цену данноготовара в процессе формирования цен вусловиях конкурентного рынка(паутинообразнаямодель) (см.рис.2)

Изучая в теориипотребительского спроса кривыебезразличия(линии, вдоль которых полезность двухблаг х иуодна и та же), например, задаваемые ввиде xy=Uлиниюбюджетного ограничения при ценах благ и доходе потребителяI,мы можем установить оптимальныеколичества благ ,имеющих максимальную полезность(см. рис.3).

7

Предметы роскоши

Товары 2-ой необходимости

Товары 1-ой необходимости

рис.1

рис.2

рис.3 рис.4

Рассматриваяфункциииздержек (полных затрат) с(q)и доходафирмы r(q),мы можем установить зависимость прибылиπ(q)=c(q)-r(q)от объёма производства q(см. рис.4) и выявить уровни объёмапроизводства, при которых производствопродукции убыточно (0

Источник: https://studfile.net/preview/6231017/page:2/

Лекция по теме

1 функция способы задания функции. Функция. Способы задания функций

Лекция: Понятие функции.Основные свойства функции.

Преподаватель: Горячева А.О.

О.: Правило (закон) соответствия между множествами X и Y, по которому для каждого элемента из множества X можно найти один и только один элемент из множества Y, называется функцией.

Функция считается заданной, если:

– задана область определения функции X ;

– задана область значений функции Y ;

– известно правило (закон) соответствия, причем такое, что для каждого значения аргумента может быть найдено только одно значение функции. Это требование однозначности функции является обязательным.

О.: Множество X всех допустимых действительных значений аргументаx, при которых функция y = f (x) определена, называется областью определения функции.

Множество Y всех действительных значений y, которые принимает функция, называется областью значений функции.

Рассмотрим некоторые способы задания функций.

Табличный способ. Довольно распространенный, заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством.

Графический способ. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Графический способ задания функции не всегда дает возможность точно определить численные значения аргумента. Однако он имеет большое преимущество перед другими способами – наглядность. В технике и физике часто пользуются графическим способом задания функции, причем график бывает единственно доступным для этого способом.

Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим.

Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью.

Словесный способ. Этот способ состоит в том, что функциональная зависимость выражается словами.

Пример 1: функция E(x) — целая часть числа x. Вообще через E(x) = [x] обозначают наибольшее из целых чисел, которое не превышает x. Иными словами, если x = r + q, где r — целое число (может быть и отрицательным) и q принадлежит интервалу [0; 1), то [x] = r. Функция E(x) = [x] постоянна на промежутке [r; r+1) и на нем [x] = r.

Пример 2: функция y = {x} — дробная часть числа. Точнее y ={x} = x – [x], где [x] — целая часть числа x. Эта функция определена для всех x. Если x — произвольное число, то представив его в виде x = r + q ( r = [x]), где r — целое число и q лежит в интервале [0; 1), получим {x} = r + q – r=q

Основными недостатками словесного способа задания функции являются невозможность вычисления значений функции при произвольном значении аргумента и отсутствие наглядности. Главное преимущество же заключается в возможности задания тех функций, которые не удается выразить аналитически.

Основные свойства функции.

1. Четность и нечетность

Функция называется четной, если

– область определения функции симметрична относительно нуля;

– для любого х из области определения f(-x) = f(x).

График четной функции симметричен относительно оси 0y

Функция называется нечетной, если

– область определения функции симметрична относительно нуля;

– для любого х из области определения f(-x) = –f(x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2. Периодичность.

Функция f(x) называется периодической с периодом Т, если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т).

График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.

3. Монотонность (возрастание, убывание).

Функция f(x) возрастает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x1 < x2 выполнено неравенство f(x1)< f(x2).

Функция f(x) убывает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x1 < x2 выполнено неравенство f(x1) > f(x2).

4. Экстремумы

Точка Хmax называется точкой максимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmax , выполнено неравенство f(х)< f(Xmax).

Значение Ymax = f(Xmax) называется максимумом этой функции.

Хmax – точка максимума

Уmax – максимум

Точка Хmin называется точкой минимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmin , выполнено неравенство f(х) f(Xmin).

Значение Ymin=f(Xmin) называется минимумом этой функции.

Xmin – точка минимума

Ymin – минимум

Xmin, Хmax – точки экстремума

Ymin, Уmax – экстремумы.

5. Нули функции

Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х , при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0.

6. Ограниченность.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f ( x )| M для всех значений x .

Если такого числа не существует, то функция – неограниченная.

Задания (выполнить устно):

1. График какой из функций изображен на рисунке а)?

1) y=6x; 2) y=6×2 ; 3) y=, 4) y=

а) б)

2. Укажите нули функции (рис. б):

1) -4;-2;2;4; 2) -4;-2;0;2;4; 3) (0;4)

4) функция не имеет нулей

3.Найдите все значения х, при которых функция принимает положительные значения (рис. в):

1) (0;1); 2) (-1;1); 3) (0;+); 4) (-;0)

в) г)

4. Найдите все значения х, при которых функция принимает неположительные значения (рис. г):

1) (-;0]; 2) (-;-2][2;+); 3) [-2;2]; 4) [-2;0]

5. Найдите все значения х, при которых функция принимает отрицательные значения (рис. д):

1) (-2;0); 2) [-6;6]; 3) (-;0); 4) (-;0) (0;+)

е) ж)

6. Найдите все значения х, при которых функция принимает неотрицательные значения (рис. е):

1) [0;+); 2) (-;0) (0;+); 3) (-;+); 4) 0.

7. Найдите наибольшее значение функции (рис. з).

1) -6; 2) 0; 3) 9; 4) 10.

8. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [-1;1] (рис. и).

1)-1

2) 3

3) 5

4) 6

  з) и)

9. При каких значениях аргумента y

Источник: https://infourok.ru/lekciya-po-teme-funkciya-dlya-kursa-3393894.html

Способы задания функций

1 функция способы задания функции. Функция. Способы задания функций

Приводятся основные способы задания функций: явный аналитический; интервальный; параметрический; неявный; задание функции с помощью ряда; табличный; графический. Примеры применения этих способов

Существуют следующие способы задания функции y = f(x):

  1. Явный аналитический способ по формуле вида y = f(x).
  2. Интервальный.
  3. Параметрический: x = x(t), y = y(t).
  4. Неявный, как решение уравнения F(x, y) = 0.
  5. В виде ряда, составленного из известных функций.
  6. Табличный.
  7. Графический.

Явный аналитический способ задания функции

При явном способе, значение функции определяется по формуле, представляющем собой уравнение y = f(x).

В левой части этого уравнения стоит зависимая переменная y, а в правой – выражение, составленное из независимой переменной x, постоянных, известных функций и операций сложения, вычитания, умножения и деления.

Известными функциями являются элементарные функции и специальные функции, значения которых можно вычислить, используя средства вычислительной техники.

Вот несколько примеров явного задания функции с независимой переменной x и зависимой переменной y:
;
;
.

Интервальный способ задания функции

При интервальном способе задания функции, область определения разбивается на несколько интервалов, и функция задается отдельно для каждого интервала.

Вот несколько примеров интервального способа задания функции:

Параметрический способ задания функции

При параметрическом способе, вводится новая переменная, которую называют параметром. Далее задают значения x и y как функции от параметра, используя явный способ задания:
(1)  

Вот примеры параметрического способа задания функции, используя параметр t:

Преимущество параметрического способа заключается в том, что одну и ту же функцию можно задать бесконечным числом способов. Например, функцию можно задать так:
А можно и так:
Такая свобода выбора, в некоторых случаях, позволяет применять этот способ для решения уравнений (см.

«Дифференциальные уравнения, не содержащие одну из переменных»). Суть применения заключается в том, что мы подставляем в уравнение вместо переменных x и y две функции и . Затем задаем одну из них по собственному усмотрению, чтобы из получившегося уравнения можно было определить другую.

Также этот способ применяется для упрощения расчетов. Например, зависимость координат точек эллипса с полуосями a и b можно представить так:
. В параметрическом виде этой зависимости можно придать более простую форму:

.

Уравнения (1) – это не единственный способ параметрического задания функции. Можно вводить не один, а несколько параметров, связав их дополнительными уравнениями.

Например можно ввести два параметра и . Тогда задание функции будет выглядеть так:

Здесь появляется дополнительное уравнение , связывающее параметры.

Если число параметров равно n, то должно быть n – 1 дополнительных уравнений.

Пример применения нескольких параметров изложен на странице «Дифференциальное уравнение Якоби». Там решение ищется в следующем виде:
(2)   .
В результате получается система уравнений. Чтобы ее решить, вводят четвертый параметр t. После решения системы получается три уравнения, связывающие четыре параметра   и  .

Неявный способ задания функции

При неявном способе, значения функции определяется из решения уравнения .

Например, уравнение эллипса имеет вид:
(3)   .
Это простое уравнение. Если мы рассматриваем только верхнюю часть эллипса, , то можно выразить переменную y как функцию от x явным способом:
(4)   .

Но даже если можно свести (3) к явному способу задания функции (4), последней формулой не всегда удобно пользоваться. Например, чтобы найти производную , удобно дифференцировать уравнение (3), а не (4):
;
.

Задание функции рядом

Исключительно важным способом задания функции является ее представление в виде ряда, составленного из известных функций. Этот способ позволяет исследовать функцию математическими методами и вычислять ее значения для прикладных задач.

Самым распространенным представлением является задание функции с помощью степенного ряда. При этом используется ряд функций:
. Также применяется ряд и с отрицательными степенями:

.

Например, функция синус имеет следующее разложение:

(5)   .

Подобные разложения широко применяются в вычислительной технике, поскольку они позволяют свести вычисления к арифметическим операциям.

В качестве иллюстрации, вычислим значение синуса от 30°, используя разложение (5). Переводим градусы в радианы:

.

Подставляем в (5):

.

В математике, на ряду со степенными рядами, широко применяются разложения в тригонометрические ряды по функциям и , а также по другим специальным функциям. С помощью рядов можно производить приближенные вычисления интегралов, уравнений (дифференциальных, интегральных, в частных производных) и исследовать их решения.

Табличный способ задания функции

При табличном способе задания функции мы имеем таблицу, которая содержит значения независимой переменной x и соответствующие им значения зависимой переменной y.

Независимая и зависимая переменные могут иметь разные обозначения, но мы здесь используем x и y. Чтобы определить значение функции при заданном значении x, мы по таблице, находим значение x, наиболее близкое к нашему.

После этого определяем соответствующее значение зависимой переменной y.

Для более точного определения значения функции, мы считаем, что функция между двумя соседними значениями x линейна, то есть имеет следующий вид:
.
Здесь – значения функции, найденные из таблицы, при соответствующих им значениях аргументов .
Рассмотрим пример. Пусть нам нужно найти значение функции при . Из таблицы находим:
. Тогда
. Точное значение:

.

Из этого примера видно, что применение линейной аппроксимации привело к повышению точности в определении значения функции.

Табличный способ применяется в прикладных науках. До развития вычислительной техники, он широко применялся в инженерных и других расчетах. Сейчас табличный способ применяется в статистике и экспериментальных науках для сбора и анализа экспериментальных данных.

Графический способ задания функции

При графическом способе, значение функции определяется из графика, по оси абсцисс которого откладываются значения независимой переменной, а по оси ординат – зависимой.

Графический способ дает наглядное представление о поведении функции. Результаты исследования функции часто иллюстрируют ее графиком. Из графика можно определить приближенное значение функции. Это позволяет использовать графический способ в прикладных и инженерных расчетах.

Олег Одинцов.     : 18-04-2018

Источник: https://1cov-edu.ru/mat-analiz/predel-funktsii/sposoby-zadaniya-funktsij/

Функции и способы задания функций

1 функция способы задания функции. Функция. Способы задания функций

Существуют множество определений для понятия «функция».

Одними из классических определений понятия «функция» считаются определения на базе соответствий. Приведем ряд таких определений.

Определение 1

Зависимость, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной, называется функцией.

Определение 2

Пусть даны два непустых множества $X$ и $Y$. Соответствие $f$, которое каждому $x\in X$ сопоставляет один и только один $y\in Y$ Называется функцией ($f:X → Y$).

Определение 3

Пусть $M$ и $N$ – два произвольных числовых множества. Говорят, что на $M$ определена функция $f$, принимающая значения из $N$, если каждому элементу $x\in X$ поставлен в соответствие один и только один элемент из $N$.

Следующее определение дается через понятие переменной величины. Переменной величиной называется величина, которая в данном исследовании принимает различные числовые значения.

Определение 4

Пусть $M$ – множество значений переменной величины $x$. Тогда, сели каждому значению $x\in M$ соответствует одно определенное значение другой переменной величины $y$ есть функция величины $x$, определенной на множестве $M$.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Далее рассмотрим теоретико-множественные определения.

Определение 5

Пусть $X$ и $Y$ – некоторые числовые множества. Функцией называется множество $f$ упорядоченных пар чисел $(x,\ y)$ таких, что $x\in X$, $y\in Y$ и каждое $x$ входит в одну и только одну пару этого множества, а каждое $y$ входит, по крайней мере, в одну пару [15].

Определение 6

Всякое множество $f=\{\left(x,\ y\right)\}$ упорядоченных пар $\left(x,\ y\right)$ таких, что для любых пар $\left(x',\ y'\right)\in f$ и $\left(x'',\ y''\right)\in f$ из условия $y'≠ y''$ следует, что $x'≠x''$ называется функцией или отображением [7].

Определение 7

Функция $f:X → Y$ – это множество $f$ упорядоченных пар $\left(x,\ y\right)\in X\times Y$, таких, что для любого элемента $x\in X$ существует единственный элемент $y\in Y$ такой, что $\left(x,\ y\right)\in f$, то есть функция — кортеж объектов $\left(f,\ X,\ Y\right)$.

В этих определениях

$x$ – независимая переменная.

$y$ – зависимая переменная.

Все возможные значения переменной $x$ называется областью определения функции, а все возможные значения переменной $y$ называется областью значения функции.

Далее будем рассматривать три способа для задания функций: аналитический, табличный и графический.

Аналитический способ задания функции

Для этого способа нам понадобится понятие аналитического выражения.

Определение 8

Аналитическим выражением называется произведение всех возможных математических операций над какими-либо числами и переменными.

Аналитическим способом задания функции и является её задание с помощью аналитического выражения.

Пример 1

$y=x2+7x-3$, $y=\frac{x+5}{x+2}$, $y=cos5x$.

Приведем далее преимущества и недостатки данного способа:

Плюсы:

  1. С помощью формул мы можем определить значение функции для любого определенного значения переменной $x$;
  2. Функции, заданные таким способом можно изучать с помощью аппарата математического анализа.

Минусы:

  1. Малая наглядность.
  2. Иногда приходится производить очень громоздкие вычисления.

Табличный способ задания функции

Данный способ задания состоит в том, что для нескольких значений независимой переменной выписываются значения зависимой переменной. Все это вносится в таблицу.

Пример 2

Рисунок 1.

Плюс: Для любого значения независимой переменной $x$, которая внесена в таблицу, сразу узнается соответствующее значение функции $y$.

Минусы:

  1. Чаще всего, нет полного задания функции;
  2. Малая наглядность.

Графический способ задания функции

Введем понятие графика функции:

Определение 9

Графиком функции $f(x)$ называется множество точек координатной плоскости, которые имеют вид $(x,\ f\left(x\right))$.

Задание графика с помощью такого изображения его в декартовой системе координат называется графическим способом.

Пример 3

Рисунок 2.

Пример задачи

Пример 4

Дан аналитический вид функции $y=x2$. Привести табличный и графический способы задания этой же функции.

Решение.

Сначала приведем табличный способ. Так как при возведении в четную степень любого числа получим неотрицательное значение, то получим следующую таблицу:

Рисунок 3.

Это и есть табличное задание.

Перейдем теперь к заданию в виде графика. Для этого отметим в декартовой системе координат точки из таблицы выше. Получим:

Рисунок 4.

Источник: https://spravochnick.ru/matematika/funkcii_i_sposoby_zadaniya_funkciy/

Определение числовой функции, способы ее задания. урок. Алгебра 10 Класс

1 функция способы задания функции. Функция. Способы задания функций

Пусть  и  – это два множества.

Функция – это соответствие, которое каждому элементу из множества  сопоставляет единственный элемент из множества .

Рассмотрим такой пример.

Предположим, есть 4 самолета и 6 городов. Согласно расписанию первый и второй самолет летят в первый город; третий самолет летит в третий город; четвертый самолет летит в пятый город (см. Рис. 1).

Рис. 1. Множество  и

В этом примере множество самолетов – это множество , множество городов – это множество, расписание – это соответствие, которое каждому элементу первого множества (самолетов) сопоставляет единственный элемент второго множества (городов).

Если элемент  из множества  переходит в элемент  из множества , то этот элемент  обозначается .

 – это образ элемента . Множество всех  называется множеством значений функции (областью значений функции). В приведенном примере множество значений функции – это первый, третий и пятый город.

Множество  – это область определения функции.

Рассмотрим еще несколько примеров.

1. Площади

Каждой замкнутой фигуре на плоскости сопоставляется неотрицательное число (ее площадь ) (см. Рис. 2). То есть задается функция.

Рис. 2. Каждой фигуре сопоставляется неотрицательное число (площадь)

Множество  – это множество всех замкнутых фигур на плоскости. Множество  – все неотрицательные числа, то есть луч .

В данном случае множество значений функции совпадает с , то есть множество значений – это луч .

2. Движение

Движение – это такое преобразование плоскости, при котором сохраняются расстояния между всеми ее точками.

Множество  – это плоскость (множество всех точек плоскости),  – это движение плоскости, множество  – та же самая плоскость (см. Рис. 3).

Рис. 3. Движение плоскости

Если даны числовое множество  и правило , позволяющее поставить в соответствие каждому элементу  из множества  определенное число , то говорят, что задана функция   с областью определения .

Областью определения функции  называют множество всех значений , для которых функция имеет смысл.

Множество всех значений функции ,  называют областью значения функции

,  

 – независимая переменная (аргумент)

 – зависимая переменная

 – область определения функции

 – область значений функции

Графиком функции называется множество всех точек (на координатной плоскости) вида , где .

Пример

Задана функция , , которая показывает изменение температуры воздуха в зависимости от времени года (с весны до весны). Построим график этой функции.

Независимая переменная  – это время; зависимая переменная  – это температура (см. Рис. 4).

Рис. 4. График функции ,

Любая вертикальная прямая  (если  принадлежит области определения) пересекает график в единственной точке, так как согласно определению функции закон  такой, что каждому значению аргумента соответствует только одно значение функции.

Область определения – это проекция графика функции на ось .

Область значения – это проекция графика функции на ось .

Функция, заданная аналитически, – это функция, которая задана формулами. Чем хорош аналитический способ задания функции? Тем, что, если у вас есть формула – вы знаете про функцию всё.

 Вы можете составить табличку. Построить график. Исследовать эту функцию полностью. Точно предсказать, где и как будет вести себя эта функция.

Весь математический анализ стоит именно на таком способе задания функций. 

Примеры:

1. ,  (все натуральные числа) – такая функция называется последовательностью.

Построим график  функции (см. Рис. 5). Это прямая, на которой лежат точки с координатами .

Рис. 5. График функции

Все точки графика функции ,  лежат на построенной прямой (некоторые из них отмечены на рис. 5). Например:

если , то ;

если , то .

Область определения этой функции – это множество всех натуральных чисел.

Область значения этой функции – неотрицательные нечетные числа.

2.  – такая функция называется линейной. Пара чисел  и  – константы, которые определяют конкретную линейную функцию.

Число  показывает ординату точки пересечения графика функции с осью .

Область определения этой функции – это все действительные числа (так как любое число можно умножить на k и результат сложить с ).

Область значений этой функции:

а) все действительные числа, если  (в этом случае имеем наклонную прямую, которая проектируется на всю ось y) (см. Рис. 6);

б) число , если  (в этом случае имеем прямую, параллельную оси x, которая проектируется в одну точку на оси ) (см. Рис. 7).

, при  

, при 

Рис. 6. Эскиз графика линейной функции при

Рис. 7. Эскиз график линейной функции при

3. , где  – такая функция называется квадратичной. Числа , ,  – константы, которые определяют конкретную квадратичную функцию.

Определим область определения и область значений квадратичной функции на конкретном примере:

Для этой функции ; ; .

Построим график этой функции – параболу:

а) определим точки пересечения графика с осью , для этого функцию приравняем к нулю и найдем корни квадратного уравнения (через дискриминант или с помощью теоремы Виета):

 при ;  

б) определим координаты вершины параболы:

в) ветви параболы направлены вверх, так как  

г) точка пересечения графика с осью  (см. Рис. 8):

Рис. 8. График функции

Область определения этой функции – это все действительные числа.

Область значения этой функции – это луч от  до .

Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение  имеет хотя бы одно решение.

Решение

Область значений функции  – это луч от  до  (см. Рис. 8). Следовательно, чтобы уравнение  имело хотя бы одно решение, параметр  должен совпадать с областью значения функции .

Ответ:   

Найдите множество всех значений параметра , при каждом из которых уравнение  имеет два корня разных знаков.

Решение

Рассекаем график функции  прямыми  (для различных значений ). Видно, что функция имеет два корня разных знаков при   (см. Рис. 9).

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

Ответ: .

В данном способе функция представлена графиком. По оси абсцисс откладывается аргумент (), а по оси ординат – значение функции (). По графику тоже можно выбрать любой  и найти соответствующее ему значение  (см. Рис. 10). 

Рис. 10. Данный график задает функцию

Однако не каждая кривая может задать график функции. Например, кривая на рисунке 11 не задает график функции, так как значению  соответствует несколько значений .

Рис. 11. Данный график не является графическим заданием функции

Этот способ представляет собой простую табличку. В этой таблице каждому  соответствует (ставится в соответствие) какое-то значение . В первой строчке – значения аргумента. Во второй строчке – соответствующие им значения функции, например:

Функцию можно однозначно задать словами.

Пример

Пусть  – это дробная часть положительного числа  в его десятичной записи.

Это означает:                 

если , то

если , то

если , то

Понятно, что при  функция равна нулю. Поймем, как ведет себя функция на интервалах вида , .

Сначала рассмотрим функцию на интервале , на нем . При этом  (см. Рис. 12).

Рис. 12. График функции на промежутке

Аналогично при , функция задается следующим образом: .

На рисунке 13 показана часть графика функции , .

Рис. 13. График заданной функции

Область определения этой функции – это все положительные числа (задано по условию).

Область значений этой функции – это отрезок от 0 до 1, включая 0, но не включая 1.

Список литературы

  1. Мордкович А.Г., Семенов П.В. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.
  2. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.
  3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). – М.: Просвещение, 1996.
  4. Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Ткачева М.В., Федорова М.В., Шабунин М.И. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень). – М.: Мнемозина, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Studyport.ru (Источник).
  2. Tutoronline.ru (Источник).
  3. .com (Источник).

Домашнее задание

  1. Задание 7.6, 7.8, 7.21 (а) (стр. 39–41) – Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник  (Источник). 
  2. Найдите область значений функции .
  3. Найдите область определения функции .

Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/10-klass/chislovye-funktsii/opredelenie-chislovoy-funktsii-sposoby-ee-zadaniya

Мед-Центр Здоровье
Добавить комментарий